偏微分方程-特征理论(共21张PPT)

第7章特征理论偏微分方程组7.1.1弱间断解与弱间断面第1页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组例子

考虑弦振动方程则不是古典解，但它是弱间断解。第2页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.1.2特征方程与特征曲面

设光滑曲面

是方程（7.1.1)的弱间断面。

可以推出它应满足的条件为下式在上处处成立。第3页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组方程特征曲面的例子第4页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.2方程组的特征理论第5页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.2.1弱间断解与特征线第6页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组第7页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组第8页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.2.2狭义双曲型方程组的标准型第9页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组将狭义双曲型方程化为标准型的方法：1.求向量方程的解。2.令，用T左乘（）式得：第10页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组3.第11页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.3双曲型方程组的Cauchy问题

首先指出，并非对一切类型的方程组都可以Cauchy问题，有例子表明，当特征方程（7.2.6)有复根时，方程组（7.2.1)的Cauchy问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的Cauchy问题。第12页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.3.1解的存在性和唯一性第13页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组可以推出它应满足的条件为下式在上处处成立。4C-K定理的证明附注1该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。考虑弦振动方程第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组6)有复根时，方程组（7.将狭义双曲型方程化为标准型的方法：附注1该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。第7章特征理论偏微分方程组第14页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.3.2解的稳定性第15页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.4定理第16页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组首先，把高阶非线性C-K型组Cauchy问题化为一个与其等价的一阶非线性C-K型组的Cauchy问题。第7章特征理论偏微分方程组2方程组的特征理论2Cauchy问题的化简其次，我们可以把一个一阶非线性C-K型组Cauchy问题化为一个与其等价的一阶拟线性C-K型组的Cauchy问题。令，所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。2狭义双曲型方程组的标准型附注2由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则在初始平面上任意点的领域内都存在一个解析解。第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组第7章特征理论偏微分方程组第17页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.4.2Cauchy问题的化简

首先，把高阶非线性C-K型组Cauchy问题化为一个与其等价的一阶非线性C-K型组的Cauchy问题。其次，我们可以把一个一阶非线性C-K型组Cauchy问题化为一个与其等价的一阶拟线性C-K型组的Cauchy问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用已知方程式即得。Cauchy问题(7.4.2)化为如下的一阶拟线性C-K型方程组的Cauchy问题:第18页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组

于是，C-K定理可等价地叙述为

C-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。第19页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.4.3强函数第20页，共21页。第7章特征理论偏微分方程组7.4.4C-K定理的证明（1）唯一性（幂级数解法）。（2）存在性（强函数方法）。附注1该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。附注2由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则