人教A版选修2-3(精校版)

L1.1基本计数原理(第一课时)

教学目标：

(1)理解分类计数原理与分步计数原理

(2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学重点：

(1)理解分类计数原理与分步计数原理

(2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学过程

一、复习引入：

一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下,

大家握手次数共有多少？

某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问

你共有多少种不同走法？

二、讲解新课：

问题1春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅

客列车和客机。已知当天长途车有2班，列车有3班。问共有多少种走法？

设问1：从济南到北京按交通工具可分一类方法？

第一类方法，乘火车，有一种方法；第二类方法，乘汽车，有一种方法；

从甲地到乙地共有种方法

设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？

问题2春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到

天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同

的方法？

从济南到北京须经—再由____到北京有一个步骤

第一步，由济南去天津有__种方法

第二步，由天津去北京有一种方法，

设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的？

1分类计数原理：(1)加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径

有nl种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径

有nK种方法可以完成。那么，完成这件工作共有nl+n2+……+nK种不同的方法。

1.标准必须一致，而且全面、不重不漏！

2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集!

3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成

2,乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有nl种不同的方

法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那

么，完成这件工作共有nlXn2X……XnK种不同方法

1标准必须一致、正确。

2“步”与“步”之间是连续的，不间断的，缺一不可;但也不能重复、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须

依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

三、例题精析

例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，

第3层放有2本不同的体育书，

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：(1)从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算

机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法

是从第3层取1本体育书，有2种方法•根据分类计数原理，不同取法的种数是

4+3+2=9种・

所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1

层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；

第3步从第3层取1本体育书，有2种方法•根据分步计数原理，从书架的第1、2、

3层各取1本书，不同取法的种数是4X3X2=2/W

所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法•

例2.一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从。到9共10个数字，这

4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？

解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各

取1个数字组成的四位数字号码的个数是N=lOxlOxlOxlO=lOOOO，

所以，可以组成10000个四位数号码•

例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的

选法？

解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上

日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班

的工人选定后，上晚班的工人有2种选法•根据分步技数原理，不同的选法数是

N=3x2=6种，6种选法可以表示如下：

日班：甲甲乙乙丙丙

晚班：乙丙甲丙甲乙

所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法•

例4.若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，

问共有多少种不同的吃法？n块糖呢？

课堂小结：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用

课堂作业：

课后反思:

1.1.2基本计数原理(第二课时)

教学目标：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学重点：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学过程

一、复习引入：

1、分类计数原理：(1)加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种

途径有山种方法可以完成，由第2种途径有112种方法可以完成，……由第k种

途径有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+以种不同的

方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有m种不同

的方法，完成第2步有m种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。

那么，完成这件工作共有mXm义……Xnk种不同方法

二、讲解新课：

例1.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

例2.在1〜20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法有多少种？

解:取a+b与取。+“是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加,

由分步计数原理得(10X9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加，也有(10X9)/2=45种

取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.

例3.如图一，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同

一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()

A.180B.160C.96D.60-

①

③④

②

图二图三

若变为图二,图三呢？（240种,5X4X4X4=320种）

例4.75600有多少个正约数?有多少个奇约数？

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的

整数和奇约数的个数.由于75600=2'X33X52X7

（1）75600的每个约数都可以写成2,3,5&.7，的形式，其中

0<z<4,0<j<3,Q<k<2,O</<1,于是,要确定75600的一个约数，可分四步完成,

即ijk/分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法，/有4种取法，k有3

种取法，/有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5X4X3X2=120个.

⑵奇约数中步不含有2的因数，因此75600的每个奇约数都可以写成5*7的形

式，同上奇约数的个数为4X3X2=24个.

