2022年湖南省常德市石门县第五中学高三数学理期末试题含解析

2022年湖南省常德市石门县第五中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的数量积，即可得到结论．【解答】解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在实数集R上单调递增，可得f′（x）=6x2+6||x+6≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=2﹣4≤0恒成立，再由，可得8||2≤8||2cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故选：C．2.若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值等于(

)A．7

B．8

C．10

D．11参考答案：C

【知识点】简单线性规划．E5解析：平面区域如图所示，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点B（4，2）时，z最大值即可．3.已知复数，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：A由，得，所以.要使成立，则有，即，解得或.因为命题“”是真命题，则同时为真，即，即或，选A.5.已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则A.1 B. C.2 D.参考答案：C6.已知则的最大值为（

） A．

2 B． C． D．参考答案：B略7.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为A.

B.

C.

D.不存在参考答案：A因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.8.已知数列，，是等差数列，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．参考答案：B9.定义在R上的偶函数的x的集合为（

） A． B． C． D． 参考答案：A略10.如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为(

▲

)A．B．C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某第三方支付平台的会员每天登陆该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登陆每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登陆两周，则他两周共得

积分．参考答案：105依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得积分.

12.在如图所示的平面图形中，已知，，，，，则的值为

参考答案：-613.如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，已知，，则当最大时，三棱锥P-ABC的体积为__________．参考答案：4设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为：414.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．则点到曲线上的点的距离的最小值为

．

参考答案：4：由点的极坐标为，得点的直角坐标即M（4，4），由曲线的参数方程（为参数），消去参数得普通方程为：，∴圆心为A（1，0），半径r=1，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为．15.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在中的学生人数是_________．参考答案：50

16.执行右面的程序框图，若输出的，则输入的整数的值为__________．

参考答案：317.的展开式中的常数项为_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.（Ⅰ）求曲线和的方程；（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.参考答案：（Ⅰ）解法一：设椭圆方程为，则，

得.

设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或

（舍去）

所以椭圆方程为，抛物线方程为.

解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，

作轴于，则由抛物线的定义得，所以

，

得，所以c＝1，︱OM︱=

(，得）,

因而椭圆方程为，抛物线方程为.（Ⅱ）设把直线

19.（本小题满分12分）如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；

（Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.参考答案：设AC与BD交于O点

以OA、OB所在直线分别x轴，y轴.

以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，则

…………2分

……（4分）

（Ⅱ）设平面PDB的法向量为

由…………6分

=…………8分

（Ⅲ）设平面ABP的法向量

……10分

…………11分

所以二面角A—PB—D的余弦值为……12分20.（12分）已知函数、为常数，且）的图象过（0，），且函数的最大值为2.（I）求函数的解析式，并写出其单调递增区间；（II）若函数的图象按向量作移动距离最小的平移后，使所得图象关于y轴对称，求出向量的坐标及平移后的图象对应的函数解析式.参考答案：解析：（1）

的最大值为

…2分依题意：

………………4分，

………6分≤≤()的递增区间是[，]（）………………8分

（2）按向量作平移后，所得图象关于y轴对称，平移后的图象对应的函数解析式为：

…………12分21.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.参考答案：（1）见解析；（2）见解析.试题分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证EF和平面PCD内的一条直线平行，在三角形PAD中易知EF∥PD得证；（2）要证面面垂直，只需证其中一个面BEF中的一条线垂直于另一平面PAD，根据已知条件知BF⊥AD，又有平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.试题解析：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．