人教A版选择性必修第三册第七章742超几何分布学案

7.4.2超几何分布新课程标准学业水平要求1.结合生活中实例，了解超几何分布．2．了解超几何分布的均值及其意义．1.结合教材实例，了解超几何分布的概念．(数学抽象)2．会利用公式求听从超几何分布的随机变量的概率、均值．(数学运算)3．了解超几何分布与二项分布的关系，能利用超几何分布的概率模型解决实际问题．(数学建模数学运算)必备学问·自主学习导思1.什么是超几何分布？它与二项分布有何关系？2.怎样求听从超几何分布的随机变量的概率与均值？超几何分布(1)定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))__，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．假如随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X听从超几何分布．(2)均值：E(X)＝np，其中p＝eq\f(M,N)是N件产品的次品率．不放回抽取和有放回抽取有何不同？提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取听从超几何分布，有放回抽取听从二项分布．1．辨析记忆(对的打“√〞，错的打“×〞).(1)超几何分布的总体往往由差异明显的两局部组成．(√)提示：由超几何分布的概念可知．(2)二项分布的参数是N，n，M，超几何分布中的参数是n，p.(×)提示：二项分布的参数是n，p，超几何分布中的参数是N，n，M.(3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X听从超几何分布．(×)提示：命中目标的次数X听从二项分布．2．设10件产品中有3件次品、7件正品，现从中抽取5件，那么抽得次品件数ξ听从超几何分布．其参数为()A．N＝3，M＝5，n＝10B．N＝5，M＝10，n＝3C．N＝10，M＝5，n＝3D．N＝10，M＝3，n＝5【解析】ξ听从参数N＝10，M＝3，n＝5的超几何分布．3．(教材例题改编)设8件产品中有2件次品，现从中抽取4件，那么4件产品中有1件次品的概率为________.【解析】设抽出4件产品中含次品的件数为X，由题意知X听从N＝8，M＝2，n＝4的超几何分布，所以P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)))＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)关键力量·合作学习类型一求超几何分布模型的概率(数学运算)1.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，那么恰好取到1件次品的概率为()A．eq\f(28,45) B．eq\f(16,45) C．eq\f(11,45) D．eq\f(17,45)【解析】选B.由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(16,45).2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，那么语文课本共有________本．【解析】设语文书n本，那么数学书有7－n本(n≥2).那么2本都是语文书的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(7－n)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7)，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.答案：43．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，那么至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)【解析】所求概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(27)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(30)))＝eq\f(28,145).答案：eq\f(28,145)求超几何分布模型的概率的关注点1.关键：分析随机变量是否满意超几何分布．假设满意，那么直接利用公式解决；假设不满意，那么应借助相应概率公式求解．2．留意：公式中M，N，n的含义．【补偿训练】在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不便利的村庄数，以下概率等于eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)【解析】选C.15个村庄中，7个村庄交通不便利，8个村庄交通便利，eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))表示选出的10个村庄中恰有4个交通不便利、6个交通便利的村庄，故P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15))).类型二求超几何分布模型的分布列(数学建模、数学运算)【典例】袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)设X1为取得红球的分数之和，X2为取得黑球的分数之和，Y＝|X1－X2|，求Y的分布列．【解析】设ξ为从袋中任取4个球中红球的个数，由题意ξ听从N＝7，n＝4，M＝4的超几何分布．(1)从袋中任取4个球的状况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种状况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8.P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(1,35).故所求分布列为X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)(2)从袋中任取4个球的状况为：1红3黑，X1＝2，X2＝3，Y＝1；2红2黑，X1＝4，X2＝2，Y＝2；3红1黑，X1＝6，X2＝1，Y＝5；4红，X1＝8，X2＝0，Y＝8.P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(4,35)，P(Y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(18,35)，P(Y＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(12,35)，P(Y＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)))＝eq\f(1,35).故所求的分布列为：Y1258Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)求超几何分布的分布列的步骤如下：(1)辨模型：验证随机变量听从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；(2)算概率：依据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；(3)列分布列：用表格的形式列出分布列．现有10张奖券，其中8张1元的、2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解析】设所得金额为X，X的可能取值为3，7，11.P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝11)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15).故X的分布列为X3711Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)类型三超几何分布的综合问题(数学建模、数学运算)角度1超几何分布的均值【典例】假设有一大宗商品，二等品率为4%，从中任取100件，估计二等品数是________件．【思路导引】利用超几何分布均值公式求解．【解析】估计二等品数为100×4%＝4(件).答案：4本例的条件变为一批产品有50件，其中一等品30件，二等品15件，三等品5件，假设从中任取20件，估计二等品________件．