课堂小结：本节课学习了两个重要的计数原理的应用

课堂作业：

课后反思：

1.2.1排列（第一课时）

教学目标：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导

教学重点：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导

教学过程

一、复习引入：

1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种

途径有m种方法可以完成，由第2种途径有1）2种方法可以完成，……由第k种

途径有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有ni+n2+……+配种不同的

方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有m种不同

的方法，完成第2步有m种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。

那么，完成这件工作共有由义M2义……Xnk种不同方法

二、讲解新课：

1.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取加（m<n）个元素（这里的被取元素各不相同）按

照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列•

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同•

2.排列数的定义：

从"个不同元素中，任取加（加《〃）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元

素中取出加元素的排列数，用符号町表示•

注意区别排列和排列数的不同：''一个排列”是指：从〃个不同元素中，任取m

个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任

取“（加《〃）个元素的所有排列的个数，是一个数•所以符号A："只表示排列数，

而不表示具体的排列•

3.排列数公式及其推导：

第1位第2位第3位第m位

..........

n-1n-2n-rn^]

图10-5

求以按依次填加个空位来考虑M=心_1)(〃-2)(〃-根+1)，

排列数公式：4"=一2)(〃一加+1)—n\(m,n£N*,m4几)

(n-m)!

说明：(1)公式特征：第一个因数是“，后面每一个因数比它前面一个

少1,最后一个因数是〃一加+1,共有加个因数；

(2)全排列：当〃=〃7时即〃个不同元素全部取出的一个排列•

全排列数：A"=”(〃-1)(〃-2)2.1=〃！(叫做n的阶乘)，

4.例题精析：

例1.计算：(1)4；(2)8；(3)星.

解：(1)A]=16x15x14=3360；(2)父—6!=720；(3)4=6x5x4x3=360。

m=

例2.(1)若4"=17X16X15X*5X4，贝九〃=----，-----

(2)若〃eN,则(55-〃)(56-〃)(68-〃)(69-〃)用排列数符号表示-

解：(1)〃=17,tn=14.

(2)若〃wN,则(55—")(56—“)(68-〃)(69—〃)=4“•

例3.(1)从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共

有多少个？

(2)5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

(3)某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主

客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？

解：(1)&=5x4=2O；(2)&=5x4x3x2x1=120；㈠)=14x13=182，

课堂小结：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导

课堂作业：

课后反思：

1.2.1排列（第二课时）

教学目标：

掌握解排列问题的常用方法

教学重点：

掌握解排列问题的常用方法

教学过程设计

一、复习引入：

1.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取加个元素（这里的被取元素各不相同）按

照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列•

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同•

2.排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取加（m<«）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元

素中取出加元素的排列数，用符号黑，表示•

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从〃个不同元素中，任取加

个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任

取“个元素的所有排列的个数，是一个数•所以符号父只表示排列数，

而不表示具体的排列•

3.排列数公式及其推导：

=〃（〃-1）（〃一2）（»-m+1）m,neN*,m<n^

全排列数：（〃一1）（〃.2）2」=〃！（叫做n的阶乘），

二、讲解新课：

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；

当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接

法.当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中

“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.

解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”.

互斥分类一一分类法；先后有序一一位置法；反面明了一一排除法；

相邻排列一一捆绑法；分离排列一一插空法；

例1.求不同的排法种数：

(1)6男2女排成一排，2女相邻；

(2)6男2女排成一排，2女不能相邻；

(3)4男4女排成一排，同性者相邻；

(4)4男4女排成一排，同性者不能相邻.

例2.在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析：符合条件的奇数有两类.一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数

可从3、4、5、6、7中任取一个，有PS1种选法，中间两位数从其余的8个数字中

选取2个有Pgz种选法，根据乘法原理知共有P2RR2个；一类是以3、5、7为尾

数的共有PJPJP/个.

112112

解:符合条件的奇数共有P2P5P8+P3P4P8=1232个.

答：在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个.

例3.某小组6个人排队照相留念.

⑴若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后

排，有多少种排法？

⑶若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

⑷若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

分析(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3〜6个位子看

成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题.

⑵先确定甲的排法，有PJ种；再确定乙的排法，有P1种；最后确定其他人的排

法，有PJ种.因为这是分步问题，所以用乘法原理，有PJ・P1・P:种不同排法.

⑶采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P/种不同排法.然

后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法.因为是分步问题，应当用乘法原理，所

以有P55・P22种排法.

(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P6‘种排法.

