数学必修四知识点总结

知识网络结构

一、基本概念：

1•角的概念的推广

CU正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，

并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和

零角，这样角的大小就不再F艮于0°到360°的范围.

(2)象F艮角和轴线角.象F艮角的前提是角的顶点与

直角生标条中的金标原点重合,始边与轴的非负半

轴重合，这样当角的终边在第几象F艮，就说这个角

是第几象限的角，若角的终边与金标轴重合，这个

角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.

(3)终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角

叫终边相同的角,所有与角终边相同的角(包含

角在内)的集合为.吊〃=。+公360,止Z)

(4)角在“到”范围内,^0°<cr<360°

一、任意角的三角函数

6ZG(—oo5+oo)

一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与原点重合,角的始边

与X轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。

二、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这

个角是第几象限角。

注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。

三、所有与角。终边相同的角，连同角。在内，构成集合：

S={/310=（X+k-360\kEZ}（角度制）

={/3\/3=a+2k7r.kEZ}（弧度制）

例1、求在0。到360。（0至IJ2%）范围内，与下列各角终边相同的角

（1）、-950。12’129°48z

191

（2）.-7T-71

33

—一、终边相同的角

1、终边相同的角与相等角的区别

终边相同的角不一定相等,相等的角络边一定相同O

2、象限角、象间角与区间角的区别y

\lk兀,2k兀+%](kGZ)------p----->x

3,角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相

垂直的两条直线上”的一般表示式

一、角的寒本槐念

1.几类特殊角的表示方法

⑴与。角终边相同的角的集合：{川住2AAaA£Z}・

(2)象限角、象限界角(轴线角)

①象限角

第一象限角：Qkga<2kmMkeZ)

第二象限角：Qk玳*<a<2k册私依办

第三象限角：Qk册ga<2k启考,keZ)

第四象限角：

(24外¥va<24而2%AEZ或IkTT私keZ)

②轴线角

x轴的非负半轴：行生360。（24句（AEZ）;

x轴的非正半轴：的"360。+180。（24/勿（4£2）;

y轴的非负半轴^1!：的"360。+90。（2如叶号）/£Z）;

y轴的非正半轴：的"360。+270。（2如叶苧）或

行"360。-90。（2壮彳）（住Z）;

x轴：户。180°（A砍AwZ）;

y十^1内!：0="180。+90。（九冰彳）（462）;

坐标轴:由〃・90。（坪）（kwZ）.

例2、(1)、终边落在x轴上的角度集合：

{J3\J3-kjr.ke.Z}

(2)、终边落在y轴上的角度集合：

{/310———I-keZ}

(3)、终边落在象限平分线上的角度集合:

ZQIQ兀kjT7

1°

典型例题

例1.若a是第三象限的角，问a/2是哪个象限的

角?2a是哪个象限的角？

各个象限的半角范围可以用下图记

忆,图中的I、II、皿、IV分别指第

、四象限角的半角范围;

例1(90年，上海)

设a角是第二象限且满足|cos-|=-cos-,

22

则=角属于(C)A.第一象限;B第二象限；

2

C第三象限;D第四象限.

点评：

本题先由a所在象限确定。/2所在象限，再a/2的

余弦符号确定结论.

例1求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度:

解：分针所转过的角度=-型〕X360。=-480。

例2已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限

评析：在解选择题或填空题时，

如求角所在象限，也可以不讨论k的

几种情况，如图所示利用图形来判断./

四、什么是1弧度的角？

长度等于半径长的弧所对的圆心角O

⑶角度管蠹*/盘黑

以友善晨k在节氢注意…时

混用角度制和孤度制

^^-rad

1

180°=180x1°=兀rad-180

1803.30°

71

式和扇形面积公灯

（4）孤长公

“。nJi

/二-^,2%■而厂

/二的360°I”

°n兀/二"户

2J//

£S=w36°

S二2

2〃2

2、角度与弧度的互化

O

二

243601QA

f1弧度=(——)。。57.30。二57。18'

71

»二180。

1°=—

180

特殊角的角度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90c120°135°150°180°270°360°

兀兀71712〃3兀5兀3万

弧度0712兀

6~4~23T62

兀Q兀

例3、已知角a和0满足一］<p<oc<—

求角a邛的范围.

