2024版 讲与练高三一轮数学（新教材） 第八章平面解析几何

第八章平面解析几何8．1直线的方程考试要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.(3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)).2．直线的斜率(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.倾斜角等于90°的直线没有斜率．(2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up16(→))的坐标为(x2－x1，y2－y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x)，特别地，(1，k)是l的一个方向向量.3．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)k＝0k＞0不存在k＜04.直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义局限性点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上一定点，k为斜率不垂直于x轴(k存在)斜截式y＝kx＋bk为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例不垂直于x轴(k存在)两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点不垂直于x轴和y轴(x1≠x2，y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab≠0)一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)A，B，C为系数任何位置的直线特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线．常用结论与知识拓展1．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.2．过定点(x0，y0)的直线系方程过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示为λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ为参数).基础检测1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)倾斜角越大，斜率就越大．(×)(2)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．(√)(3)直线方程y－y0＝k(x－x0)表示过定点P(x0，y0)的所有直线．(×)(4)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示．(√)(5)直线3kx＋y－1－k＝0恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).(√)2．(教材改编题)经过点(1,2)，且倾斜角为45°的直线方程是x－y＋1＝0.解析：因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率k＝tan45°＝1，由直线方程的点斜式可以得直线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.3．(教材改编题)已知点A(1,0)，B(0,1)，则线段AB的方程是x＋y－1＝0(0≤x≤1)．解析：因为点A(1,0)，B(0,1)，所以直线AB的方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以线段AB的方程是x＋y－1＝0(0≤x≤1)．4．(教材改编题)设直线l过点P(1,2)，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为3.解析：当坐标轴截距为0时，设方程为y＝kx，将P(1,2)代入y＝kx得k＝2，所以方程为y＝2x；当坐标轴截距不为0时，设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)＝1，,|a|＝|b|，))解得a＝b＝3，或a＝－1，b＝1，从而方程为x＋y＝3或y－x＝1，所以满足题设的直线l的条数为3.5．(多选题)(教材改编题)已知直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，则下列说法中正确的是(ABD)A．若A·B·C≠0，则直线l不过原点B．若A·B>0，则直线l必过第四象限C．若直线l不过第四象限，则一定有A·B<0D．若A·B<0且A·C>0，则直线l不过第四象限解析：对A选项，若A·B·C≠0，则A，B，C都不等于0，当x＝y＝0时，A·0＋B·0＋C≠0，所以直线l不过原点，故A正确；对B选项，若A·B>0，则直线斜率－eq\f(A,B)<0，则直线一定过第四象限，故B正确；对C选项，若直线l不过第四象限，若有直线过第一、二象限时，此时A＝0，则A·B＝0，故C错误；对D选项，若A·B<0且A·C>0，则－eq\f(A,B)>0，－eq\f(C,A)<0，所以直线的斜率大于0，在x轴上截距小于0，所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故D正确．故选ABD．考点1直线的倾斜角和斜率命题角度1直线倾斜角、斜率大小判断【例1】如图，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则(D)A．k4<k3<k2<k1B．k3<k4<k2<k1C．k4<k3<k1<k2D．k3<k4<k1<k2解析：由斜率的定义知，k2>k1>0>k4>k3.故选D．规律总结直接由斜率的定义判断大小即可．【对点训练1】(多选题)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(AD)A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1解析：由题图知，k2>k3>0，k1<0，则k1<k3<k2.故eq\f(π,2)>α2>α3>0，且α1为钝角，则α3<α2<α1.故选AD．命题角度2直线的倾斜角和斜率关系【例2】(1)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的取值范围为(D)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：设直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角为θ，可得tanθ＝sinα∈[－1,1]，所以θ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故选D．(2)已知A(0,2)，B(2,1)，过点C(1,0)且斜率为k的直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是(D)A．[－2,1]B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2,1)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：如图．