⑸采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子,

如—女—女—女—，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个

男生都不会相邻了.这样男生有P:种排法，女生有P33种排法.因为是分步问题,

应当用乘法原理，所以共有p;•p/种排法.

(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；

一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中

任选1人有P1种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有PJ种排法，中间4个

位置无限制有P；种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有PJPJPJ种

排法.

6

解：(l)P6=720(^);(2)P?-P?-P?=2X4X24=192(^)；

56

(3)P5•P2?=120X2=240(种)；(4)P6=360(^)；(5)P；・P3J24X6=144(种)

51I

(6)P5+P.1P4P；=120+4X4X24=504(种)

65

或法二:(淘汰法)P6-2P5+P>720-240+24=504(^)

课堂小结：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导

课堂作业：

课后反思：

L2.2组合（第一课时）

教学目标：

1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；

2.能正确认识组合与排列的联系与区别

教学重点：

理解组合的意义，掌握组合数的计算公式

教学过程

一、复习引入：

1.排列的概念：

从〃个不同元素中，任取〃？（加个元素（这里的被取元素各不相同）按

照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列•

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同•

2.排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取加（加《〃）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元

素中取出M元素的排列数，用符号4：表示♦

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从〃个不同元素中，任取加

个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任

取加（机《“）个元素的所有排列的个数，是一个数•所以符号A;只表示排列数，

而不表示具体的排列•

3.排列数公式及其推导：

A,"'=/?（/?-l）（n-2）（〃一m+1）m,neN*,m<n^

全排列数：2」=〃！（叫做n的阶乘），

二、讲解新课：

1•组合的概念：一般地，从〃个不同元素中取出m（租<〃）个元素并成一组，叫做

从〃个不同元素中取出机个元素的一个组合•

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”一一无序性；⑶相同组合：元素相同・

2.组合数的概念：从〃个不同元素中取出加(〃区同个元素的所有组合的个数，叫

做从〃个不同元素中取出加个元素的组合数.用符号C，”表示.

3.组合数公式的推导：

(1)一般地，求从〃个不同元素中取出0个元素的排列数记，可以分如下两步:

①先求从〃个不同元素中取出加个元素的组合数C"；②求每一个组合中加个元

素全排列数A：：，根据分步计数原理得：A：=C>A：；•

(2)组合数的公式：

_找_或c„,=〃!(〃,meN*,且"?<n)'

4.例题精析：

例1.计算：(1)4；(2)7;

5CJCo

(1)解：147x6x5x4=35；

C=--------

74!

(2)解法1：10x9x8x7x6x5x4=120.

C,ino=--------7!-------

解法2：_io!_IOX9X8=120.

'0-7!3!-_3!~

例2.求证：m+i..

J”一Jn

n-m

证明：•••加

Cm，小

-----

m+1C叫"2+1n\—m+1n\—n\

n-m〃n-m(m+l)!(n-/n-l)!(m+1)!(〃一加)(〃一加一1)!

加

C+1C厂m+l

n=-n---m--n

例3.在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查.

⑴全是合格品的抽法有多少种？

(2)次品全被抽出的抽法有多少种？

⑶恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？

(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？

例4,名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成

方法共有多少种？

解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有《，

CbC?C\-C^

所以，一共有c：+c：C；+c；=1°。种方法.

解法二：(间接法)_c：=]QQ*

课堂小结：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式

课堂作业：

课后反思：

L2.2组合（第二课时）

教学目标：

1•掌握组合数的两个性质；

2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题•

教学重点：

掌握组合数的两个性质

教学过程

一、复习引入：

1•组合的概念：一般地，从〃个不同元素中取出加（〃区“）个元素并成一组，叫做

从〃个不同元素中取出m个元素的一个组合•

说明：⑴不同元素；（2）“只取不排”一一无序性；⑶相同组合：元素相同・

2.组合数的概念：从〃个不同元素中取出加价w〃）个元素的所有组合的个数，叫

做从〃个不同元素中取出加个元素的组合数.用符号表示.

