小学奥数几何五大模型相似模型

精选文档精选文档PAGE精选文档随意四边形、梯形与相像模型

模型四相像三角形模型

(一)金字塔模型(二)沙漏模型

①ADAEDEAF；ABACBCAG②S△ADE：S△ABCAF2:AG2。所谓的相像三角形，就是形状相同，大小不一样样的三角形(只需其形状不改变，无论大小如何改变它们都相像)，与相像三角形有关的常用的性质及定理以下：⑴相像三角形的全部对应线段的长度成比率，并且这个比率等于它们的相像比；⑵相像三角形的面积比等于它们相像比的平方；

⑶连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相像三角形模型，给我们供给了三角形之间的边与面积关系相互转变的工具。

在小学奥数里，出现最多的状况是因为两条平行线而出现的相像三角形。

【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB16，AD10，BE4，那么FC的长度是多少【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以BF:FCBE:CD4:161:4，所以FC104．814【例2】如图，丈量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。假如小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大【解析】有一个金字塔模型，所以DE:ABDC:AC，DE:1540:60，所以DE10厘米。

【例3】如图，DE平行BC，若AD:DB2:3，那么S△ADE:S△ECB________。【解析】依据金字塔模型AD:ABAE:ACDE:BC2:(23)2:5，S△ADE:S△ABC22:524:25，

设S△ADE4份，则S△ABC25份，S△BEC255315份，所以S△ADE:S△ECB4:15。

【例4】如图，△ABC中，DE，FG，BC相互平行，ADDFFB，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB。【解析】设S△ADE1份，依据面积比等于相像比的平方，所以S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，S△ADE:S△ABCAD2:AB21:9，所以S△AFG4份，S△ABC9份，从而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5

【坚固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长。

【解析】由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510

【坚固】如图，△ABC中，，，，PQ，相互平行，ADDFFMMPPB，DEFGMNBC则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB。【解析】设S△ADE1份，S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，所以S△AFG4份，从而有S四边形DEGF3份，同理有S四边形FGNM5份，四边形7份，四边形PQCB9份．SMNQPS所以有△ADE:四边形DEGF:四边形FGNM:四边形MNQP:四边形PQCB1:3:5:7:9SSSSS【总结】连续拓展，我们获得一个规律：平行线均分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例5】已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，

求S△ABC。

【解析】根据金字塔模型AD:ABDE:BC2:(23)2:5，S△ADE:S△ABC22:524:25，设S△ADE4份，则S△ABC25份，S梯形DBCE25421份，S梯形DBCE比S△ADE大17份，恰巧是8.5cm2，所以S12.5cm2△ABC

【例6】如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP4:9，AM4cm，求BM的长度【解析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP4:9，所以MN:BC2:3，在金字塔模型中有：

AM:ABMN:BC2:3，因为AM4cm，AB4236cm，所以BM642cm【坚固】如图，已知DE平行BC，BO:EO3:2，那么AD:AB________。【解析】由沙漏模型得BO:EOBC:DE3:2，再由金字塔模型得AD:ABDE:BC2:3．【例7】如图，ABC中，AE1，AD1ABAC，ED与BC平行，EOD的面积是144平方厘米。那么AED的面积是平方厘米。【解析】因为AE1AB，AD1，ED与BC平行，4AC4依据相像模型可知ED:BC1:4，EO:OC1:4，SCOD4SEOD4平方厘米，则SCDE415平方厘米，又因为SAED:SCDEAD:DC1:3，所以SAED515(平方厘米)．33【例8】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几倍【解析】连结BC，易知OA∥EF，依据相像三角形性质，可知OB:ODAE:AD，且OA:BEDA:DE1:2，所以VCDO的面积等于VCBO的面积；由OA1BE1AC可得CO3OA，所以SVCDOSVCBO3SVABO，即VCDO的面积是24VABO面积的3倍。【例9】如图，线段AB与BC垂直，已知ADEC4，BDBE6，那么图中暗影部分面积是多少【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，没关系连结这个图形的对称轴看看．作协助线BO，则图形对于BO对称，有SVADOSVCEO，SVDBOSVEBO，且SVADO:SVDBO4:62:3．设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为SVABE610230，而暗影部分的面积为4份，所以暗影部分的面积为308415．解法二：连结DE、AC．因为ADEC4，BDBE6，所以DE∥AC，根据相像三角形性质，可知DE:ACBD:BA6:103:5，依据梯形蝴蝶定理，SVDOE:SVDOA:SVCOE:SVCOA32:35:35:529:15:15:25，所以S暗影:S梯形ADEC1515:915152515:32，即15S暗影S梯形ADEC；111532又S梯形ADEC10106=3215．26，所以S暗影S梯形ADEC232【例10】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC3:1，则四边形EFGH的面积________．