因为过点C(1,0)且斜率为k的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，k≥kBC或k≤kAC，因为kBC＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kAC＝eq\f(2－0,0－1)＝－2，所以k≥1或k≤－2，故选D．规律总结①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R，同时要知道正切函数在[0，π)上不单调；②求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．【对点训练2】(多选题)直线l过点P(1,3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(－1，－4)，B(2，－3)，则k可以取(AD)A．－8 B．－5C．3 D．4解析：如图，由于直线l过点P(1,3)且斜率为k，与连接两点A(－1，－4)，B(2，－3)的线段有公共点，则kPA＝eq\f(7,2)，kPB＝－6，由图可知，k∈(－∞，－6]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))时，直线与线段有交点，根据选项，可知A，D符合．故选AD．考点2直线的方程命题角度1选择合适的形式确定直线方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)过点P(4，－2)，倾斜角为150°；(2)过两点A(1,3)，B(2,5)；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1.解：(1)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线的点斜式方程为y＋2＝－eq\f(\r(3),3)(x－4)，即y＝－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(4\r(3),3)－2.(2)因为斜率k＝eq\f(5－3,2－1)＝2，所以直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.(3)由题意，得直线的截距式方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0.规律总结根据题目特征，恰当选择合适的直线方程的形式确定直线方程时，要注意每一种直线方程形式的“局限性”，以免得出不全面的结果．【对点训练3】(1)已知①直线的倾斜角为30°；②直线不经过坐标原点．写出一个同时满足①②的直线方程：x－eq\r(3)y＋1＝0(答案不唯一)．(用一般式方程表示)解析：由题意得，直线斜率为k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零，所以符合题意的一个直线方程为x－eq\r(3)y＋1＝0.(答案不唯一)(2)过点A(1,3)，倾斜角是直线y＝－eq\r(3)x的倾斜角的eq\f(1,2)的直线方程为y＝eq\r(3)x－eq\r(3)＋3.解析：因为y＝－eq\r(3)x的斜率为k＝－eq\r(3)，其倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为eq\r(3).又因为过点A(1,3)，所以y－3＝eq\r(3)(x－1)，即y＝eq\r(3)x－eq\r(3)＋3.命题角度2直线的截距问题【例4】(1)已知直线l与直线y＋3＝eq\f(3,2)x的斜率相等，直线l与x轴的交点为(a,0)，且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(3,5).解析：由题意知，直线l的斜率为eq\f(3,2)，故设直线l的方程为y＝eq\f(3,2)x＋b，令y＝0，得a＝－eq\f(2,3)b，所以－eq\f(2,3)b－b＝1，得b＝－eq\f(3,5)，所以直线l的斜截式方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(3,5).(2)已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是k>eq\f(1,2)或k<－1.解析：已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0，所以(x＋y－3)a＋2x－yeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,2x－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以直线l过点A(1,2)，由题知，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)，如图．所以端点处直线的斜率分别为eq\f(2－0,1－3)＝－1，eq\f(2－0,1＋3)＝eq\f(1,2)，所以k>eq\f(1,2)或k<－1.规律总结直线的截距是直线与坐标轴交点的横纵坐标的值，与x轴交点的横坐标即为“横截距”，与y轴交点的纵坐标即为“纵截距”，因此截距的值为实数，可正可负可为0，截距不是距离，坚决摒弃错误认识．【对点训练4】(1)过点P(2,3)，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.解析：若直线l过原点，则直线的方程为y＝kx，将点P(2,3)代入得k＝eq\f(3,2)，所以直线方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，根据题意，设直线方程为eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，将点P(2,3)代入得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0；所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.(2)过点A(－5,2)，且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线方程为2x＋y＋8＝0或2x＋5y＝0.解析：①当在x轴、y轴上的截距都是0时，设所求直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－eq\f(2,5)，此时直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1(a≠0)，将(－5,2)代入eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1中，得a＝－4，此时直线方程为2x＋y＋8＝0.综上所述，所求直线方程为2x＋y＋8＝0或2x＋5y＝0.考点3直线方程的综合应用【例5】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求当eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))取得最小值时直线l的方程．解：(1)∵点P(3,1)在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交，∴直线l的斜率k<0，则设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，k<0，令x＝0，得y＝－3k＋1；令y＝0，得x＝3－eq\f(1,k).∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)×|－3k＋1|×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(1,k)－9k)).