3.组合数公式的推导：

（1）一般地，求从〃个不同元素中取出力个元素的排列数A：，可以分如下两步：

①先求从〃个不同元素中取出勿个元素的组合数c，，，；②求每一个组合中加个元

素全排列数A；：，根据分步计数原理得：A：=C：.A：・

（2）组合数的公式：

_找_（"阳+1）或c“，=川（n,meN*,且加<n）'

"一耳；一ml"加（〃一加）！

二、讲解新课：

m1

1,组合数的性质1:Crn-Jc",-"•

一般地，从n个不同元素中取出“个元素后，剩下个元素.因为从n

个不同元素中取出勿个元素的每一个组合，与剩下的n-/个元素的每一个组合

芍廖，所以从〃个不同元素中取出必个元素的组合数，等于从这〃个元素中

取出勿个元素的组合数，即：C",一b.在这里，主要体现：'‘取法"与''剩

法”是“一一对应”的思想，

证明：•二7|又川,，

_______7___2_____________________cm_

(〃一m)!["—(〃一加)]!加(〃一加)！_'〃

说明：①规定：(7。=]；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

③C；=c;=x=y或x+y=〃・

2.组合数的性质2：Qrn=Qin+z--m-l.

一般地，从Qa...a这〃+1个不同元素中取出勿个元素的组合数是，

这些组合可以分为两类：一类含有元素a,一类不含有a.含有a的组合是从

aaa这〃个元素中取出必-1个元素与“组成的，共有仁…个；不含有。的

组合是从aa...&这〃个元素中取出勿个元素组成的，共有b个.根据分类

"2,"3，»un+\J

计数原理，可以得到组合数的另一个性质.在这里，主要体现从特殊到一般的归

纳思想，“含与不含其元素”的分类思想.

证明.

ii-i〃！〃！〃！(〃一m+1)+制〃2

C+C..=---------4--------------------=--------------------

n"?!(〃-“)！(zn-l)![«-(/n-l)]!ml(n-m4-1)!

(/?-TH+1+m)nl(〃+l)!=C；：[

加！(〃一〃2+l)!机！(〃一〃z+l)!

.■厂》/W厂r/n+.

L〃+l"

3.例题精析

1•(1)计算：。3+。4+；(2)：C"—C〃+2cA-1+C〃-2・

解：(1)原式=c；+c；+C：=C；+C；=C；)=C：)=210；

证明：(2)右边=©+靖)+(蟒+蝮)=5+端=%=左边.

例2.解方程：(1)0，+1-C2*-3；(2)解方程：，1.

53-VI3Cx~24Cx~3_—43

解：(1)由原方程得x+l=2x-3或x+l+2x-3=13，「♦x=4或x=5，

又由［1KX+1K13得2WxW8且xeN'•.•原方程的解为x=4或x=5，

<l〈2x-3K13

xwN*

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把》=4和x=5代入检验,这样运算量小

得多.

(2)原方程可化为&3,即a3=2y3,•(x+3)!_(x+3)!

1•5!(x-2)!-10-x!

.1_______1_______

,,120(%-2)!-10-x(^-l)-U-2)!’

•*,x2-x-12=0»解得x=4或尤=一3，

经检验：》=4是原方程的解♦

例3.有同样大小的4个红球，6个白球。

⑴从中任取4个，有多少种取法？

(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？

⑶从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？

(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。从中取4个球，使总分不小于5

分的取法有多少种？

课堂小结：本节课学习了组合数的两个性质

课堂作业：

课后反思：

1.2.2组合(第三课时)

教学目标:

1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;

2、能够解决一些组合应用问题

教学重点：

解决一些组合应用问题

教学过程

一、复习引入：

1•组合的概念：一般地，从〃个不同元素中取出个元素并成一组，叫做

从〃个不同元素中取出m个元素的一个组合•

说明：⑴不同元素；(2)“只取不排”一一无序性；⑶相同组合：元素相同・

2.组合数的概念：从〃个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫

做从〃个不同元素中取出加个元素的组合数.用符号C，"表示.

•••f

3.组合数公式:

理=〃(〃-1)("-2)(〃-，〃+1)或冷加(71,mGN",且/n<n)

“_然一加！〃m!(n-m)!

