精选求二次型标准形的方法及正定二次型讲义

（优选）求二次型标准形的方法及正定二次型课件目前一页\总数二十七页\编于十八点2．用矩阵表示目前二页\总数二十七页\编于十八点目前三页\总数二十七页\编于十八点

定义合同矩阵有一下性质：（1）自反性（2）对称性(3)传递性定理

设是一个可逆矩阵,若为对称矩阵,

则也为对称矩阵,且三、矩阵的合同目前四页\总数二十七页\编于十八点

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.四、配方法求二次型的标准形目前五页\总数二十七页\编于十八点五、用初等变换法化二次型为标准形由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。其中矩阵A是对称矩阵，即AT=A。目前六页\总数二十七页\编于十八点我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积一系列的合同运算经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D目前七页\总数二十七页\编于十八点也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵Λ

（二次型的标准化矩阵）。目前八页\总数二十七页\编于十八点目前九页\总数二十七页\编于十八点目前十页\总数二十七页\编于十八点解：目前十一页\总数二十七页\编于十八点二次型的标准形为坐标变换矩阵为目前十二页\总数二十七页\编于十八点

在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。D为对角矩阵目前十三页\总数二十七页\编于十八点目前十四页\总数二十七页\编于十八点二次型的标准形为：坐标变换矩阵为目前十五页\总数二十七页\编于十八点必须说明：不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型例如：例3中的二次型，可以继续进行合同运算其标准形为坐标变换矩阵为目前十六页\总数二十七页\编于十八点以上过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1,d2,…,dn,n个实数进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：该式称为二次型的规范形。r是矩阵A的秩，即二次型的秩。注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di>0的个数相同。同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di<0的个数相同。定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数目前十七页\总数二十七页\编于十八点证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。假设二次型可以化成两个规范形(1)目前十八页\总数二十七页\编于十八点(2)由(1)(2)我们有：如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。(4)目前十九页\总数二十七页\编于十八点反证法，假设q不等于p，不妨假设p>q如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立问题：y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于0？(4)方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+q<n个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于p>q造成的。同样，p<q亦会产生类似的矛盾。由此得到p=q.惯性定理成立。目前二十页\总数二十七页\编于十八点

第二节正定二次型

正(负)定二次型的概念

正(负)定二次型的判别目前二十一页\总数二十七页\编于十八点为正定二次型为负定二次型一、正(负)定二次型的概念例如目前二十二页\总数二十七页\编于十八点证明充分性故二、正(负)定二次型的判别目前二十三页\总数二十七页\编于十八点必要性故推论1.实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n推论2.实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位合同推论3.正定矩阵的行列式大于零证明：设A为正定矩阵，则CTAC=E,两端求行列式得：目前二十四页\总数二十七页\编于十八点这个定理称为霍尔维茨定理．定理2对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即目前二十五页\总数二十七页\编于十八点例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次