,・,0<a.:,a-/3>0.v--<B，：・一万〈~-

解:

7171717

*.*a<—.a—pn<—I———7i

44312

例4、已知扇形的局长为定值100,间扇形的半

筱和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值

是多少？

略斛：S=—lr——(100-2r)r=-r2+50r=-(r-25)2+625.

r=25,/=50,6T=—=扇形面积最大值为625.

r)

例7.已知一扇形中心角是a,所在圆的半徒是R.

①若a=60°,/?=10cm,求扇形的孤长及该孤

所在的弓形面积.

②若扇形的周长是一定值a0>0),当a为多少

孤度时，该扇形的面积有最大值？并求出这一最大

值？

指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制

两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易

记，而且好用,在使用时，先要将问题中涉及到的角度

换算为弧度.

解：(1)设弧长为/,弓形面积为S弓。

*/oc—60°==—1乃(。冽)

22

s弓二s扇一SA=-x—^xl0--xl0xsin60°=50(---)(cm)

(2)扇形周长C=2A+/=2A+OXK

11

s=-lr=-(c-2r)r0<r<-

222

y，

2,正弦线、余弦线、正切线

正弦线：有向线段MP

r余弦线：有向线段OM

正切线：有向线段AT

注意：

CU圆心在原皮，半筱为单位长的圆叫单位圆.在

平面直角生标系中引进正弦线、余弦线和正切线

(2)当角a的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一

个点；当角a的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，

正切线不存在。

正弦、余弦函数的图象

三角函数三角函数线

sina=MP

正弦函数------正弦线MP

余弦函数，叫余弦线OM

-r—tana=AT一一八、

正切函数一■・正切线AT

函数y=lgsinx+Jcosx一上的定义域是

(A)兀

(A){x|2k7r<x^2k7i+^GZ)}

(B){x|2k7rWxW2k7r+>GZ)}

(C){x|2k7r<x^2k7r+7r(kGZ)}

(D){x|2k7t<x^2k7i+f(kez)}

专题知识三角函数线的应用

1、已知：角。为锐角，

试证：(1)sina<a<tana

(2)1<sincr+coscr<V2

jr

2、已知：角0<a<一为锐角,

母4

试证：sincr<------<COSCC

2

sinx>cosx

________________________

)・

smx<cosxx

y

nx+cosx>0

----------------------

sinx+cosx<0N>X

4F

▼

例5已知角的终边经过皮尸（3凡一4。）（4W0）

求sin。+2cos。值。

432

q>0sina+2cosa=---F2X-=一

555

4/312

sina+2cosa=-+2x——

。<05I5)5

例6若a为第一象F艮角，利用三角函数线证明：

sina+cosa>1若a为其它象F艮角呢?

例7求函数胃=Jcosx+J-tanx的定义域.

f71]

\x---F2k7i<x<2k兀,keZ>

2

4.三角函数的符号

smaC0S6Ttana

不存在

yOtyy

0++0-++

---->X-1-lxo___-J)x

00

++°

-1

0不存在

三角困敦值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦

二，同角三角四教的基本关系式

倒数关系：商关系：平方关系：

sinasm•2a+cos2a-\-1

tana・cota—\tana=------

sinacsca=1cosa1+tan2a-sec2a

cosa

cosaseca=1cota=------1+cot2a-esc2a

sina

5•同角三角函数基本关系:

平方关系倒数关系商式关系

•221sina

sma+cosa=ltana-cota-\tana=-------

tan2a+l=sec2asecacosa=Icosa

cosa

cot2a+l=esc2aesca-sina=Icota---------

sina

神奇的六边形

tana

同角三角函数基本关系注意事项:

(])上述几个基本关系中，必须注意：①它们

都是同一个角的三角函教，因此sin2(x+sin2p=1

不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角

使等式两边都有意义的前提下成立.

(2)同角三角函数的基本关宗常用于：①已知

角的某个三角函数值，求角的其他三角函教值；

球化简三角函数式B③证明三角恒等式

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三、典型例题分析

4

例1.（1）已知sina=—,并且a是第二象限角，求a的其他三角函数值.