4组合数的性质:(1)Qm_Qn-m.(2)IQm=Qm+.

二、讲解新课：例题精析：

例1.(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个

小球，共有多少种放法？

⑵把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球,

又有多少种放法？

(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球

数不限，问有多少种放法？

例2.从编号为1,2,3,…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个

球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有C：C；；5奇1偶有《，

...一共有以或+C总+0=236.

例3.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语

翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担

一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少

种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C"：；

②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有,

...-一共有「2c2+「3「1+「3c2—42种方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不

值周六，问可以排出多少种不同的值周表？

解法一：(排除法)-=42.

解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有

另一类为甲不值周一，但值周六，有

...一共有C：C：+C：C；=42种方法.

例5.6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

解：

第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有盘种方法；

第二步：将5个“不同元素(书)”分给5个人有用种方法.

根据分步计数原理，一共有4=1800种方法.

例6.从6双不同手套中，任取4只，

(1)恰有1双配对的取法是多少？

(2)没有1双配对的取法是多少？

(3)至少有1双配对的取法是多少？

课堂小结：本节课学习了组合数的应用

课堂作业：

课后反思:

1.3.1二项式定理(两个课时)

教学目标：

1、能用计数原理证明二项式定理；

2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

教学重点：

掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

教学过程

一、复习引入：

⑴(a+勿2=/+2"+〃=C*+c；ab+C；b2；

⑵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+"=Cfa3+C1a2b+C-ab2+C>3*

⑶(«+Z7)4=(a+/?)(a+/j)(a+8)(a+Z7)的各项都无4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3b4,

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取。的情况有1种，即端种，/的

系数是《；恰有1个取力的情况有C：种，的系数是c：,恰有2个取b的情况有C：

种，合片的系数是盘，恰有3个取人的情况有《种，,必的系数是优，有4都取人的

情况有C：种，/的系数是C：,

(a+b)4=C^a4++C；a2b2+C^b+C>4-

二、讲解新课：

1、二项式定理：(a+by=C°a"+C'na"b++C：af++C»"(〃GN*)

2、二项式定理的证明：

(a+b)”是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时，有两种选择，选a或b,由分步

计数原理可知展开式共有，项(包括同类项)，其中每一项都是ate的形式，

k=0,1,n;对于每一项akb"",它是由k个(a+b)选了a,n-k个(a+b)选了

b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并

同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

3、它有“+1项，各项的系数C：0=O,1,〃)叫二项式系数，

4、£“一方叫二项展开式的通项，用却表示，即通项

5、二项式定理中，设a=l,b=x,则(l+x)"=l+C%++C>r++x"

三、例题精析

例1.展开(1+%.

X

解一：(1+-)4=1+^(-)+0；(-)2+^(-)3+(-)4=1+-+4+4+^-

XXXXXxx~XX

解二：(1+-)4=d)4(X+1)4=(l)4r/+。卜3+C\x2+C>+1]

XXXL」

.4641

=1+-+—+—+—•

例2.展开(26一七)6.

解：(2五一十)6=5(2x—1)6

(2x)6-C：(2x)5+C；(2x)4-C；(2x)3+C：(2x)2-c：(2x)+l]

=64%3—192x?+24-Ox—160H------H—•

XXX

例3.求(x+a)n的展开式中的倒数第4项.

解：(x+a)n的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

Qi=产一9a9==220/。9.

例4.求(1)(2a+3b)6,(2)(3b+2a的展开式中的第3项.

解：(1)岂+1=C：(2a)4(3b)2=2160aW,⑵以=C；(3b)4(2a>=4860口.

点评：(2a+3协6,(3H2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第/•项不相同.

例5.(1)求弓+%)9的展开式常数项；(2)求号+三)9的展开式的中间两项.

解：加=C；G)9"(/)r=C；A晨吟,

3yJX

A(1)当9-^〃=。/=6时展开式是常数项，即常数项为(=《3=2268；

(2)号+福)9的展开式共10项’它的中间两项分别是第5项、第6项’

7；Me；1"尤"J*,7；=《.32『”=37877.