∵k<0，∴－eq\f(1,k)>0，－9k>0，∴S△AOB＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(1,k)－9k))＝3－eq\f(1,2k)－eq\f(9k,2)≥3＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2k)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9k,2))))＝6，当且仅当－eq\f(1,2k)＝－eq\f(9k,2)，即k＝－eq\f(1,3)时等号成立．∴△AOB面积的最小值为6.此时直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,3)(x－3)，即x＋3y－6＝0.(2)设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.∵A，P，B三点共线，∴eq\f(1,3－a)＝eq\f(1－b,3)，整理得eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))－10＝eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6，当且仅当eq\f(3b,a)＝eq\f(3a,b)，即a＝b＝4时等号成立，∴当eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(PB,\s\up16(→))取得最小值时，直线l的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1，即x＋y－4＝0.规律总结①求解与直线方程有关的最值问题时，根据题目条件的特征，选择合适的形式设出直线方程，建立目标函数，再利用函数单调性或基本不等式求解最值；②求参数值或范围时，注意若点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【对点训练5】直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点.(1)当|PA|·|PB|最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程；(3)当|OA|·|OB|最小时，求直线l的方程．解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负.设l：y－4＝k(x－1)(k<0).令y＝0，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0,4－k)．(1)|PA|·|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))2＋16)·eq\r(1＋k2)＝－eq\f(4,k)(1＋k2)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋k))≥8(注意k<0)，所以当且仅当eq\f(1,k)＝k且k<0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值.此时l的方程为x＋y－5＝0.(2)|OA|＋|OB|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)))＋(4－k)＝5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))≥9.所以当且仅当k＝eq\f(4,k)且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值.此时l的方程为2x＋y－6＝0.(3)依题意可得，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝1，由基本不等式可得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥2eq\r(\f(4,ab))，解得ab≥16，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)，即a＝2，b＝8时，等号成立，此时直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,8)＝1.课时作业50基础巩固一、单项选择题1．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各图形中，正确的是(D)解析：对于D：直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，只有D选项符合要求．2．已知直线l的倾斜角为60°，且经过点(0,1)，则直线l的方程为(C)A．y＝eq\r(3)x B．y＝eq\r(3)x－2C．y＝eq\r(3)x＋1 D．y＝eq\r(3)x＋3解析：由题意知：直线l的斜率为eq\r(3)，则直线的方程为y＝eq\r(3)x＋1.故选C.3．(2023·江苏扬州中学开学检测)直线xsinα＋eq\r(3)y－b＝0(α，b∈R)的倾斜角的取值范围是(C)A．[0，π] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))解析：易得斜率必存在，设xsinα＋eq\r(3)y－b＝0的倾斜角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ<π且θ≠\f(π,2)))，由xsinα＋eq\r(3)y－b＝0可得斜率k＝－eq\f(sinα,\r(3))＝－eq\f(\r(3)sinα,3)＝tanθ，因为α∈R，所以sinα∈[－1,1]，所以－eq\f(\r(3)sinα,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，即tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).故选C.4．直线xcosθ＋ysinθ＝0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))的斜率的取值范围为(A)A．(－∞，eq\r(3)) B．(2，＋∞)C．(－eq\r(3)，eq\r(3)) D．(－∞，2)解析：当cosθ＝0时，直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率为k＝0，因为0<θ<eq\f(5π,6)，所以cosθ≠0时，tanθ<－eq\f(\r(3),3)或tanθ>0，由xcosθ＋ysinθ＝0，得y＝－eq\f(cosθ,sinθ)x＝－eq\f(1,tanθ)x，当cosθ≠0即－eq\f(1,tanθ)≠0时，直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率为k＝－eq\f(1,tanθ).因为0<θ<eq\f(5π,6)，所以tanθ>0或tanθ<－eq\f(\r(3),3)，即－eq\f(1,tanθ)<0或－eq\f(1,tanθ)<eq\r(3).所以直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范围为(－∞，0)∪(0，eq\r(3))．综上所述，直线xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范围为(－∞，eq\r(3))．