【解析】因为FGHE为平行四边形，所以EC//AG，所以AGCE为平行四边形．BG:GC3:1，那么GC:BC1:4，所以SYAGCE1SYABCD1164．44又AEGC，所以AE:BGGC:BG1:3，依据沙漏模型，FG:AFBG:AE3:1，所以SYFGHE3343．SYAGCE44【例11】已知三角形ABC的面积为a，AF:FC2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求暗影部分的面积．【解析】已知AF:FC2:1，且EF∥BC，利用相像三角形性质可知EF:BCAF:AC2:3，所以EF2BC，且SVAEF:SVABC4:9．3又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EG1BC，2EG:EF12，所以GF:EF1:4，可得SVCFG:SVAFE1:8，所以:3:423SVCFG:SVABC1:18，那么SVCFGa．18【例12】已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延伸线于点E、F，且AE10cm，AF15cm，求正方形ABCD的边长．【解析】方法一：此题有两个金字塔模型，依据这两个模型有BC:AFCE:EF，DC:AECF:EF，设正方形的边长为xcm，所以有BCDCCECF1，AFAEEFEF即xx1，解得x6，所以正方形的边长为6cm．1510方法二：或依据一个金字塔列方程即x15x，解得x61015【例13】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高AD80毫米，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC上，其他两个极点分别在AB、AC上，这个正方形部件的边长是多少【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAP，PHBP，设正方形的边长为x毫米，PNPHAPBP1，即BCABADABBCADABABxx1，解得x48，即正方形的边长为48毫米．12080【坚固】如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE1:2，BC12厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEAD，DGBD，所以有DEDGADBD1，设DGx，则DE2x，BCABAHABBCAHABAB

所以有2xx1，解得x24，2x48，所以长方形的长和宽分别是48厘米，128777厘米．

7

【例

14】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形极点C、D连成一个三角

形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是

多少

【解析】依据题中条件，能够直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相像，这样，就能够采纳相像三角形性质来解决问题．

做GM垂直DC于M，交AB于N．

因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相像，且相像比为

EF:DC4:121:3，12，所以GM18cm，所以GN:GM1:3，又因为MNGMGN所以三角形GDC的面积为11218108cm2．2【例15】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延伸1和3，割出图中的暗影部分，求暗影部分的面积是多少【解析】依据相像三角形的对应边成比率有：NF23；EM11，123232则NF5，EM5，93S阴19512223053【例16】(2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则暗影部分的面积是．【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(mn)，则m2n252，所以m8．若m522225052，不合题意，所以m只好为6或7．检，则mn5验可知只有m6、n4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．依据相像三角形性质，BG:GFAB:FE6:43:2，而BGGF6，得BG3.6(厘米)，所以暗影部分的面积为：163.610.8(平方厘米)．2【例17】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么暗影部分的一块直角三角形的面积是多少【解析】连结OB,面积为4的三角形占了矩形面积的1，所以S△OEB431,所以4OE:EA1:3,所以CE:CA5:8,由三角形相像可得暗影部分面积为8(5)225．88【例18】已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三均分点，求暗影△EHO的面积是多少厘米

