导数与三次函数问题有答案

------------------------------------------------------------------------导数与三次函数问题有答案导数与三次函数问题知识梳理★一、定义：、形如的函数，称为“三次函数”三次函数的导数，叫做三次函数导函数的判别式。二、三次函数图象与性质1.三次函数图象a>0a<0>00>00图象xx1x2xxxx0xxx1x2xxx0x2．函数单调性、极值点个数情况。=，记=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x1<x2）a>0a<0>00>00单调性在上,是增函数；在上,是减函数；在R上是增函数在上，是增函数；在上，是减函数；在R上是减函数极值点个数20203、三次函数最值问题。函数若，且，则：；。4、三次方程根的问题。（三次函数的零点问题）三次函数(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.5、对称中心。三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。.C★典型考题★1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（A）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2.如图，函数y＝f（x）的图象如下，则函数f（x）的解析式可以为（A）Ａ）f（x）＝（x－a）2（b－x）Ｂ）f（x）＝（x－a）2（x＋b）Ｃ）f（x）＝－（x－a）2（x＋b）Ｄ）f（x）＝（x－b）2（x－a）3.设＜b,函数的图像可能是（C）4．已知函数，当时，只有一个实数根；当有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数有2个极值点；②函数有3个极值点；③方程的根小于的任意实根；④和有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（C）。 A．1 B．2 C．3 D．45、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－196.函数f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2（a∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围是——————。a∈[0，4]7.已知函数f（x）＝x３/3－（４m－１）x２＋（１５m２－２m－７）x＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m的取值范围。解：∵y＝f（x）在Ｒ上是单调增函数∴f´（x）＝x２－２（４m－１）x＋１５m２－２m－７≥０在Ｒ上恒成立，Δ=…=m２－６m＋８≤０得２≤m≤４8.已知曲线y＝x3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程解：f´（x）＝x2，f´（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f´（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（x－２），即y＝４x－４变式：已知曲线y＝x3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。错解：依上题，直接填上答案４x－y－４＝０错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点（２，４）在曲线y＝x3/3＋4/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x0，x03/3＋4/3），斜率为k=x02，切线方程为y-（x03/3＋4/3）=x02（x-x0）即y=x02x-2x03/3+4/3点（2，4）的坐标代入，得4=2x02-2x03/3+4/3，2x03-6x02+8=0，∴x03-3x02+4=0，又∵x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0∴（x0+1）（x02-4x0+4）=0∴x0=-1或x0=2∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。9、已知函数⑴求函数的单调区间及极值；⑵求在上的最值。解：令、、的变化情况如下表－1（－1，1）1＋0－0＋极大值极小值∴的单调递增区间是和的单调递减区间是当时，有极大值当时，有极小值⑵，∵在上只有一个极值点∴在上的最小值为－2，最大值为18变式一、已知函数，其他不变解：∴在单调递增，没有极值在上的最小值为，最大值为变式二、已知函数；其他不变解：△∴没有实数根∴在上恒成立∴在上单调递增，没有极值在上的最小值为，最大值为变式三、已知函数，，实数为何值时，函数与的图象的交点有一个、二个、三个？1Oyx1Oyx2－2－1当或时，函数与只有一个交点。当或时，函数与有二个交点。当时，函数与有三个交点。变式四、为何值时，函数有一个零点？两个零点？三个零点？解：令、、的变化情况如下表－1（－1，1）1＋0－0＋极大值极小值∴的单调递增区间是和的单调递减区间是当时，有极大值当时，有极小值要使有一个零点，需且只需，解得 要使有二个零点，需且只需，解得 要使有三个零点，需且只需，解得变式五、已知函数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围解：设切点为，则∴切线方程即∵切线过点A∴即∵过点可作的三条切线∴方程有三个相异的实数根设，则当变化时，、的变化情况如下表0＋0－0＋极大值极小值由单调性知：①若极大值或极小值，方程只有一个实数根；②若或，方程只有两个相异的实数根，综上，要使方程有三个相异的实根，须且只须，所以，所求的的取值范围是。变式六、已知函数，若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围。解：∵∴①若，则∴在上恒成立∴在上单调递增∵∴当时，函数的图象与有且只有一个交点。②若，则∴有两个不相等的实根，不妨设为、且，则当变化时，、的取值变化情况如下表＋0－0＋极大值极小值∵∴∴同理∴令，解得－ayx3x2x－ayx3x2x1y=f(x)∴当时，函数的图象与轴有且只有一个交点∴的大致图象如图所示：综上所述，的取值范围是

