内科大水力学课件04流体动力学

第四章流体动力学§4.1理想流体运动微分方程及其积分一、理想流体动水压强的特性⒈理想流体动水压强的方向总是沿着作用面内法线方向。

⒉理想流体中任一点动水压强的大小与其作用方位无关。显然，理想流体动水压强的特性与静水压强的特性是完全一样的。二、理想流体运动微分方程O′xyz

从理想流体流场中中选取一平行六面体作为隔离体，各边长分别为dx，dy，dz，形心点在O′（x，y，z）处，其动水压强为p。O′点的流速在各坐标轴上的投影为ux，uy，uz

。MO′xyzN控制体左面所受的表面力：控制体右面所受的表面力：控制体在y方向所受的质量力：MO′xyzN根据牛顿第二定律：化简后得：

同理可得x、z方向的关系式：即

上式即是理想流体运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程。因为加速度为当地加速度和迁移加速度之和，所以欧拉运动微分方程又可以写成下式：⒊理想流体运动微分方程式的积分

由于数学上求解的困难，我们目前还无法对运动微分方程式进行普遍积分，只是在几种特殊情况下得到了它的解。我们仅介绍工程流体力学中最常见的伯努利积分。⑴恒定流，此时⑵流体为不可压缩流体，即ρ＝C.⑶质量力有势。设W(x.y.z)为质量力势函数，对于恒定有势的质量力有：⑷沿流线积分。在恒定流时也是沿迹线积分。此时

推导1：伯努利积分是以下四个具体条件下的积分:

将欧拉运动微分方程分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得：

利用上述四个条件，带入得：

因为ρ＝C，故上式可以写成

积分得：

这就是理想流体的伯努利积分式。对于不同的流线伯努利积分常数一般是不相同的。它表明对于不可压缩的理想流体在有势的质量力作用下作恒定流动时，在同一流线上机械能保持不变。

当质量力只有重力时，fx＝0，fy＝0，fz＝－g，

积分得：

(取积分常数为0),代入伯努利积分式有

对同一流线上任意两点1和2上式可以写成

这就是伯努利方程。该式仅适用于流场固体边界相对于地球没有相对运动的流体，也就是说流体所受的质量力只有重力。由于流线是元流的极限情况，上式也适用于理想流体的元流，所以可将其看做元流的能量方程。

推导2设在理想液体恒定流中，取一微小元流

依牛顿第二定律：

其中：

一元流时

任意两个断面：

00ds12pp+dpdG=ρgdAdsdAα沿流线积分得：——不可压缩理想液体恒定流元流的能量方程式方程式的物理意义0012位置水头压强水头流速水头测压管水头总水头单位位能单位压能单位动能单位势能单位总机械能

表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。实际液体恒定流元流的能量方程式——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量，称为水头损失。0012实际液体恒定总流的能量方程式

将构成总流的所有元流的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。均匀流或渐变流过水断面上动能修正系数,1.05～1.1取平均的hwV→u，200112

实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。

总水头线测压管水头线

实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，测压管坡度

方程式的物理意义：应用能量方程式的条件：⑴水流必需是恒定流；⑵作用于液体上的质量力只有重力；⑶在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；⑷在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。若有分支，则可对两支水流分别建立能量方程式，例如图示有支流的情况下,能量方程为：⑸流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为：Q1Q2Q3112233

应用能量方程式的注意点：⑴选取高程基准面；⑵选取两过水断面；

所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。⑶选取计算代表点；⑷选取压强基准面；⑸动能修正系数一般取值为1.0。能量方程式的应用

例1.如图所示，一等直径的输水管，管径为d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为H=2m，若不计水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：对1-1、2-2断面列能量方程式：其中：所以有：可解得：则：答：该输水管中的输水流量为0.049m3/s。例2毕托管测流速。如图所示BAzAzBu解：先按理想流体研究，应用恒定元流的伯努利方程，有考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失，计算A点流速时尚需修正，即ξ称为毕托管系数，由实验测定，其值接近于1.0若将测压管改为液体压差计，速度u应等于多少？采用压差计时A点的流速为文丘里流量计（文丘里量水槽）1122收缩段喉管扩散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，对1-1、2-2断面列能量方程式：整理得：由连续性方程式可得：或

代入能量方程，整理得：则当水管直径及喉管直径确定后，K为一定值，可以预先算出来。

若考虑水头损失，实际流量会减小，则μ称为文丘里管的流量系数，一般约为0.95~0.98

如果您有任何问题，请毫不犹豫地提出!Incaseofyouhaveanyquestion,DONOT

hesitatetoaskme!欢迎提问t+△t时刻1122实际液体恒定总流的动量方程式1′1′2′2′t时刻依动量定律：

即:单位时间内，物体动量增量等于物体所受外力之和。

dt时段内，动量的增量：dA1u1u2dA2u1dt在均匀流或渐变流过水断面上

代入动量定律，整理得：

上式即为实际液体恒定总流的动量方程式。作用于总流流段上所有外力的矢量和。

单位时间内，通过所研究流段下游断面流出的动量与上游断面流入的动量之差。动量方程的投影表达式：

适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。

如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：v3112233ρQ3ρQ1

ρQ2v1v2应用动量方程式的注意点：１．围取控制体；２．正确分析受力，未知力设定方向；３．建立坐标系４．右侧为(下游断面的动量)-(上游断面的动量)５．设β１≈1，β２≈1。1122FP1FP2FRFGxzy动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴竖直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A·2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿x方向列动量方程为：沿z方向列动量方程为：沿x方向列动量方程为：沿y方向列动量方程为：FP1=p1A1FP2=p2A·2FRV1V2FryFRxxy水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列动量方程为：射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列动量方程为：整理得：例：设有一股自喷嘴以速度v0喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成α角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力FP，并求出Q1和Q2各为多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列动量方程为：对0-0、1-1断面列能量方程为：可得：同理有：依据连续性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列动量方程为：整理得：所以：FP1=p1A1