5

4

（2）已知sina=—,求a的其他三角函数值.

5

（3）已知sina=加且mWO）,求。的其他三角函数值.

【］已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基

本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正

切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条

件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解），根据a角所在象限,

确定正负号的取舍,当给出的。的象限指定唯一，则此时一般有一

解；当角a的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定a的

象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符

号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）.

\主要题型

例1：已知。是第三象限角，且cosa=-L0求ana。

3

解：・.•戊为第三象限角

sina=-712

-cosa--1-（

中3

sina^

/.tana---------=272

cosa

应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系;

例2,巳如sina=m(//n/<1),求tana.

方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况.

(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有

一解.

(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，

有两解.

(3)已知角a的三角函数值是用字母表示时，要分象限

讨论.a分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方

关系的那个三角函数值符号，一般有四解.

例4、设a为第四象限角，其终边上的一个点是

72

P(x,-J5/且cosa=--x,求sina和tana.

4

指导：容易出错的地方是得到/=3后，不考虑〃点所

在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地,

在解此类问题时，可以优先注意角a所在的象限，

对最终结果作一个合理性的预测

®00<a<90°,对于任意一个0。到360。的角0

a,当更[0。，90°]

180O-a,当肥[90。,180°]

P=1800+a,当先[180。，270°]

360°-a,当肥[270。，360°]

电何求雄锐角的三角善数值呢7

角180。r，180°+a,360。位的三角函数值与

a的三角函数值有何关系呢?

6.诱导公式:

公式1

sin@+2/)=sina公式3：sin,-a)=sin«

c0s0+2Qr)=c0scrtan体-a)=-taro

tan@+Ikjr)=tanacos,-a)=-costz

公式2：sin3+a)=-sim公式4：

sinQ"—戊)=-sintz

cos^r+cr)=-costzcosQ.71-a)=cosa

tan仇"+a)=tarotanQ%-a)=-tana

公式5：奇变偶不变，

sin(-a)=-sincr符号看象限！

cos(-a)=cosa

tan(-6r)=一tana（注意：把。看作是税角）

71、

sin(-----a)=cosa

2

兀

cos(-----aI=sina

公式五:2

兀、

tan(-----a=cota

2

sin(―+a)=cosa

2

兀

cos(+a)=一sina

公式六:万

兀

tan(+a)--cota

~2

偶同奇余象限定号

(其中％EZ):

sin(a+2k冰=sinasin(%+a)=-sinasin(-a)=-sina

cos®+2k兀)=COSQcosQr*。)=」cosacos(-a)=cosa

tan(a+2左乃)=tanatan(^+a)=tanatan(—a)=-tana

sin(〃一a)=sinasin(2〃-a)=-sina

I||

cos(万一a)=-cosacos(2〃-a)=cosa

tan(2〃-a)二-tana

IJIII

sin(~^-a尸cosaSin(-j-a尸cosa

JT

-IJIII.

cosCy—a)=sinacos(7+a)=­sina

.n

tan('^~—a)=cotaIJIII

tan(-z-+a)=­pota

3n

sin(~^-a)=­cosa

3

JI

2a

a-ca

ot

-sina（K是奇数）

sin(左4+a)=<

sina（K是偶数）

-cosa（K是奇数）

cos(E4+a)=<

[cosa（K是偶数）

tan(%万+a)=tana

sin(-a)=—sina,

cos(-a)=cosa.

tan(-a)=-tana

诱导公式总结:

口诀：奇变偶不变，符号看象限

JT

左一±以左eZ）的三角函数值

2

1）次为偶物时,等于c的同名三角函数值，前面力吐

一个把泊作锐角时原三角函数值的符号；

2）当为奇数时，等于附异名三角函数值，前面力吐

一t把滴作锐角时原三角函数值的符号；

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角

函数，一般按下面步骤进行：

任意负角的用公式三或一任意正角的用公式一

三角函数三角函数

0。到360的角用公式锐角三

的三角函数二或四角函数

特殊角的函数值你记住了吗?