综合练习题Oyx121、已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，；如图所示，Oyx12求：⑴的值；⑵、、的值。（2006北京）解：⑴由数形结合可知当时，；∴在上递减当或，，∴在和上递增∴当时，有极大值⑵解法一、由已知，得解得解法二、由数形结合可设又∴由∴∴，2、若函数在区域内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围。（2004全国卷）解：令解得，①当即时，在上为增函数，不合题意②当即时，函数在上为增函数，在内为减函数，在上为增函数，依题意应有：当时，，当时，所以，解得综上，的取值范围是3、已知函数在处取得极值，⑴讨论和是函数的极大值还是极小值；⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。（2004天津）解：⑴，依题意有即解得∴∴令得，若，则∴的单调递增区间为和若，则∴的单调递减区间为所以，是极大值，是极小值⑵曲线方程为，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足因，故切线方程为∵点在切线上∴解得∴切点为，切线方程为变式：若第⑵小题改为，其他不变。提示：仿照上题中的解法，有或所求的切线方程为或3、已知函数在与时都取得极值。⑴求、的值及函数的单调区间；⑵若对，不等式恒成立，求的取值范围。（2006江西）解：⑴，依题意，得，解得∴变化时，、的变化情况如下表1＋0－0＋极大值极小值所以的递增区间为与，递减区间为⑵，当时，为极大值，而∴为最大值要使恒成立只须解得或思考：若变为，的取值范围怎样？4、已知函数是上的奇函数，当时，取得极值，⑴求的单调区间和极大值；⑵证明：对任意，，不等式恒成立。⑴解：由奇函数的定义，应有，即∴注意：可用因此，由条件为的极值，得即解得，∴当时，，故在单调区间上为增函数当时，，故在单调区间上为减函数当时，，故在单调区间上为增函数所以在处取得极大值，极大值为⑵证明：由⑴知，，是减函数且在上的最大值为在上的最小值为所以对任意恒有5、已知，，函数的图象与函数的图象相切。⑴求与的关系式（用表示）；⑵设函数在内有极值点，求的取值范围。（2004湖北）解：⑴依题意，令，得由，得∵∴⑵∴令即则△①若，则有一实根上，且变化时，的变化如下＋0＋于是不是函数的极值点②若，则有两个不等的实根，变化时，的变化如下＋0－0＋由此，是函数的极大值点，是函数的极小值点。综上所述，当且仅当时，函数在上有极值点由，得或∵∴或解得或故所求的取值范围是2（2010江西卷）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.[解析]，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C[解析]（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.（06福建文21）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。[解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。（I）解：是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。2．（2010北京卷）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。3．（2009江西卷）设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．3．解：(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.4．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：例1、（全国Ⅱ卷文21）已知函数f（x）=x-3a+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。例1、解：①式无解，②式的解为，因此的取值范围是.例2、已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积．例2、解：（1）由，得．取，得，解之，得，∴．从而，列表如下：1＋0－0＋↗有极大值↘有极小值↗∴的单调递增区间是和；的单调递减区间是．（2）由（1）知，；．∴方程有且只有两个不等的实数根，等价于或．………8分∴常数或．（3）由（2）知，或．而，所以．令，得，，．∴所求封闭图形的面积．……14分例3、（恒成立问题）已知函数有极值．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围．例3、解：（Ⅰ）∵，∴，要使有极值，则方程有两个实数解，从而△＝，∴．（Ⅱ）∵在处取得极值，∴，∴．∴，∵，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．∴时，在处取得最大值，∵时，恒成立，∴，即，∴或，即的取值范围是．例4、（信息迁移题）对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。（1）己知，求函数的“拐点”的坐标；（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。例4、解：（1）依题意，得：，。由，即。∴，又，∴的“拐点”坐标是。（2）由(1)知“拐点”坐标是。而===，由定义(2)知：关于点对称。（3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5、（与线性规划的交汇问题）设函数,其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.例5、解:(Ⅰ)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解：，据题意得解得故为所求.(Ⅱ)据题意,,则又是方程的两根,且则

则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例3.（天津）已知函数在x＝±1处取得极值。（I）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（II）过点A（0，16）作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。解：（I）因为，所以导方程。因为在x＝±1处取得极值，所以，是导方程的两根，所以解得a＝1，b＝0所以由推论得是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。（II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。设切点为M因为，故切线方程为点A（0，16）在切线上，所以解得，切点为M（－2，－2）故所求切线方程为例4.（湖北）已知，函数的图象与函数的图象相切。（I）求b与c的关系式（用c表示b）；（II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。解：（I）依题意，，得，所以因为所以（II）因为所以F（x）的导方程为：依性质1的推论得：所以，所以或解之得故所求c的范围是（0，）（）。★巩固练习★1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－193、（江西卷文17）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。5、（天津卷文20）已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.6、（重庆卷文19）已知函数（其中常数a，b∈R），是奇函数.（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.7、已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为（1）求m、n的值；（2）是否存在最小的正整数k，使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由；20070329（3）求证：200703298、（2010浙江文数）（本题满分15分）已知函数（a-b）<b)。（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，9、（福建文22）已知函数f（x