故选A.5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)．若直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是(A)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪[4，＋∞)B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，4))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，\f(3,4)))解析：设直线l过定点P(x，y)，则直线l：mx＋y－m－1＝0可写成m(x－1)＋y－1＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴直线l必过定点P(1,1)．kPA＝eq\f(－3－1,2－1)＝－4，kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4).∵直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，∴由图象知，－m≥eq\f(3,4)或－m≤－4，解得m≤－eq\f(3,4)或m≥4，则实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪[4，＋∞)．故选A.6．(2023·安徽皖江名校联盟联考)设直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为(B)A．16 B．8C．4 D．2解析：因为直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)且2m＋n＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,2)))时取等号．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为8.故选B．二、多项选择题7．下列说法正确的是(BD)A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示B．方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线的斜率一定存在C．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαD．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)解析：对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如y＝2x但不能用x＋y＝a(a∈R)表示，故A选项错误；对于B选项，方程mx＋y－2＝0(m∈R)表示的直线的斜率为－m，故B选项正确；对于C选项，若α＝90°，则直线斜率不存在，故C选项错误；对于D选项，经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，而x1≠x2，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D选项正确．故选BD．8．已知点P(1,1)与直线l：x－y＋1＝0，下列说法正确的是(CD)A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条C．点P关于直线l的对称点坐标为(0,2)D．直线l关于点P对称的直线方程为x－y－1＝0解析：对于A，当截距为0时，直线y＝x与直线l平行，故A错误；对于B，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，因为直线过点P(1,1)，所以a＋b＝ab①，又过点P的直线与坐标轴围成三角形的面积为eq\f(1,2)|ab|＝2，所以|ab|＝4②，由①②，得a＝2，或a＝－2±2eq\r(2)，共有3组解，所以符合题意的直线有3条，故B错误；对于C，设点P关于直线l的对称点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x－1)×1＝－1，,\f(x＋1,2)－\f(y＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即点P关于直线l的对称点坐标为(0,2)，故C正确；对于D，设直线l关于点P对称的直线方程为x－y＋c＝0(c≠1)，则有eq\f(|1－1＋c|,\r(1＋1))＝eq\f(|1－1＋1|,\r(1＋1))，解得c＝－1，即直线l关于点P对称的直线方程为x－y－1＝0，故D正确．故选CD．9．(2022·湖南长沙第一中学月考)设直线系M：(x－3)cosθ＋ysinθ＝1(0°≤θ≤360°)，则下面四个命题正确的是(ABD)A．直线系M中包含倾斜角为0°和90°的直线B．点(3,0)到直线系M中的所有直线的距离恒为定值C．直线系M中能构成三角形的任意三条直线所围成的三角形面积都相等D．存在点Q不在直线系M中的任意一条直线上解析：当θ＝90°时，直线系M：y＝1，倾斜角为0°；当θ＝0°时，直线系M：x＝4，倾斜角为90°，故A正确；点(3,0)到直线系M中的所有直线的距离为d＝eq\f(|－1|,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1，故B正确；因为点(3,0)到直线系M中的所有直线的距离恒为定值1，所以直线系M中的所有直线均为圆(x－3)2＋y2＝1的切线，如图所示，直线所围成的△BCD与△BNM的面积不相等，故C错；存在点Q(3,0)不在直线系M中的任意一条直线上，D正确．故选ABD．三、填空题10．已知点M(eq\r(2)，－eq\r(3))，N(－eq\r(3)，eq\r(2))，则直线MN的倾斜角为eq\f(3π,4).解析：由题设，kMN＝eq\f(\r(2)－－\r(3),－\r(3)－\r(2))＝－1，若MN的倾斜角为θ，则tanθ＝－1，又θ∈[0，π)，故θ＝eq\f(3π,4).11．已知直线l过点(2,1)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.解析：当截距为0时，设直线方程为y＝kx，直线l过点(2,1)，所以1＝2k，解得k＝eq\f(1,2)，直线方程为y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，直线l过点(2,1)，所以eq\f(2,2a)＋eq\f(1,a)＝1，解得a＝2，直线方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.12．已知直线l过点(4,1)，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为－eq\f(1,2)或－eq\f(1,8).解析：设该直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意有a>0，b>0，eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，eq\f(1,2)ab＝9，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝\f(3,2)，))故直线过点(6,0)，(0,3)或(12,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，则直线l的斜率为eq\f(0－3,6－0)＝－eq\f(1,2)或eq\f(0－\f(3,2),12－0)＝－eq\f(1,8).