第三章矩阵分析及其应用演示文稿

第三章矩阵分析及其应用演示文稿目前一页\总数七十八页\编于十七点定义设已知矩阵序列，其中，当k→∞，时，称{A(k)}收敛，并称矩阵为{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为或不收敛的矩阵序列称为发散。矩阵序列与极限目前二页\总数七十八页\编于十七点定理矩阵序列收敛于A的充分必要条件是其中为任意一种矩阵范数。证明取矩阵范数必要性：设那么由定义可知对每一对i,j

都有

目前三页\总数七十八页\编于十七点从而有上式即为充分性：设那么对每一对i,j

都有即目前四页\总数七十八页\编于十七点故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果是另外一种范数，那么由范数的等价性可知这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。目前五页\总数七十八页\编于十七点矩阵序列极限运算的性质。（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。（2）设则（3）设，其中那么（4）设，那么其中（5）设，且,A均可逆，则也收敛，且目前六页\总数七十八页\编于十七点证明：（2）（3）（4）（5）目前七页\总数七十八页\编于十七点例1若对矩阵A的某一范数，则例2的充要条件是。证明设A的Jordan标准形目前八页\总数七十八页\编于十七点于是显然，的充要条件是又因其中目前九页\总数七十八页\编于十七点于是的充要条件是。因此的充要条件是例3设是的相容矩阵范数，则对任意，都有目前十页\总数七十八页\编于十七点例4构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。解显然每一个均可逆，但是其极限矩阵却不可逆。目前十一页\总数七十八页\编于十七点定义：设，如果mn个常数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。如果mn个常数项级数都绝对收敛，则称以上矩阵级数绝对收敛。矩阵级数目前十二页\总数七十八页\编于十七点例如果设，其中那么矩阵级数是收敛的，而且是绝对收敛的。目前十三页\总数七十八页\编于十七点定理设，则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中为任意一种矩阵范数。证明取矩阵范数，那么对每一对i,j

都有因此如果目前十四页\总数七十八页\编于十七点收敛，则对每一对

i,j

常数项级数都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对

i,j

都有目前十五页\总数七十八页\编于十七点于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。目前十六页\总数七十八页\编于十七点定义设，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。定理设幂级数的收敛半径为R，A为n阶方阵。若，则矩阵幂级数绝对收敛；若，则发散。矩阵幂级数目前十七页\总数七十八页\编于十七点证明设A的Jordan标准形为其中于是目前十八页\总数七十八页\编于十七点所以其中目前十九页\总数七十八页\编于十七点当时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数绝对收敛。当时，幂级数发散，所以发散。推论矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是。且其和。目前二十页\总数七十八页\编于十七点例1（1）求下面级数的收敛半径（2）设判断矩阵幂级数的敛散性。解设此级数的收敛半径为R，利用公式容易求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数收敛。目前二十一页\总数七十八页\编于十七点定义：设，一元函数f(z)能够展开成关于z

的幂级数并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵A的谱半径时，我们将收敛的矩阵幂级数矩阵函数的和定义为矩阵函数，一般记为f(A)，即目前二十二页\总数七十八页\编于十七点例：因为当|z|<+∞时，有都是绝对收敛的，因此目前二十三页\总数七十八页\编于十七点都是绝对收敛的，因此可以定义由此可以得到一些简单的结论：目前二十四页\总数七十八页\编于十七点目前二十五页\总数七十八页\编于十七点定理：设，那么当时，我们有证明：首先证明第一个等式目前二十六页\总数七十八页\编于十七点现在证明第二个等式目前二十七页\总数七十八页\编于十七点同样可以证明其余的结论。注意：这里矩阵A

与B

的交换性条件是必不可少的。目前二十八页\总数七十八页\编于十七点例：设那么容易计算并且于是有目前二十九页\总数七十八页\编于十七点故有显然三者互不相等。目前三十页\总数七十八页\编于十七点当|z|<1时，有设，当时，有目前三十一页\总数七十八页\编于十七点函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义：设，为A

