河南省驻马店市上蔡县朱里镇联合中学高二数学理期末试卷含解析

河南省驻马店市上蔡县朱里镇联合中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点是的重心，(,

)，若，，则的最小值是

(

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C2.在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为(

)A．（4，0，6） B．（﹣4，7，﹣6） C．（﹣4，0，﹣6） D．（﹣4，7，0）参考答案：B【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点M（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴点M（4，7，6）关于y轴的对称点的坐标为：Q（﹣4，7，﹣6）．故选：B．【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．3.已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为（

）A．12

B．30

C．24

D．20参考答案：D4.命题甲：双曲线C的渐近线方程为y=±x；命题乙：双曲线C的方程为=1.那么甲是乙的

(

)A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.不充分不必要条件参考答案：C略5.点P（a，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4，则P点的坐标是（） A．（7，3） B．（3，3） C．（7，3）或（﹣3，3） D．（﹣7，3）或（3，3）参考答案：C【考点】点到直线的距离公式． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】由已知条件利用点到直线距离公式能求出结果． 【解答】解：∵点P（a，3）到直线4x﹣3y+1=0的距离等于4， ∴=4， 解得a=7，或a=﹣3， ∴P（7，3）或P（﹣3，3）． 故选：C． 【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． 6.能得出平面a∥b时的条件是（

）

A．平面a内有无数条直线平行于平面b；

B．平面a与平面b同平行于一条直线；C．平面a内有两条直线平行于平面b；

D．平面a内有两条相交直线与b平面平行.参考答案：D7.阅读右面的程序框图，则输出的

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知△ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心O到△ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任意一点，则P-ABC三棱锥的体积的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设外接圆的圆心为，则平面，所以，设外接圆的半径为，，利用正弦定理即可求得：，再利用截面圆的性质可列方程：，即可求得，即可求得点到平面的距离的最大值为，利用余弦定理及基本不等式即可求得：，再利用锥体体积公式计算即可得解。【详解】设外接圆的圆心为，则平面，所以设外接圆的半径为，，由正弦定理可得：，解得：由球的截面圆性质可得：，解得：所以点到平面的距离的最大值为：.在中，由余弦定理可得：当且仅当时，等号成立，所以.所以，当且仅当时，等号成立.当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥的体积的最大值为故选：C【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质，还考查了转化思想及正、余弦定理应用，考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式，还考查了计算能力及空间思维能力，属于难题。

9.已知，，若，，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为A．B．

C．

D．参考答案：B略10.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为()A.

B.C. D.参考答案：C试题分析：由图像可知函数解析式为由定积分的几何意义可知面积

考点：定积分及其几何意义二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若（O为坐标原点），则

．参考答案：5过B引准线的垂线，垂足为N，连接AN，易知：A、O、N三点共线，∴，即故答案为：5

12.在下列各命题中:①|a+b|－|a－b|≤2|b|；

②b、c∈R+,且x≠0,则|bx+|≥2；③若|x－y|<ε,则|x|<|y|+ε；④当且仅当ab<0或ab=0时,|a|－|b|≤|a+b|中的等号成立.其中真命题的序号为_________.参考答案：1,2,313.已知双曲线（）的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为__________．参考答案：【详解】由题意得，双曲线的离心率，解得，所以双曲线的渐近线方程为，即.14.已知，且满足，则的最大值为___________.参考答案：3略15.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1?是实数，则实数t等于．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先写出复数的共轭复数，再进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式的标准形式，根据是一个实数，得到虚部为0，得到关于t的方程，得到结果．【解答】解：∵复数z1=3+4i，z2=t+i，∴z1?=（3t+4）+（4t﹣3）i，∵z1?是实数，∴4t﹣3=0，∴t=．故答案为：16.若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于

．参考答案：sinα【考点】导数的运算．【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，则f'（α）=sinα．故答案为：sinα．17.有一组统计数据共10个，它们是：，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为

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．参考答案：5.6略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求二面角的余弦值．参考答案：(1)证明：取CE的中点G，连接FG、BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.……………（2分）又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，[来源:Z_xx_k.Com]∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.…………（4分）

(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.…………（6分）∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.……………（7分）∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.……………（8分）（3）过A作直线面ABF，以A为原点，分别以直线、、分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）：设则，,,所以，,,,…（9分）设平面的法向量为，平面的法向量为由，令得：同理可得：，…（11分）所以…（12分）故所求的二面角的余弦值为：…（13分）19.先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证：.证明：构造函数，即.因为对一切，恒有，所以，从而得.（1）若，，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你推广的结论加以证明.参考答案：（1）若，，…，，则；（2）略.试题分析：（1）根据题干中的式子，类比写出求证：；（2）构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，展开后是关于x的二次函数，函数大于等于0恒成立，即判别式小于等于0，从而得证.解析：(1)解：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.求证：.(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋＝nx2－2x＋,因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n()≤0，从而证得≥..20.(本题满分１４分)已知函数.（1）当时，求函数单调区间；(2)

若函数在区间[1,2]上的最小值为,求的值.参考答案：（1）解：……………１分因为，所以对任意实数恒成立，所以在是减函数…4分(2)当时，由（１）可知，在区间[1,2]是减函数由得，（不符合舍去）…6分当时，的两根…7分①当，即时，在区间[1,2]恒成立，在区间[1,2]是增函数，由得…9分②当，即时在区间[1,2]恒成立在区间[1,2]是减函数，（不符合舍去）…11分③当，即时，在区间是减函数，在区间是增函数；所以无解…13分综上，…14分21.如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，由D为AB中点，知DO∥BC1，由此能够证明BC1∥平面A1CD．（2）以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角D﹣CA1﹣A的正切值．【解答】（1）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，∵D为AB中点，∴DO∥BC1，又∵DO?平面A1CD，BC1?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．∴=（﹣2，2，2），设二面角D﹣CA1﹣A的大小为θ，则∵平面ACA1的法