四、解答题13．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；当m≠－1时，k＝eq\f(1,m＋1).(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，AB的方程为y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)．(3)①当m＝－1时，α＝eq\f(π,2)；②当m≠－1时，∵k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).综合①②，知直线AB的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).14．(2022·福建泉州永春第一中学月考)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0，,2x＋y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))故直线l1恒过定点M(－1，－2)．(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，设直线l2的方程为y＋2＝k(x＋1)，令x＝0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝eq\f(2,k)－1，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2<0，,\f(2,k)－1<0，))解得k<0，所以，三角形面积为S＝eq\f(1,2)(2－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－k－\f(4,k)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(－k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k))))))＝4，当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线的方程为2x＋y＋4＝0.素养提升15．已知直线l过点A(2,1)和B(1，m2)(m∈R)，则直线l斜率的取值范围是(－∞，1]，倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).解析：依题意，直线l的斜率为eq\f(m2－1,1－2)＝1－m2≤1，即直线l的斜率的取值范围是(－∞，1]，y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是增函数，tan0＝0，taneq\f(π,4)＝1，所以直线l的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).16．已知直线l1：kx＋y＝0过定点A，直线l2：x－ky＋2eq\r(2)＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为2eq\r(6).解析：由l1：kx＋y＝0，则l1过定点A(0,0)，由l2：x＋2eq\r(2)＋k(2－y)＝0，则l2过定点B(－2eq\r(2)，2)，显然k×1＋1×(－k)＝0，即l1、l2相互垂直，而l1与l2的交点为C，所以C的轨迹是以AB为直径的圆，且圆心为(－eq\r(2)，1)、半径为eq\r(3)，令|AC|＝x，则|BC|＝eq\r(12－x2)，且0≤x≤2eq\r(3)，所以(|AC|＋|BC|)2＝12＋2x·eq\r(12－x2)≤12＋(x2＋12－x2)＝24，当且仅当x＝eq\r(12－x2)，即x＝eq\r(6)时等号成立，所以|AC|＋|BC|的最大为2eq\r(6).8．2两条直线的位置关系考试要求1．能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1．两条直线的特殊位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2.(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2.2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.3．三种距离公式(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).常用结论与知识拓展1．两条直线平行、垂直的充要条件设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则(1)l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B22．常见直线系方程(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.3．对称常用结论(1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y基础检测1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)当直线l1和l2的倾斜角相同时，则l1∥l2.(×)(2)已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0不重合，则A1B2－A2B1＝0是直线l1∥l2的必要条件．(√)(3)l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行，则l1与l2之间的距离为eq\f(C1－C2,\r(A\o\al(2,1)＋B\o\al(2,1))).(×)(4)直线外一点与该点在直线上的投影的距离就是点到直线的距离．(√)(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．(√)2．(教材改编题)若直线x＋ay＋2＝0与直线x－2y－3＝0平行，则a＝－2.解析：由直线x＋ay＋2＝0与直线x－2y－3＝0平行，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×－2－1×a＝0，,－3×a－－2×2≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,a≠\f(4,3)，))所以a＝－2.3．(教材改编题)已知A(－2,3)，B(－3,0)两点，则线段AB的中垂线的方程为y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3).解析：线段AB中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(3,2)))，线段AB所在直线的斜率为eq\f(3－0,－2－－3)＝3，所以线段AB的中垂线的斜率为－eq\f(1,3)，所以线段AB的中垂线的方程为y－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，即y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3).4．(教材改编题)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.解析：解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－eq\f(1,3).