X

课堂小结：本节课学习了二项式定理及二项式展开式的通项公式

课堂作业：

课后反思：

1.3.2杨辉三角(两个课时)

教学目标:

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用

教学重点：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用

教学过程

一、复习引入：

1.二项式定理

nrnrrn

(«+b)=C：a"+C'na"b++Cna-b++C；；b(nsN*)，

nrr

2.二项展开式的通项公式：Tr+[=Cna-b

二、讲解新课：

1.二项式系数表(杨辉三角)Q

(a+与"展开式的二项式系数，当〃依次取1,2,3…时，二项式

系数表，表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它

肩上两个数的和•

2.二项式系数的性质：

(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(•••c；=cr).

(2)增减性与最大值.•••=〃(〃7(~2)(i+1)=优.巴上1,

k\k

•••c相对于C厂的增减情况由匕小决定，七H〉10%＜四，

KK2

当左＜四时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且

2

在中间取得最大值；

fin-\〃+1

当〃是偶数时，中间一项G取得最大值；当〃是奇数时，中间两项C3,甲取得

最大值.

(3)各二项式系数和：

7(l+x)n=1+C＞++c；£++尸

令x=],则2"=C。+C1+C?++U++c"3兀素集合的子集个数证明)

三、例题精析

例1.在(a+b)”的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数

的和.

证明：在展开式(a+b)"=C：a"+C：a%++C：af++C»"(〃eN*)中，令

贝I](l-l)n=C°-C：+C；Y++(-1)"C；,

即O=(C；+C,；+)-(C；+C：+),

•••c：+a+=C：+C：+,

即在(a+份”的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

说明：由性质(3)及例1知C；+C；+=C：+C；+=2"T.

例2.已知(1-2x)7=。()+4/+。2工2++。7/，求：

(1)4+/++%;(2)%+%+a+%；(3)I%I+14I++1%|.

77

解：(1)当x=l时，(1-2x)=(1-2)=-19展开式右边为4+4+%++%

••4。+。]+生++%=—1,

士|%=0日寸，。()=1,••Q]+Q,++%=—1—1=■""2，

(2)令x=l,0()+6+〃2++%=-1①

x——19(2Q_4+a?—%+%—〃5+〃6—%=3了(2)

7

/714-3

(X)一(2)4导：2(4+4-tz54-)=—1—39••q+々3+05+%=——•

(3)由展开式知：q,a3M5,。7均为负，%,“2,%，。8均为正，

.,.由(2)中①+②得：2(4+4+4+4)=—1+37，

•—1+3，

••%+%+/+〃6=--------，

••|%|+|%|++|a71=%—4+一—%+—%

二(%++%+。6)­(。[+/+〃5+%)=3，・

例3.求(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)展开式中X：'的系数•

解：(i+x)+(i+x)2+..y+x)J.(3)L(L+Q「(x+i)u-(x+i)，

1-(1+X)X

•••原式中/实为这分子中的公,则所求系数为C3

例4.在(x?+3x+2)5的展开式中,求x的系数.

解：V(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5

.•.在(x+lT展开式中，常数项为1,含x的项为C；=5x,

在(2+x)5展开式中，常数项为2工32,含X的项为C；2，x=80x

,展开式中含X的项为1-(80x)4-5x(32)=240x,

，此展开式中x的系数为240.

例5.已知(4-4厂的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3,求

X-

展开式的常数项.

解：依题意C：:C：=14:3=3C：=14C：

/.3n(n-l)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-l)/2!=>n=10.

010-5r

设第r+1项为常数项，又L=C；o(4严=(-2)rC；0xk

X

令W产=0nr=2,.,工*I=C：o(-2)2=180.此所求常数项为180.

课堂小结：本节课学习了二项式系数的性质

课堂作业:

课后反思:

2.1.1离散型随机变量

教学目标:

理解取值有限的离散型随机变量

教学重点：

理解取值有限的离散型随机变量

教学过程

一、复习引入：

1.随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必

然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件，记为(().