的r个互不相同的特征值，为其最小多项式且有其中如果函数f(x)具有足够高阶的导数并且下列m个值存在，则称函数f(x)在矩阵A的谱上有定义。矩阵函数的计算-待定系数法目前三十二页\总数七十八页\编于十七点例：设又已知容易求得矩阵A的最小多项式为并且所以f(x)

在A的谱上有定义.目前三十三页\总数七十八页\编于十七点但是如果取容易求得矩阵B的最小多项式为显然f(3)不存在，所以在B的谱上无定义。目前三十四页\总数七十八页\编于十七点定理：设函数f(x)与函数g(x)在矩阵A的谱上都有定义，那么f(A)=g(A)的充分必要条件是f(x)与g(x)在A的谱上的值完全相同。设矩阵的最小多项式为其中为矩阵A的r个互异特征值且矩阵函数的计算-待定系数法目前三十五页\总数七十八页\编于十七点

如何寻找多项式p(x)使得p(A)与所求的矩阵函数f(A)完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为m-1次的多项式且满足条件这样，多项式中的系数完全可以通过关系式目前三十六页\总数七十八页\编于十七点确定出来。则我们称为矩阵函数f(A)的多项式表示。目前三十七页\总数七十八页\编于十七点例2：设求f(A)的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足目前三十八页\总数七十八页\编于十七点于是有解得所以其多项式表示为目前三十九页\总数七十八页\编于十七点当时，可得于是有当时，可得故有目前四十页\总数七十八页\编于十七点类似地有目前四十一页\总数七十八页\编于十七点例3：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1的多项式且满足目前四十二页\总数七十八页\编于十七点于是有解得所以其多项式表示为当时，可得目前四十三页\总数七十八页\编于十七点当时，可得同样可得目前四十四页\总数七十八页\编于十七点练习：设求的多项式表示并且计算目前四十五页\总数七十八页\编于十七点矩阵函数的计算-相似对角矩阵

设矩阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，满足则有目前四十六页\总数七十八页\编于十七点目前四十七页\总数七十八页\编于十七点例：设求解：该矩阵的特征多项式为求得特征值λ1=-2，λ2=λ3=1，对应的特征向量目前四十八页\总数七十八页\编于十七点构造矩阵求得则有目前四十九页\总数七十八页\编于十七点因此有目前五十页\总数七十八页\编于十七点定理：设，J为矩阵A的Jordan标准形，P为其相似变换矩阵且使得，其中矩阵函数的计算-Jordan标准形法如果函数f(x)在矩阵A的谱上有定义，那么其中目前五十一页\总数七十八页\编于十七点目前五十二页\总数七十八页\编于十七点例1：设求A的Jordan表示并计算.解：首先求出其Jordan标准形矩阵J与相似变换矩阵P.从而的Jordan表示为目前五十三页\总数七十八页\编于十七点当时，可得，从而有目前五十四页\总数七十八页\编于十七点当时，可得，于是有当时，可得，同样可得目前五十五页\总数七十八页\编于十七点矩阵的微分和积分导数定义基本性质其中为标量函数目前五十六页\总数七十八页\编于十七点目前五十七页\总数七十八页\编于十七点如果方阵A(t)的逆矩阵存在，则有于是有目前五十八页\总数七十八页\编于十七点积分基本性质目前五十九页\总数七十八页\编于十七点函数对矩阵的导数定义：设，即：X→f(X)，f(X)∈F，记定义目前六十页\总数七十八页\编于十七点例1：设，n元函数计算。解：目前六十一页\总数七十八页\编于十七点例2：目前六十二页\总数七十八页\编于十七点例3目前六十三页\总数七十八页\编于十七点例4目前六十四页\总数七十八页\编于十七点

当A是对称矩阵时，即：AT=A，则有目前六十五页\总数七十八页\编于十七点例5：设，一元函数计算。解：目前六十六页\总数七十八页\编于十七点矩阵函数对矩阵的导数矩阵函数的定义目前六十七页\总数七十八页\编于十七点例1：设，n元函数计算