数学分析（下）期末考试试卷及答案

*书签117♦@㊀噩口

一、计算下列各题：（前4题每题5分，最后一题6分，共26分）

sinxv2

1.求：lim

y)->(0,3)x

sinxv2

sinxv"v2

hm.......-=hm-----7-•y=9.

(3,y)T(0,3)x(X.y)->(03)xy-

2.如(x,y,?)=//，

计算：gradf\^2).

y]x~+y+z~

贝|J：*二—3•二二—贝小察=--

ox厂rrox(l2(2)27

同样甚2,也2

力（122）27次(1,2,2)27

因此，gw叽22）=—Jl，2,2}・

但书签•1"♦6㊀二霸甘

3.求曲面S：x2+2y2+3z?=20在点(3,2,1)处的法线方程.

222

令：F(x,y,z)=x+2y+3z-20,贝I」：Fv=2x,Fy=4y,F.=6z.日

因此，—向量-M},故法线为得=宁=早

--------:--------

9

4.设曲线。:工+y2=i的长度为Li+S：j(x+2y)2ds.

4.

*书签・217♦㊀H口

J(x+2y)2ds=J(x2+4y2+4xy)ds=j4ds=4L.其中：［xyds=O.

cccc

5.设£为曲面2=尸了介于平面z=0和z=2之间部分的下侧，计算:

(1)JJdS；(2)jjdxdy.

EE

由于z=J£+y?,则：%~/入，z、,=/).

J%-+y-+y-

因此,JJdS=jjyjl+z；+z；dxdy=4&万.

|jdxdy=-JJdxdy--4%.

Ex2+y2^4

二、计算题：（每题8分，共56分）

*书英-2"♦@㊀冒噩口

二、计算题：(每题8分，共56分)

2

1.设/'(x)是周期为2万的函数，Ji/(x)=q■-兀'(一兀QXw兀),求：f(x)的

Fourier级数,并计算£与的和.

n=in-

⑴由于/(x)是周期为2%的偶函数，则："=0.

2x25,22(-1)"

tz=—r(---7t~)ax=—7T,a=—\(-----7t~)cosnxdx=----；—(//=1,2,…).

n4J。23"3。2n~

S°°(—])"

因此，f(x)=__^2+2^~-^―cosnx.(XGR)

6Mtr

7T7

(2)(*)式中，令x=0,则：/(0)=-7t~=--+2V.=>V—

~~12

6〃=in~„=itr

令：b=+81则fk=2+8£上1.=?=k工+±81一2之y]-=Z8(一1尸7V

占犷2占(2〃)-2tin-tr(2/1)-£tr12

因此，y^=—.

占〃-6

<+81+<»

*书签•2/7♦①㊀国口

I，L4“=i4“=i〃w=i—__rtr-

二1M

因此，£4=—.

£〃-6

力-SJ~81J~81

【或】：在(*)式中令工=加贝|J：E—万2=一？/+2£=.n£==E.

26±/6

2

工（丫一2）2“工1

2.计算级数工的收敛域及和函数，并计算£_L的值.

M〃.4"M小4"

*书签3/7♦①㊀M

2.计算级数£鱼芈的收敛域及和函数，并计算£

—的值.

n=l〃。4'”=1n-4”

（x）小（6；上」空生＜1，贝小。＜大“

(l)lim〃，用

W—»OO〃”（x）”18（〃+1）.4向（x-2）2n4

4-eo/\2/1-H»1-H»■Foo1

当x=0时发散；当x=4时》22"=却发散.

tt小4"念”=l〃

因此，级数的收敛域为：（0,4）.

⑵令.=（2,S(f)=£C贝％S'⑺=£△1

入二匚.（其中:一

471=1〃n=l1—，

+<»d产((%-2产

故，SQ)=-ln(lT).所以,Z=­In1—=ln4-ln(4x-A：2).

n=l小4"4)

其中

M14

(3)上式中令x=3,可得,£----=In—.

念n•4"3

*书签3，7♦@㊀■口

MkP：0<x<4.

E14

(3)上式中令无=3,可得,£----=In—.

念n•4"3

L=L

【或】：令「=区?匚，对于级数之匚而言因此二的三

4,(=|n"T8|an|”T8〃+]M=1n

收敛半径为1.而当，=-1时，级数之且A攵敛；当』时，级数之,发散.

„=i〃„=in

故级数之，收敛域为因此，当-叱三或<1,即o<x<4时

收敛.因此，原级数的收敛域为(0,4).下面与上同.

3.设z=/(/+yT),且/具有2阶连续偏导，计算:多点.

XOXOXOV

★书签3/7♦①㊀目国

3.设z=/，+/,2)，且/具有2阶连续偏导，计算:生臬.

xoxoxoy

(1)改:=2里-三V启

axx~

2

az(1A1v/IA

(2)肃=2X2Ma—几--72-42#2l+-/22

dxdy〈xJx'x~\x)

//•2yly上1„

=4xvfn+(2----)^2—f11—7.A-

X~Xx~

3

*书签4"♦①㊀圄国

4.计算Jj(x?+y?)d«/y,其中£)={(x,y)lx12+y2<x+y}.

D

x=—+rcos3、/、

2，则:警，

方法-'、区域。：（X）~4-（V）-（一.令:《

2-22Mas8)

踮

2

「2113

/=1。"可“(厂9+「cose+"ine+5)M-=」

0

1

x=-+u、/、

2，则:虹％./

方法二、令：《(〃H—)~+(vH—dudv

v=l+va(…)22)

2

iA

u~+v~+u+v+—dudv=£d0/忑(r2+—)-rdr=-7T.