随机试验

为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称

为试验.如果试验具有下述特点：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简

称试验。

2.样本空间：(拓展知识)

样本点：在相同的条件下重复地进行试验，虽然每次试验的结果中所有可能发生的

事件是可以明确知道的，并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无

法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的

事件叫做试验的样本点，通常用字母3表示.

样本空间：

I,32,33,…构成的集合叫做样本空间，通常用字母。

表示，于是，我们有。={31，32,...}

3.古典概型的特征：

古典概型的随机试验具有下面两个特征：

(1)有限性.只有有限多个不同的基本事件；

(2)等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.

概率的古典定义

在古典概型中，如果基本事件的总数为n,事件/所包含的基本事件个数为广

(r<«),则定义事件/的概率P(A)为r/n.即

_工中包含的基本事件个数

⑷■«"一基本事件总数

二、讲解新课：

1、随机变量的概念

把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多

的数学知识对其进行深入研究.

有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本

无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，

出现字时用0表示.这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为

随机变量.

2、随机变量的定义：

如果对于试验的样本空间c中的每一个样本点田，变量J都有一个确定的实

数值与之对应，则变量孑是样本点卬的实函数，记作^=4(。).我们称这样的变

量J为随机变量.

3、离散型随机变量：若随机变量。只能取有限个数值……，与或可列无穷多

个数值勺,勺则称J为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量^取

有限个数值的情形

三、例题精析

例1.随机变量。为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求。的可能取值

解：J的可能取值为0,12

例2.某射手有五发子弹，射一次命中率为0.9,若命中了就停止射击，若不命中

就一直射到子弹耗尽.求随机变量的可能取值•

例3.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验

的结果•

(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5-现从该袋内随机取

出3只球，被取出的球的最大号码数自；

⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数「

解：⑴&可取3,4,5-

&=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3；

€=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；

€=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3或3,4,5-

(2)n可取0,1,…,n,••••

n=i,表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,

例4.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为€,

试问：'飞>4”表示的试验结果是什么？

答：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得-5WZW5,也就

是说“&>4"就是“g=5”•所以，“&>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点・

例5某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km,则按10元的标准收租车费•若行驶路

程超出4km,则按每超出1km力口收2元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的民航机场到

某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停

车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行

车路程€是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量•

(1)求租车费n关于行车路程€的关系式；

(II)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几

分钟？

解：⑴依题意得n=2(&-4)+10,即n=2g+2・(II)由38=2g+2,得目=18,5X(18-15)=15.

所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.

课堂小结：本节课学习了离散型随机变量

课堂作业：

课后反思：

2.1.2离散型随机变量的分布列

教学目标：

1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；

2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题.

教学重点：

1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列;

2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题.

教学过程

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量

叫做随机变量•随机变量常用希腊字母&、H等表示•

2.离散型随机变量：随机变量。只能取有限个数值和%……,演或可列无穷

多个数值和加…，/…，则称4为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量4

取有限个数值的情形.

二、讲解新课：

1.分布列：设离散型随机变量4可能取得值为用,也，…，不，…，

w取每一个值乂(，=1,2,•••)的概率为pe=xj=p,，则称表

4X\X,2•••Xi•••

PP,局・・・Pi・・・

为随机变量4的概率分布，简称f的分布列•

2.分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：OMP(A)M1，并且不可能

事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布

列都具有下面两个性质：

⑴哈0,7=1,2,…；(2出+巴+…=1.

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概

率的和.即pe2x*)=pe=z)+pc=x*+i)+….

3.二点分布：如果随机变量x的分布列为：

X10

ppQ

三、例题精讲

例1.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球

个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球，若取出

红球得1分，取出黄球得。分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所

得分数f的分布列.

分析：欲写出f的分布列，要先求出f的所有取值，以及f取每一值时的概

率.

解：设黄球的个数为〃，由题意知

绿球个数为2〃，红球个数为4〃，盒中的总数为7/?.

••4〃49n192n2,

P(^=l)=—=-P^=Q)=-=-==—=-

所以从该盒中随机取出一球所得分数f的分布列为

§10—1

412

P

777

说明：在写出f的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为L

例2.某一射手射击所得的环数4的分布列如下：

§4