河北省秦皇岛市龙山中学高二数学理期末试卷含解析

河北省秦皇岛市龙山中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点为圆的弦的中点，则直线的方程为（

）． A． B． C． D．参考答案：A解：圆心，，，，整理得．2.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第50项（）Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11参考答案：C3.等差数列中，已知，，，则的值为

(

)A．50

B．49

C．48

D．47参考答案：A4.设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a参考答案：A考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．

B． C．D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．6.已知两定点，，曲线上的点P到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略7.已知则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.给出四个命题：①映射就是一个函数；②是函数；③函数的图象与y轴最多有一个交点；④与表示同一个函数.其中正确的有（

）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案：A【分析】根据函数的定义逐项分析即可.【详解】由函数是特殊的映射，知①错误；由无解，知②错误；当不是定义域内的点时，函数图象与轴无交点，当是定义域内的点时，由函数定义知，函数图象与轴有唯一交点，故③正确；对于，定义域为，则，对应关系不同，故两函数不是同一函数，故④错误.故选A.【点睛】本题考查函数的定义，掌握函数的三要素是解题的关键.9.是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．【解答】解：把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了直线与双曲线的交点与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若a>b，则A.ln(a?b)>0 B.3a<3bC.a3?b3>0 D.│a│>│b│参考答案：C分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是双曲线的左焦点，定点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为_______________.参考答案：9略12.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围_____参考答案：[1,)略13.设，那么的值为________．参考答案：14.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率_______。参考答案：_

15.双曲线的离心率，则实数的取值范围是

．参考答案：（0，12）略16.如果关于x的不等式的解集是非空集合，则m=

.参考答案：3617.如图，在面积为1的正内作正，使，，，依此类推，在正内再作正，……．记正的面积为，则a1＋a2＋……＋an＝▲．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接AB1交A1B于点M，连接MD．利用中位线定理得出B1C∥MD，故而B1C∥平面A1BD；（II）作CO⊥AB于点O，以O为坐标原点建立空间坐标系，设AE=a，分别求出平面B1C1E和平面A1BD的法向量，令两法向量垂直解出a．【解答】解：（I）连接AB1交A1B于点M，连接MD．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴四边形BAA1B1是矩形，∴M为AB1的中点．∵D是AC的中点，∴MD∥B1C．又MD?平面A1BD，B1C?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（II）作CO⊥AB于点O，则CO⊥平面ABB1A1，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，假设存在点E，设E（1，a，0）．∵AB=2，AA1=，D是AC的中点，∴A（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0，），A1（1，，0），B1（﹣1，，0），C1（0，，）．∴D（，0，），=（，0，），=（2，，0）．设是平面A1BD的法向量为=（x，y，z），∴，，∴，令x=﹣，得=（﹣，2，3）．∵E（1，a，0），则=（1，a﹣，﹣），=（﹣1，0，﹣）．设平面B1C1E的法向量为=（x，y，z），∴，．∴，令z=﹣，得=（3，，﹣）．∵平面B1C1E⊥平面A1BD，∴=0，即﹣3+﹣3=0，解得a=．∴存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE=．19.（本小题满分12分）

已知是定义在上的奇函数，且在上是关于的一次函数，在上是关于的二次函数，且当时，满足：①；②，求表达式。参考答案：20.(本题满分14分)已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.1）求函数的解析式；2）若至多有两个零点，求实数的取值范围。参考答案：1);

与轴的交点为(2,0),（2分）则

（4分）

解得

故函数…………（6分）

2)

;………8分（12分）至多有两个零点即与至多有两个交点故

（14分）

21.己知，，若．（Ⅰ）求f(x)的最大值和对称轴；（Ⅱ）讨论f(x)在上的单调性．参考答案：(Ⅰ);，(Ⅱ)在上单调递增，在上单调减.【分析】(Ⅰ)先由题意得到，再化简整理，结合三角函数的性质，即可求出结果；（Ⅱ）根据三角函数的单调性，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（Ⅰ）所以最大值为，由，，所以对称轴，（Ⅱ）当时，，从而当，即时，单调递增当，即时，单调递减综上可知在上单调递增，在上单调减.22.已知复数z满足|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．（1）求复数z；（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．参考答案：（1）设出复数z，利用已知列出方程组，求解可得复数z；（2）把复数z=﹣1+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算||，由复数ω满足|ω﹣1