【解析】这批产品中，二等品率为eq\f(3,10)，因此估计二等品为6件．答案：6角度2几种分布列的综合问题【典例】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.(1)假设从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数ξ的分布列；(2)假设从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列；(3)假设从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为X，求①X的分布列；②抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【思路导引】先确定X的取值状况，再求概率，列表写出分布列．留意不放回抽取与放回抽取的区分．【解析】(1)抽取一件，只有抽到一等品和没抽到一等品两种状况，故ξ的取值只有0和1两种状况，听从两点分布．P(ξ＝1)＝eq\f(3,10)，那么P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).因此ξ的分布列为ξ01Peq\f(7,10)eq\f(3,10)(2)假设每次抽取后都放回，那么每次抽到一等品的概率均为eq\f(3,10)，3次抽取可以看成3次重复试验，因此η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,10)))，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(η＝0))＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))3＝eq\f(343,1000)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(η＝1))＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2＝eq\f(441,1000)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(η＝2))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))1＝eq\f(189,1000)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(η＝3))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))0＝eq\f(27,1000).因此η的分布列为η0123Peq\f(343,1000)eq\f(441,1000)eq\f(189,1000)eq\f(27,1000)(3)①每次抽取后都不放回，那么随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件数X听从参数N＝10，n＝3，M＝3的超几何分布，所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3－m),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))，m＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)②设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数〞为大事A，“恰好取出1件一等品和2件三等品〞为大事A1，“恰好取出2件一等品〞为大事A2，“恰好取出3件一等品〞为大事A3.由于大事A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，由于P(A1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为eq\f(31,120).1．求分布列时要留意的问题(1)仔细审题，确定分布列的类型；(2)弄清参数的取值；(3)正确运用公式求解概率．2．几种分布的特点及关系(1)两点分布是一种特别的二项分布，即n＝1的二项分布．(2)n重伯努利试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，超几何分布的实际原型是不放回抽样问题．1.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球个数的数学期望值为eq\f(6,7)，那么口袋中白球的个数为()A．2 B．3 C．4 【解析】M个白球，从中任取2个球，取出白球的个数为X，那么X听从超几何分布，其中N＝7，n＝2，所以E(X)＝eq\f(2M,7)＝eq\f(6,7)，所以M＝3.2．盒中装有外形、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．假设从中随机依次取出2个球，那么放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________.【解析】假设放回抽取，设取得红球的个数为X，那么X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,5)))，取出2个颜色不同的球即大事“X＝1〞，所以P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(12,25).假设不放回抽取，设取得红球的个数为Y，那么Y听从N＝5，n＝2，M＝3的超几何分布，所以取到的2个球颜色不同的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(3,5).答案：eq\f(12,25)eq\f(3,5)3．高三(1)班的联欢会上设计了一项嬉戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖．(1)假设摸出后放回，求中一等奖的概率；(2)假设摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②假设至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．【解析】(1)假设摸出后放回，设摸到白球的个数为ξ，那么ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))，中一等奖即大事“ξ＝1〞，所以P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(10,243).(2)①假设以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，那么X听从超几何分布(N＝30,n＝5,M＝10)，由公式得，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5－4),\s\do1(20)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(30)))＝eq\f(100,3393)≈0.0295，所以获一等奖的概率约为0.0295.②依据题意，设随机变量X表示“摸出红球的个数〞，那么X听从超几何分布(N＝30，n＝5，M＝10).X的可能取值为0，1，2，3，4，5，依据公式可得至少摸到3个红球的概率为：P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(30)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(30)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(20)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(30)))≈0.1912，故中奖的概率约为0.1912.课堂检测·素养达标1．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A．eq\f(1,120) B．eq\f(7,24) C．eq\f(7,10) D．eq\f(3,7)【解析】选B.P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,24).2．假设随机变量X听从超几何分布，且N＝8，n＝2，M＝3，那么E(X)的值为()A．