【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三均分点，由此能够说明假如把长方形的长分红6份的话，那么EDAD3份、BFFGGC2份，大家能在图形中找到沙漏△EOD和△BOG：有ED∶BG=3∶4，所以OD∶BO3∶4，相当于把BD分红(34)7份，同理也能够在图中在次找到沙漏：△EHD和△BHF也是沙漏，ED∶BF3∶2，由此能够推出：HD∶BH3∶2,相当于把BD分红(32)5份，那么我们就能够把BD分红35份(5和7的最小公倍数)此中OD占份，占1415BH份，HO占6份，连结EB则可知△BED的面积为70435，在BD为底的三角2形中HO占6份，则面积为：3563(平方厘米).235【例19】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中暗影部分的面积为平方厘米．

【解析】方法一：注意指引学生利用三角形的中位线定理以及平行线的有关性质．

设G、H分别为AD、DC的中点，连结GH、EF、BD．

1可得SVAED=S平行四边形ABCD，4对角线BD被EF、AC、GH均匀分红四段，又OM∥EF，所以DO:ED2BD:3BD2:3，OE:EDEDOD:ED32:31:3，44所以11116(平方厘米)，SVAEOS平行四边形ABCD372344SVADO2SVAEO12(平方厘米)．同理可得SVCFM6平方厘米，SVCDM12平方厘米．所以SVABCSVAEOSVCFM366624(平方厘米)，于是，暗影部分的面积为24121248(平方厘米)．方法二：找寻图中的沙漏，AE:CDAO:OC1:2，FC:ADCM:AM1:2，所以O,M为AC的三均分点，S△ODM11S7212(平方厘米)，6116S△AEO26(平方厘米)，同理S△FMC6(平方厘米)，所以S△OCD1244S暗影72126648(平方厘米)．【例20】如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是平方厘米．【解析】此题在矩形内连结三点构成一个三角形，并且此中一点是矩形某一条边的中点，一般需要经过这一点做垂线．取AD的中点N，连结MN，设MN交PD于K．则三角形PDM被分红两个三角形，并且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的面积等于1MKBC8(平方厘米)，所以MK=8(厘米)，那么8423NK4(厘米)．338因为NK是三角形APD的中位线，所以AP2NK(厘米)，所以三角形APD3

的面积为1868(平方厘米)．23【例21】如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH5cm，HF3cm，求AG．【解析】因为AB∥DF，利用相像三角形性质能够获得AB:DFAH:HF5:3，又因为E为AD中点，那么有OE:FD1:2，所以AB:OE5:310:3，利用相像三角形性质能够获得2AG:GOAB:OE10:3，而AO11534cm，所以AG41040cm．AF213132【例22】右图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC1FC．求3暗影部分的面积．【解析】题中条件给出的都是比率关系，由此能够初步推测暗影部分的面积要经过比率求解，而图中出现最多的就是三角形，那么第一想到的就是利用相像三角形的性质．暗影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只需求出高，即可求出头积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．依据相像三角形性质，CI:CHCG:CF1:3，又因为CHHB，所以CI:CB1:6，即BI:BC61:65:6，所以SVBGE1155．22624【例23】梯形ABCD的面积为12，AB2CD，E为AC的中点，BE的延伸线与AD交于F，四边形CDFE的面积是．【解析】延伸BF、CD订交于G．因为E为AC的中点，依据相像三角形性质，CGAB2CD，GD11GCAB，22再依据相像三角形性质，AF:FDAB:DG2:1，GF:GB1:3，而SABD:SBCDAB:CD2:1，1SABCD14，SGBC2SBCD8．所以SBCD12又SGDF331118．111，SEBC1SGBC，所以SCDFE1SGBCSGBCSGBC23622633【例