0©：S©：©©&M

三，典型例题分析

例3已知sin。=2cosa，

求q-s-i-n-a-_--4-c-o-s-a-及4sm.2a+2csm•acosa+2c的值十。

5sina+2cos。

[]视sina,cosa等为“一次式”,sin2a,

sinacosa等为“二次式”.

象此题中的“分式齐次式”、“齐次二项式”是典型的

条件求值，一般化为含tana

的式子.要注重数字“1”的代换，表面上看增加了运算，

但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决

问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识.

1>已知：sina+3cosa=0.求：

3cosa-sina

(1)----------------------

/3cosa+sina

(2)2sin2a■3sinacosa+2.2

1。・

、.t3sina-cosa5,，,一

［变式1］已知：2sina+3cosa节,求tana的值。

22

答案：tana=o

11

例1:（04湖南）

加12

若tan(—+a)=2,贝！J-----------------------—=3

42sma-cosa+cosa-----

分析：从已知tan(—+a)=2可求出tana=

43

sm•2a+cos2a

原式可化为

2sina•cosa+cos2a

2一

同除以cosa得1

t,an2cr+1I_('一3)十I2

----------------------------

2tana+I2x1+13

3

例5,若tanA=—1,求2sin2A+sinA・cosA・3cos2A

的值。

指导：这是一个已知角A的三角函数值，求它的

三角函数式的值。观察其构成特征，可考虑利

用“1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用

条件正切来表示。即先变形，后代入计算。

例5,若tanA=—去求2sin2A+sinA・cosA・3cos2A

的值。

解：2sin2A+sinAcosA-3cos2A

2si•n2Z+si•nZcosZ—3cos?Z

sinA+cosA

2tan。4+tanZ-3

tanA+l

2(—方尸+(—表一3_63

T+141

例1、已知t-a=2,求下列各式的值:

tana—1

、sina—3cosa

(AD----;-----；

sina+cosa

/八2sin2a-3cos2a

(2)------a------------a-;

4sin2a-9cosa

(3)4sin2a-3sinacosa-5cos2a

今折：由已知可以求出tana的值，属“给值求值”型

本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使

用条件应比较简单些。

卷IISHMI

解：由已知二11。=2,解得tana=2

tana-1

(1)注意到分子、分母都是sina、cosa的一次齐次式,

・.,cosaw0,.•.分子、分母同除以cosa有

hgtana-32-3_1

原式二-------=

tana+12+1~-3

(2)分子、分母同除以cos?。,有

2tan2a-32x4-3_5

原式二

4tan2a-94x4-9-7

(3)利用sin2a+cos2a=1,将已知的二次齐次式构造成分式

Ha4sin2a-3sinacosa-5cos2a

原式二--------「------2----------------------

sma+cosa

4tan2a-3tana-54x4-3x2-5,

=-----------------------------=---------------------=1

tan2a+14+1

例致身称可

例4化简

sin[(k+1)乃+6]・cos[(4+1)71-6}

(左eZ)

sin(左%一6)・cos(左乃+6)

练习1^csin(2n7c+2K/3)-cos(njc+4K/3)W(neZ)

__n

当n为奇数时，-乎当n为偶数时,匕

2化简cos[(4n+1)K/4+X]+cos[(4n-1)K/4-X]

当n为奇数时，原式=・2COS(TC/4+X)

当n为偶数时，原式=2cos(兀/4+x)

补充：已知cos。=-cos。且tan。＜0

⑴试判断当黑的符号；

cos(sm0)

CSC。2co

(2)化简

Vl+cot26A/CSC20-1

解：由|cos0\=-cos6ncos0<O

=>e的终边在第二、三象限或F轴和*轴的负半轴上;

又tan6<0，，夕角的终边在第二、四象限,

从而6的终边在第二象限。

(1)易知一1<cos。<0,。<sin。<1

/.cos(sin^)>0，sin(cos8)<0,ns皿0°s')<。

cos(sin，)

esc。2coesc，2cote

(2)原式=+=-1

ICSC^I|cotICSC，cot，

0©：§©：0©AM

1+2smxcosx1+tanx

例4.求证:

cosx-sinx1-tanx

【解题回顾】

★证等式常用方法:

（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为

原贝（I）

（2）两边向中间证

（3）分析法；

（4）用综合法

★★证展M的思路要灵活，根据等式两边式子结构特

点，寻求思路.