所以直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.解法2：当AB∥l时，直线l的斜率k＝kAB＝－eq\f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，由直线l过点P(－1,2)知，直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.5．(多选题)(教材改编题)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则(AC)A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0C．直线l过定点(0,1)D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等解析：对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，其斜率为1，而直线x＋y＝0的斜率为－1，所以当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，所以B错误；对于C，当x＝0时，y＝1，与a无关，故直线l过定点(0,1)，所以C正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选AC．考点1两条直线的位置关系命题角度1两条直线的平行与垂直【例1】(1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝－1或2.解析：因为直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在，且l1∥l2，所以eq\f(a－1,－2)＝－eq\f(1,a)，所以a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等，所以当a＝－1或a＝2时满足两条直线平行.(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l规律总结1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【对点训练1】(1)函数f(x)＝3x2－4x＋e2x在点(0，f(0))处的切线与直线2x＝ay－2平行，则a＝－1.解析：f′(x)＝6x－4＋2e2x，f′(0)＝0－4＋2＝－2，由题意得eq\f(2,a)＝－2，a＝－1.(2)(2022·山东临沂三模)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，C(－4,0)，则其欧拉线方程为x－y＋2＝0.解析：设△ABC的重心为G，垂心为H，由重心坐标公式得x＝eq\f(0＋2＋－4,3)＝－eq\f(2,3)，y＝eq\f(0＋4＋0,3)＝eq\f(4,3)，所以Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)))，由题可知，△ABC的边AC上的高所在直线的方程为x＝0，直线BC：y＝x＋4，A(2,0)，所以△ABC的边BC上的高所在直线的方程为y＝－x＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－x＋2))⇒H(0,2)，所以欧拉线GH的方程为y－2＝eq\f(2－\f(4,3),0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))(x－0)，即x－y＋2＝0.命题角度2两条直线相交【例2】(1)直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a2－3)y＋2＝0互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为(C)A．1 B．3C．－1 D．－3解析：由直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a2－3)y＋2＝0互相垂直，可得2a－(a2－3)＝0，解得a＝－1或3，当a＝3时，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋y－2＝0，,x－6y＋2＝0，))解得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,37)，\f(14,37)))，不合题意；当a＝－1时，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y－2＝0，,x＋2y＋2＝0，))解得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(2,5)))，合乎题意，故实数a的值为－1，故选C．(2)若k>4，直线kx－2y－2k＋8＝0与2x＋k2y－4k2－4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)，8)).解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－2y－2k＋8＝0，,2x＋k2y－4k2－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))即两直线的交点为定点B(2,4)，而直线l1：kx－2y－2k＋8＝0与x轴交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(8,k)，0))，与y轴的交点D(0,4－k),直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与x轴的交点E(2k2＋2,0)，与y轴的交点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4＋\f(4,k2)))，因为k>4，所以0<2－eq\f(8,k)<2,4－k<0,2k2＋2>34,4<4＋eq\f(4,k2)<4eq\f(1,4)，如图所示，∴S四边形OABC＝S△OCE－S△ABE＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4,k2)))(2k2＋2)－eq\f(1,2)×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k2＋2－2＋\f(8,k)))＝eq\f(4,k2)－eq\f(16,k)＋8＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－2))2－8，∵k>4，∴0<eq\f(1,k)<eq\f(1,4)，则eq\f(17,4)<S四边形OABC<8，故k>4时，所求面积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)，8)).规律总结求两条直线的交点坐标，一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．同时，亦可以采用过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0，通过待定系数法确定．【对点训练2】若三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为eq\r(5).解析：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))因为三条直线x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一点，所以m＋2n＝5.