24】

如图，三角形

ABC的面积为

60平方厘米，

D、

E、F

分别为各边的中点，

那么暗影部分的面积是

平方厘米．

【解析】暗影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，能够将其转变成两个三角形

的面积之差．而从图中来看，既能够转变成BEF与EMN的面积之差，又能够转

化为BCM与CFN的面积之差．

(法1)如图，连结DE．

因为D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形

ABC面积的一半，即30平方厘米；那么BEF的面积为平行四边形BDEF面积的

一半，为15平方厘米．

依据几何五大模型中的相像模型，因为DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，则EM:BMDE:BC1EB；1:2，所以EM13EN:FNDE:FC1:1，所以ENEF．2那么EMN的面积占BEF面积的111，所以暗影部分面积为12361512.5(平方厘米)．16(法2)如图，连结AM．依据燕尾定理，SABM:SBCMAE:EC1:1，SACM:SBCMAD:DB1:1，所以SBCO1SABC16020平方厘米，33而SBDC1SABC16030平方厘米，所以1SBDC7.5平方厘米，2SFCN24那么暗影部分面积为207.512.5(平方厘米)．【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：⑴利用面积公式：底高2；⑵利用整体减去部分；⑶利用比率和模型．【例25】如图,ABCD是直角梯形，AB4,AD5,DE3，那么梯形ABCD的面积是多少【解析】延伸EO交AB于F点，分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再乞降．DE∶BFDO∶OB3∶1∴S△AOD∶S△AOB3∶1；S△DOCS△BOC3∶1S△AODS△BOC又∵S△ABD151042∴S△AOD3S△ABD7.5,S△AOB2.5,S△BOC7.5,S△DOC3S△BOC37.522.54∴S梯形ABCD7.52.57.522.540【例26】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一同，那么图中暗影三角形的面积是多少平方厘米【解析】给图形注明字母，按顺时针方向注明，大正方形为ABCD，小正方形为，MNDEEB分别交AC,AD于O,H两点，AO∶OCAB∶EC12∶203∶5，AH∶BCAO∶OC3∶5∴AO∶AC3∶8，AH∶AD3∶5，S△AHO∶S△ADC9∶40∵S△ADC1122722∴S△AHO9S△ADC97216.24040【例27】如右图，长方形ABCD中，EF16，FG9，求AG的长．

【解析】因为DA∥BE，依据相像三角形性质知DGAG，GBGE又因为DF∥AB，DGFG，GBGA所以AGFG，即AG2GEFG259225152，所以AG15．GEGA【例28】(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC1:3，AF与BE订交于点G，求S△ABG【解析】方法一：连结AE，延伸AF，DC两条线交于点M，结构出两个沙漏，所以有AB:CMBF:FC1:1，所以CM4，依据题意有CE3，再依据另一个沙漏有GB:GEAB:EM4:7，所以S△ABG4S△ABE4(442)32．471111方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF4224，S△AEF4441232247，根据蝴蝶定理S△ABF:S△AEFBG:GE4:7，所以S△ABG44S△ABE4(442)32．71111【例29】以以以下图，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求BMG的面积．【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而FD:BCFH:HC1:2，EB:CDBG:GD1:2所以CH:CFGH:EF2:3，并得G、H是BD的三均分点，所以BGGH，所以BG:EFBM:MF2:3，所以BM2BF，SBFD1SABD11SYABCD1；52224又因为BG1BD，所以SBMG12SBFD1211．33535430解法二：延伸CE交DA于I，如右图，可得，AI:BCAE:EB1:1，从而能够确立M的点的地点，BM:MFBC:IF2:3，BM2BF，BG15BD(鸟头定理)，2132111可得SBMG5SBDF53SYABCD3034【例30】(清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．由题意可获得：EG:GCEB:CD1:2，所以可得：SEBG1SBCE3将AB、DF延伸交于M点，可得：

BM:DCMF:FDBF:FC1:1，

而EH:HCEM:CD(1ABAB):CD3:2，得CH2CE，25而CF1BC，所以SCHF12SBCE1SBCE2255SBCE11ABBC112030224S四边形BGHFSEBC1SEBC1SEBC7SEBC73014．351515此题也能够用蝴蝶定理来做，连结EF，确立H的地点(也就是FH:HD)，相同也能解出．【例31】如图，已知S△ABC14,点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且AD2,BD5,AFFC，S四边形DBEFS△ABE则S△ABE是多少【解析】△ABC的面积已知，若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就能够计算出ABE的面积．连结CD．∵S四边形DBEFS△ABE∴S△DEFS△ADEAC与DE平行，∴S