2jJ。28

«2+v2<l

书签・4"♦①㊀M

方法三、/=Jjrdr=—J(cos8+sin6)4d。

~4°4q

£

=退［岳皿汨）"=sin4udu=2f2sin4udu=2•31兀

J：J04^27

5.计算三重积分:JJJe^dxdydzr其中C={(%,y,z)Ix24-y24-z2<1}.

由于积分区域关于xoy平面对称，被积函数阴关于z为奇函数，踮

因此,1=2jJJe^dV.

x2+y2+z2^l

(z>0)

方法一1、1=2jTrdr^~^e~dz=4^j'r(e',^7-1jjr(令：r=sinx)

u=cosxQ

=4^jsinx-cosxec^xdx-2^—-4^jue"du-2兀=2兀.

方法二、/=2je'dzjjdxdy=2^jJ(l"z=2〃.

方法一、/二2『呵e:dz=4》dr(令：r=sinx)

z/=cos.v

2sinx-cosxec^xdx---4^1(ueadu-2.71-2%.

方法二、/二2，)e'dzjjdxdy=2^j(1—z2)Jz=2TT.

0x?+.弘T°

方法三、/MZjjdejjdejoePco'w"sine’/pud»JodpJj/cosOpZsinede

=4可：p(-)："夕=4dp("7)dp=2兀.

4

*书签・5，7♦①㊀M

6.设点用（,小。是球面r+V+第一卦限中的一点,S是球面在该点

处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点"C，〃，？）使曲面积

分：/二JJxdydz+ydzdx+zdxdy为最小，并求此最小值.

⑴球面V+V+Z?=/在点MC，小?)处的切平面方程为：鼻+〃y+?z=/

JJxdydz+ydzdx+zdxdy=jj(xcosa+ycos夕+zcosy}dS

s

i21i6

“ffJO\Wa~1a

+dS=4||dS=ax—x——x—x----=-----

会2g77cos/26.

/+〃?+?2Y

（2）由于9+炉+r=/,则：记国2£

—•=64c——尸.

3)27,373

因此,JJxdydz+ydzdx+zdxdy2等号在工=y=^=1时成立.

故，点M为（［，茕,莹）时，曲面积分有最小值当/.

*书签•5”♦@㊀M

【或】：⑴添加切平面与坐标平面所围立体C的另三个三角形SQ,、S、.,、Sy,

使其与s所围闭曲面方向为外侧.贝IJ：根据G〃心S公式可得：

xdvdz+vdzdx+zdxdy-[[xclydz+vdzdx+zdxdv

J1““JJ”

)：、「

S+5“.+S+S[,Sxy+S+SJ[*

76(鼻+〃y+4z=a\截距分别为：4、《W.'

=fff3dV-+-0=—.切平面:

叫2初久

(2)构造£agra〃ge函数：J(x,v，z，2)=xyz+A(x2+y2+z2-a2).

fx~yz+2/lx=0(1)

人f-zx+2Ay=0⑵

令y

fz=xy+2Az=0(3)

2222

fz=x+y+z-a=0(4)

由于x、y、z>0，则:"=?=也2-2/1.将其代入⑷可得，x=v=z=—j=.

xyz<3

由于驻点唯一，根据实际问题当x=y=z=4时，冲z有最大值

V33百

因此，&=竽/

★书签6/7♦①㊀M

7计算!黑竽’其中曲线°是从点A。。）沿广8sl到点夙-〃,。），再从

点8沿直线到点。（万，-2兀）.

方法一、•2二K7‘Q二彳贝小孩"言奇^二祟

•连接。4作L：4犬+y2=3-{3>0,b足够小），方向为顺时针.

则:［竺*rxdy-ydxrxdy-ydxrxdy-ydx

c+1+L4/+y214x2+y2!4x2+y2

Jc4%~+/y

o

o兀7TV+,jj2dxdy

0—-dy-xdy-ydx=——arctan^―

-2〃4万？万万

+y22一2万04x2+y2SJ2

41G7

----H-----,7CO=一兀.

8828

*书签6/7♦©©圜困口

方法二、从点A（%,0）沿直线到点A（4,2万）、再从点A沿直线到点4（-乃,2乃）、

从点&沿直线到点4（-%-2万）、再从点A沿直线到点。记此路径为L.

由于尸二户二，Q=#r，则当二孚;且在由曲线C、L

4x-+y~4x_+y~dy（4x-+y"）-dx

所围区域内P、Q都有一阶连续连导数，因此，

rxdy—ydxrxdy-ydx

[4/+v2[4x2+y2

_/乃7cdy+-iTVdx+「2i一兀dy+「2兀dx

J。4乃2+;/J*4f+4/J2#44?+y2J-万4/+4%2

In-n—2/r

7tV一2兀x-7ty-2.71X

=——arctan+-a-r-ctan—H-----arctan——H-----arctan—

lit2〃04%冗n1：t2兀4万兀

★书签㊉㊀I■口

6

三、证明题：(每题9分，共18分)

1.叙述级数£>“(x)在数集O上一致收敛的定义，并证明：/(x)=£畔”

n=1n=0〃+1

在(0,2为内连续，且有连续导数.