《高等数学(下册)》教案 第24课 格林公式及其应用

24第24第课格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用第课24PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7格林公式及其应用格林公式及其应用第课24

课题格林公式及其应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解格林公式是联系曲线积分与二重积分的桥梁（2）掌握格林公式的应用（3）理解平面上曲线积分与路径无关的等价条件思政育人目标：通过讲解格林公式及其应用，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：格林公式及其证明教学难点：格林公式的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（30min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解格林公式的相关定义、定理，及其应用定义设为平面区域，如果内任意一条闭曲线所围成的部分都属于，则称为平面单连通区域（即内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．例如，区域和是单连通区域；环状区域是复连通区域．关于平面区域边界曲线的正负向规定如下：设平面区域的边界曲线为，当沿着边界曲线运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为的正向，此时的反向即为的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图12-7所示的复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．图12-7定理1（格林公式）设函数，在闭区域上具有一阶连续偏导数，则有，（12-4）其中为的正向边界曲线．证将区域分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．论．①平行于坐标轴的直线和最多有两个交点．如图12-8所示，若将区域表示为型区域，则．图12-8因为连续，所以根据二重积分的计算方法有根据对坐标的曲线积分计算方法及性质，有由此可得．（12-5）若将区域表示为型区域，同理可得．（12-6）由于式（12-5）和式（12-6）同时成立，两式相加即得式（12-4）．②平行于坐标轴的直线和曲线有两个以上的交点．对于这种情况，可引入辅助曲线，把区域分成有限个小区域，使每个小区域都满足①的条件．例如，如图12-9所示，对于闭区域，它的边界曲线为，引进一条辅助线，把分成三个部分．对于每个部分应用公式（12-4），得，，．图12-9把以上三个等式相加，注意相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消，便得，其中是的正向边界曲线．（2）如果是复连通区域，则可用辅助线把区域划分成单连通区域．如图12-10所示，在复连通区域引入直线段，则是以，为边界曲线的单连通区域，从而图12-10通过格林公式，我们可得到曲线积分的另一种计算方法，即将曲线积分转化为二重积分进行计算．通过格林公式，曲线积分还可以用来计算平面图形的面积．在格林公式中取，，得平面图形的面积为．（12-7）例1求椭圆所围成图形的面积．解根据式（12-7）得椭圆面积为．例2计算，其中为和所围成区域的正向边界曲线．解应用格林公式得（例3、例4详见教材）【学生】掌握格林公式的相关定义、定理，及其应用学习格林公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解平面上曲线积分与路径无关的等价条件设在平面区域内具有一阶连续偏导数．是内任意给定的两点，如果对于内从起点到终点的任意两条曲线与，等式恒成立，则称曲线积分在区域内与路径无关，否则称与路径有关．在内，若起点为、终点为，则与路径无关的曲线积分可简记为．定理2设是单连通区域，若函数在内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：（1）对于内任意光滑闭曲线，有；（2）在区域内与路径无关，只与起止点有关；（3）为某二元函数的全微分，即；（4）在内每一点处有成立．证要证明以上四个命题等价，只需按照（1）（2）（3）（4）（1）的模式，分四步证明即可．（1）（2）．设和为内任意两条从A点到B点的有向分段光滑曲线，此时形成一条闭曲线，则，因为所以，即在区域内与路径无关，只与起止点有关．（2）（3）．在内取定点和任一动点，如图12-13所示，因积分与路径无关，故该曲线的积分可记为，图12-13当起点固定时，该积分的值取决于终点，即该积分与构成函数关系，把该函数记为，则，取从点B沿着平行于x轴的直线段到点C，则，因为直线段的方程为，根据对坐标的曲线积分的计算法，上式成为，应用定积分中值定理，得，于是．同理可证，从而有．（3）（4）．设存在函数使得，则，，由于P，Q在内具有一阶连续偏导数，因此在内每一点处有．（4）（1）．设为中任一分段光滑闭曲线，所围区域为，则由格林公式，得．例5计算曲线积分，其中为上从点到点的曲线弧，如图12-15所示．解由于，因此原积分与路径无关．为了计算简便，选取平行于坐标轴的折线为积分路径，则有．图12-14图12-15（例6、例7详见教材）【学生】掌握平面上曲线积分与路径无关的等价条件学习平面上曲线积分与路径无关的等价条件。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课主要介绍了格林公式及其证明、格林公式的应用，平面上曲线积分与路径无关的等价条件。课后要多加练习，巩固认知。【学生