则点(m，n)到原点的距离的最小值为原点到直线x＋2y＝5的距离d＝eq\f(5,\r(12＋22))＝eq\r(5).考点2距离问题命题角度1两点间的距离【例3】若实数a，b，c，d满足b＝2a2－lna，d＝3c－2，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为eq\f(1,10).解析：令y＝f(x)＝－lnx＋2x2，y＝g(x)＝3x－2，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两个函数f(x)与g(x)的图象上的两点之间的距离的最小值的平方，f′(x)＝－eq\f(1,x)＋4x，设与直线y＝3x－2平行且与曲线f(x)相切的切点为P(x0，y0)，则－eq\f(1,x0)＋4x0＝3，x0>0，解得x0＝1，可得切点P(1,2)，切点P(1,2)到直线y＝3x－2的距离d＝eq\f(|3－2－2|,\r(10))＝eq\f(1,\r(10)).∴(a－c)2＋(b－d)2的最小值为d2＝eq\f(1,10).规律总结特别注意的是两点间距离公式的“几何特征”，从而将问题化为几何最值问题，所以必须能够在复杂的题目情境中识别出来，并将问题转化，体现数形结合的数学思想.平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点间的距离，若给了eq\r(a－12＋b－12)能够联想到两点间距离公式，这里就提醒我们要掌握知识的“直用”也要会“逆用”．【对点训练3】设点P在直线2x－y－14＝0上，点Q在曲线y＝x＋lnx上，线段PQ的中点为M，O为坐标原点，则|OM|的取小值为eq\f(3\r(5),2).解析：由题可设P(x1,2x1－14)，Q(x2，x2＋lnx2)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(2x1－14＋x2＋lnx2,2)))则|OM|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1－14＋x2＋lnx2,2)))2，即4|OM|2＝[x2－(－x1)]2＋[(x2＋lnx2)－(－2x1＋14)]2，即4|OM|2的最小值为Q(x2，x2＋lnx2)到N(－x1，－2x1＋14)距离平方的最小值，其中点Q在曲线y＝x＋lnx上，N在直线y＝2x＋14上，|QN|的最小值为在曲线y＝x＋lnx上与直线y＝2x＋14平行的切线的切点到直线y＝2x＋14的距离，设切点为(x0，x0＋lnx0)，因为曲线导数y′＝1＋eq\f(1,x)，则1＋eq\f(1,x0)＝2，解得x0＝1，所以切点为(1,1)，所以|QN|min＝eq\f(15,\r(5))＝3eq\r(5)，所以|OM|min＝eq\f(3\r(5),2).命题角度2点到直线的距离与两平行线间的距离【例4】(1)点P(cosθ，sinθ)到直线3x＋4y－12＝0的距离的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(17,5))).解析：记d为点P(cosθ，sinθ)到直线3x＋4y－12＝0的距离，则d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－12|,\r(32＋42))＝eq\f(1,5)·|5sin(θ＋φ)－12|，其中tanφ＝eq\f(3,4)；当θ变化时，5sin(θ＋φ)的最大值为5，最小值为－5，则d的最大值为eq\f(17,5)，d的最小值为eq\f(7,5)，即距离的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(17,5))).(2)两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq\r(34)]．解析：如图，过点P作PR垂直于l2，垂足为R，|PQ|＝eq\r(－1－22＋2＋32)＝eq\r(34).记PQ与l1的夹角为θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则∠QPR＝eq\f(π,2)－θ，则|PR|＝|PQ|·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\r(34)sinθ，所以0<|PR|≤eq\r(34)，即l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq\r(34)]．规律总结点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．两平行线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【对点训练4】(1)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则c的值是2或－6.解析：依题意知，eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.(2)已知点P是曲线y＝x2－3lnx上一点，若点P到直线2x＋2y＋3＝0的距离最小，则点P的坐标为(1,1)．解析：由题意知，曲线y＝x2－3lnx，x>0，y′＝2x－eq\f(3,x)＝eq\f(2x2－3,x)，令y′＝0，得x＝eq\f(\r(6),2)，x＝－eq\f(\r(6),2)(舍)，所以y＝x2－3lnx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))上单调递增，如图所示，曲线在点P处的切线与直线2x＋2y＋3＝0平行时，点P到直线2x＋2y＋3＝0的距离最小．设P(x0，y0)(x0>0)，因为y′＝2x－eq\f(3,x)，则2x0－eq\f(3,x0)＝－1，解得x0＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(3,2)舍去))，所以点P的坐标为(1,1)．考点3对称问题命题角度1中心对称问题【例5】直线l：x－y＋1＝0关于点A(2，－3)的对称直线的方程为x－y－11＝0.解析：设对称直线上一点(x，y)，则点(x，y)关于A(2，－3)的对称点为(4－x，－6－y)，所以点(4－x，－6－y)在直线l上，代入得x－y－11＝0.规律总结关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.【对点训练5】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x命题角度2轴对称问题【例6】(1)已知点A(1,2)与B(3,3)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(A)A．2，－eq\f(13,2) B．－2，－eq\f(7,2)C．－2，eq\f(3,2) D．2，eq\f(13,2)解析：易知kAB＝eq\f(1,2)，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－2，即a＝2.又AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，代入2x＋y＋b＝0，得b＝－eq\f(13,2).故选A．(2)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，O(0,0)，若光线l从点P(2,0)射出，经直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线l所在的直线方程为y＝3x－6.