三、典型例题分析0©：§©：00公M

例5已知sina=2sinP，tana=3tanp,求cos?0

【1根据目标式子无B的特点,

采用消元思想，

三角平方关系式消元是一重要方法.

I>sin6+cos0，

sin0cos0，sin9—cos0

三个式子中，已知其中

一个式子的值，可以求

出其余两个式子的值。

sinx>cosx

________________________

)・

smx<cosxx

y

nx+cosx>0

----------------------

sinx+cosx<0N>X

4F

▼

0©：S©：©®公M

三、典型例题分析

例2、：已知sin6+cos夕二e（0,不）

求cot6的值.

【解题回顾】sine^cose^^

sj〃2e+cos26=1形成对立与统一的整体，它们

的和sMO+cos。、差s加仇cos。、积sinOcos。、

商sM6/cos6（即tan。）密切相联，如

（sin0+cos6）2=1+2sinOcosO,

(兀兀、

例6,若sinacosa=i，ae则

cosa-sina=。

指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想

联系起来只有平方，需注意的是妆(余刍即

cos。＜sina

(cosa-sina)2=cos2a+sin2a-2sinacosa

V3

=1-2X1/8=3/4.・.cosa-sma=-

练习（1）已知A是三角形的内角，且sinA+cosA」,则cos2A

2

寸丁0

【例

4

小辂，解决“给值求角”型问题，关键是利用给定

的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数

值，在某个范围内求出具体的角。

株5

设sinacos6是方程2d一（百+l）x+加=0的两根，求:

sin。cos。

(1)+及股的值;

1-cot01一tan0

⑵方程两根疝16储0的及此时6的值。

A/3+1(2)6=色或6=8

(1)

2263

•例3已知a是三角形的内角，且

sina+cosa=，!求tana的值。

5

解：由sinQ+cosa--5,平方整理得Sinacosa=--5<0,

因Q为三角形的内角，「.OVa<it,sinQX),cosa<0,

.-.sinCL-cosa>0.

因(zsma-cosa)、2=il-2csi•nacosa=—49.,.sinacosa=-7

255o

•4

rsi•na+,cosa=-1rsina=-

55

由<=><

4

[Sina-cosa=-Icosa.•.tana二一一。

553

思考题

解答下列问题：

(1)若)在第四象限,判断sin(cos，>cos(sin。)的符号;

(2)若tan(cos，)•cot(sin0}>0,试指出—所在的象限,

2M/

并用图形表示出的取值范围.

三、三角徐照囹像和但质

函数y=sinxy=cosxJ尸tcmx

iAyL

、

图象C2”

~0IVx1\/Ybjta

7兀

定义RRXWK7lH

2

值域[-1,1][-1,1]R

奇偶性奇偶奇

对称TC\(

（左肛0）

k7T+-2.O)

中心I

函数y=sinxy^cosxy=tanx

当x—2k7i+,当x=2k兀》

2

Jmax=1ymax-1

最值无取值

当x=2k兀,当x=2k兀+兀，

2

>min=T

Vmin=-1

7n

对称轴x-k7l~\——x=k兀无

2

周期性2TT2TTTT

2k兀——,2k兀+—

[2左万一万,2左4增(j71171\1vt

k兀----,kjiH—

单调性\22)

[22

2k兀+,2k兀+左匹左乃+乃特

L22J

y=sinxy=cosxy=tanx

兀

定义域RR“X。一十左万,左GZ}

值域M,1]M,1]R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

鲁区间：增区间：增区间：

_,n7t\2k/r-7i.2k/i\kGZ)(717l\

2A7F----——(keZ)

单调性22ku阮~\■—(JCEZ

3区间:减区间：

_,n37r

2k兀+,2ATT+(keZ)[2左〃;2左刀+%](左GZ)

_22_

周期性T=2/17=2〃T=7T

对称中心：(碗;0)佐EZ)对称中心：(版■+',())(左eZ)对称中心：

对称性

对称轴：x=k7i+-(Ji^Z)对称轴：x=k兀*eZ)鸟,0)(林Z)

3、正切函数的图象与性质

正切函数的性质:

尸一1

k/c

6、对称性：对称中心

T,0)

7兀

7、渐进线:x=k兀〜——

2

、三角函数的图象和性质

1、正弦、余弦函数的图象与性质

y=smxy=cosx

i

、y

图1ZX/\/.