解析：由题意知直线AB的方程为y＝－x＋4，设光线分别射在AB，OB上的M，N处，作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，易得点P关于y轴的对称点P1(－2,0)，∵OA＝OB＝4，∴∠P2AB＝∠PAB＝45°，∴P2A⊥OA，∴P2的横坐标为4，由对称性可知P2A＝PA＝2，可得P2的纵坐标为2，∴P2(4,2)，∴直线P1P2方程为eq\f(y,2)＝eq\f(x＋2,4＋2)，即x－3y＋2＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋2＝0，,x＋y－4＝0，))得x＝eq\f(5,2)，y＝eq\f(3,2)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3,2)))，∴直线PM：eq\f(y,\f(3,2))＝eq\f(x－2,\f(5,2)－2)，即光线l所在的直线方程为y＝3x－6.规律总结关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称.若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).②直线关于直线的对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.【对点训练6】已知△ABC的顶点A(1,2)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x＋2y－1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为2x－3y－1＝0.解析：由题意可知，点B在y＝x上，可设点B的坐标是(m，m)，则AB的中点eq\f(m＋1,2)，eq\f(m＋2,2)在直线CM上，∴eq\f(m＋1,2)＋2×eq\f(m＋2,2)－1＝0，解得m＝－1，故点B(－1，－1)．设A关于直线y＝x的对称点为A′(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－2,x0－1)＝－1，,\f(y0＋2,2)＝\f(x0＋1,2)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝1，))即A′(2,1)，则由A′在直线BC上，可得BC的方程为eq\f(y＋1,1＋1)＝eq\f(x＋1,2＋1)，即3(y＋1)＝2(x＋1)，即2x－3y－1＝0.考点4直线系方程及应用【例7】(1)经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为x－2y＝0.解析：因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0.即所求直线方程为x－2y＝0.(2)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m证明：令m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0，①再令m＝1时，直线方程为6x＋y＋4＝0，②联立①②，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋1＝0，,6x＋y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))将点A(－1,2)代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，得(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2故点A(－1,2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2规律总结对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数为R，则恒等式的系数为0，列出关于x，y的方程组，通过解方程组，求出定点坐标；特殊直线法就是取两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方程检验，即得定点.【对点训练7】已知直线l方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.那m为何值时，点解：直线(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0化为(x－2y－3)m＝－2x－由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0，,－2x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))∴直线必过定点P(－1，－2)．当点Q(3,4)到直线的距离最大时，QP垂直于已知的直线，即点Q与定点P(－1，－2)的连线长就是所求最大值，此时直线PQ与直线(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3∵kPQ＝eq\f(－2－4,－1－3)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(2＋m,2m－1)＝－eq\f(2,3)，解得m＝－eq\f(4,7)，此时，点Q(3,4)到直线的最大距离是eq\r(3＋12＋4＋22)＝2eq\r(13).综上所述，m＝－eq\f(4,7)时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为2eq\r(13).课时作业51基础巩固一、单项选择题1．(2023·四川绵阳中学入学考试)已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则a的值为(A)A．－1 B．0C．1 D．2解析：a＝－1时，方程分别化为：x＋1＝0,2y＋1＝0，此时两条直线相互垂直，因此a＝－1满足题意．a≠－1时，由于两条直线相互垂直，可得－eq\f(a－1,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋1,2)))＝－1，解得a＝－1，舍去．综上可得a＝－1.故选A．2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝(A)A．4 B．－4C．1 D．－1解析：因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以eq\f(2,3)＝eq\f(m,6)≠eq\f(1,－1)，解得m＝4.故选A．3．与直线x＋y－1＝0平行，且经过点(2,3)的直线的方程为(C)A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋5＝0C．x＋y－5＝0 D．x－y－1＝0解析：与直线x＋y－1＝0平行，且经过点(2,3)的直线的方程为y－3＝－(x－2)，整理得x＋y－5＝0.故选C．4．过点P(1，－1)且垂直于l：x－2y＋1＝0的直线方程为(B)A．x＋2y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－3＝0 D．2x－y＋3＝0解析：直线l：x－2y＋1＝0的斜率为k＝eq\f(1,2)，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为－2，于是有y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0，所以所求直线方程为2x＋y－1