象0|兀X02兀x

,2.1

定义域RR

值域口，1］[-1，1]

性周期性T=2万T=2〃"

奇偶性奇函数偶函数

\2k7r-—,2左乃+生］增函数［2k兀-匹2k加］增函数

质单调性

\2k7i+—2k兀+包］减函数\2k7t.2k7t+万］减函数

y=3sin(2x+K/6)的图像的一条对称轴方程是(B)

(A)X=0(B)x=K/6(C)x=-7U/6(D)X=7C/3

解：令X=2X+TC/6,贝l」y=3sinX,由此可知y=3sinX的图像的

对称轴方程为X=k兀+兀/2,keZ

・•.2X+TC/6=k兀+兀/2,keZ,解得x=k兀/2+兀/6,keZ

/.y=3sin(2x+K/6)的图像的对称轴方程为：

x=k兀/2+K/6,keZ

令卜=0得乂=兀/6

、作y=Asin(3x+6)图象的方法

法一：五点法

列表取值方法：是先对3X+6取09ji/2,兀,3n/2,2n

法二：图象变换法

2、y=Asin(3x+。)关于A、3、。的三种变换

(1)振幅变换(对A)

(2)周期变换(对3)

(3)相位变换(对@)

3、求厂Asin（3x+6）+K的解析式的方法

1、先由图象确定A与T

2兀

2、由t3=〒求3

3、特殊点代入法求（p

4、y=Asin（（ox+4））（A>0,>0）的图象的对称中心

和对称轴方程

712k7t+K-2(p

对称轴:U)X+(p=k7t+Q/.X=

对称中心：（等，。）（k为整数）

2、函数y=Zsin(m+0)的图象(A>0,CO>0)

第一种变换：图象向左(°>0)或

尸sin%向右.<o)平移⑷个单仓户sin(x+0)

1

横坐标伸长(0<。<1)或缩短@>1)到原来的7倍.」、

()

------------------纵---坐--标---不--变------------------------------->'y=sm'6U¥+69

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0VAV1)到原来的A倍

>尸Asin(3+(p)

横坐标不变

第二种变换:1

横坐标伸长)或缩短到原来的。隼

y=smx3>1)y=sincac

纵坐标不变

图象向左(。>0)或.，、

-----------------「----------->y=sm(m+(p)

向右(夕<0)平移区1个单位

3

纵坐标伸长(A>1)或缩短(OvAvl)到原来的A倍y=Asin^+哈

横坐标不变

歹=/sin(勿x+0)+5函数系列要求:

1.五点法作函数y=Asin(cox+cp)的简图.

2通过图象变换得到函数y=Asin(cox+(p)的图象.

3.”看图说话”的思想.

4求解析式时注意”代点者趋势”的思想.

5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：

y-Asin(69x+(p)+B

并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、

对称中心、对称轴；会判断奇偶性

例3、不通过求值，比较tanl35。与tanl38。的大小。

解：V900<1350<138°<2700

又「y=tanx在x£(90°,270°)上是增函数

/.tan1350<tan138°

例3求函数y=tanx的定义域值域

解,:M-tanx>0

/.tanx<V3"

777F

:.kn-----<x<kjc{keZ),y>0

・,.定义域为(k兀一土，k兀+土l(ksZ),值域为：05+oo

23

2、函数＞=sin(-x)单调递增

「…兀、7

区间是［2左乃+万71,2〜而+万3］,丘2

变题：函麴=3sin(：-2x)单调递减

「7'475兀

区间是［12,9k兀+12].kez

y=3sin(y-2x)=-3sin(2x一y),令，=2x-y,贝=-3sint.

当2左万——<t<2k兀+—，即2左万-—<2x-—<2k兀+—

22232

兀57r

即左乃----<x<kyr-\----，左ez时,x///，sinZ/,y\

12r12r

例4函数丫=(：0§(2乂把)图象的一条对称轴

方程为O2

(A)x=-y(B)x=-7(C)x=y(D)x=7l

解：2x+会=3

2x=k/r《

x=^^k=0x=选B

例5函Sy=sin((Dx+(p)((D>0,|(p|<)的图象

向左平移今单位，再将图象上所有点的

横坐标扩大到原来2倍(纵坐标不变)得

函数y=sinx图象贝1jco=(p=。

解：y=sin2x

=sin2(x-,)=sin(2x-.)o=2(p=・y

5九

6函数丫=5访(2乂+万)的图象的一条对称轴的方程为A))

KK715K

(A)x=--(B)x=--(C)x=-(D)x=—

71

7函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=・§对称,

则实数a=((D))

(A)72(B)-72(C)1(D)-1

例2（94年,全国）

JI

如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=----

8

对称，那么a等于（

思路:函数y=sin2x+acos2x可化为y=+a?sin（2x+@）

要使它的图象关于直线x=”/8对称，则图象在该处

必是处于波峰或波谷.即函数在x=“/8时取得最大、

小值.

r।兀兀।/7"

解：由|sin2x（-w）+acos2x（一可）|=Jl+a?

解得a=-l,应选D.

若y二/(x)的图象上每一点的横坐标伸长为

原来的2倍(纵坐标不变)，然后把图象向左

平移巳个单位，再把图象上所有点的纵坐标缩

2

短到原来的！倍(横坐标不变)，这样得到的

2

图象与y二smx的图象相同，则/(x)笠王■

(X71、/n、C.AX

(A)-sin-(B)2sin----

2U2j(22；

n\

(C)—sin2x—(D)2sin2x——

22)I2J

例9、(98年)关于函数/(x)=4sin(2x+-)(xe出有

下列命题：

①>=/(%)的表达式可改写为>=4cos2x--

②尸/⑴是以2万为最小正周期的周期函数

③y=/(x)的图象关于点［-？。］对称

k6J

④>=/(%)的图象关于直线对称

6

其中正确的命题序号是。

用“五点作图法”作出y=Asin（（ox+（p）

在长度为一个周期闭区间上的图象

ZzI:

/4、£|f

给出函数y=Asin（（ox+（p）（A>0,GJ>0）的图象

求其解析式的一般方法：

（1）由最大值点（或最小值点）定A

⑵由两个关键点（特殊点）定（0和（p

6、已知下图是函数＞=4sin(ox+。的图象

⑴求以0的值；

(2)求函数图象的对称轴方程.llzr

JZ_~\2

a

八兀

oxO+夕=一3=2

兀

(1)n<7t=歹=2sin(2xH——)

11c6

3X——7T+(p=27r

12

(2)函数图象的对称轴方程为

c兀1TCkirIT

2xH----=kjlT---5即x=-----1——，(左eZ)

6226

已知函数

y=Nsin(wx+夕)力〉。，口〉0,。〈一的图

\2)

象在歹轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个

最大值点和最小值点分别为(x,2)和

(x+37T-2),求这个函数的解析式。

(X7t\

答案：y=2sin---1----O

136)

例3

设函数/（x）=sin（2x+夕）（―〃＜（p＜0）.

71

歹=/（X）图象的一条对称轴是直线、=真，

O

（1）求。;

（2）求函数＞=/（、）的单调递增区间;

（3画出函数歹=/（X）在区间。兀］

上的图象.

JT

1)X=一是/(X)=Sin(2x+9)

解析:(8

图象的一条对称轴，

7171

/(-)=sin(2--+^)=±l

3»7171

:一兀<Q<a:・—<--F0<—

444

兀TC

----(D-..........A

42y

3万

：・(p=--------7T

4

377「/、./C3"、

(2)，：(p=_工/(x)=sm(2x---)

…713717127r

2k7T-----<2x-------<—F2kyr}keZ

242

7兀15兀7-

k7iH——<x<k7T------.keZ

88

函数y=的单调递增区间为

r7TC757c—

\kjiH—夕k兀H]eZ

88

3兀

(34x€[P,兀

3__f-y-1：--1；--1：-

2\\\

L——LI—LT

2」/

715万3万

1TT

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――一―一:__