历年（2017-2019）年福建省中考数学真题合集

2019年福建省中考数学试题及答案

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.计算2?+（—1）。的结果是（）.

A.5B.4C.3D.2

2.北京故宫的占地面积约为720000m2,将720000用科学记数法表示为（）.

A.72X104B.7.2xl05C.7.2xl06D.0.72xl06

3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方彩

4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）.

5.已知正多边形的一个外角为36。，则该正多边形的边数为（）.

A.12B.10C.8D.6

6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列

判断错误的是（）.

A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

7.下列运算正确的是（）.

A.a-a3=a3B.（2a）3=6/

C.crD.（/）3—（一/尸=。

8.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”

其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每

天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的

是（）.

A.x+2x+4434685B.x+2x+3x=34685

C.x+2x+2x=34685D.x+—x+—x=34685

24

9.如图，PA,P8是。O切线，A、B为切点，点C在。。上，

且NAC8=55°,则NAPB等于（）.（第9题）

A.55°B.70°C.110°D.125°

1（）.若二次函数y=|n|/+/?x+c的图象经过A（，",〃）、B（O,yi）、C（3—，〃,〃）、D（&,y2）、E（2,y3）,则yi、y2、

二的大小关系是（）.

A.yi<>2<券B.y\<y3V"C.y3Vy2VyiD.y2Vy3V”

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.因式分解：d-9=_（x+3）（x-3）.

ACR

12.如图，数轴上A、8两点所表示的数分别是一4和2,---------------二——、

-402

点C是线段的中点，则点C所表示的数是_一1.（第12题）

13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校

100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜

欢甲图案的学生有_1200人.

14.中在平面直角坐标系xO），中，DC"8c的三个顶点。（0,0）、A（3,0）、

8（4,2）,则其第四个顶点是是_（1,2）.

15.如图，边长为2的正方形A3CQ中心与半径为2的。O的圆心重合，

E、尸分别是A。、BA的延长与。。的交点，则图中阴影部分的面积

是一71—1.（结果保留兀）

3（第15题）

16.如图，菱形ABCD顶点A在例函数产一（工>0）的图象上，函数

x

y=，k>3,x>0）的图象关于直线4c对称，且经过点8、D

X

两点，若AB=2,ZDAB=30°,则％的值为_6+26.

三、解答题（共86分）

17.（本小题满分8分）

〜、相一》=5

解方程组：<

2x+y=4

x=3

解：<

3=—2

18.（本小题满分8分）

如图，点反尸分别是矩形A8CO的边A3、CO上的一点，且DF=BE.

求证：AF=CE.八

解：（略）

AEB

19.（本小题满分8分）

2x—1/-

先化简，再求值:(X—1)4-(^—---------)，其中x=J2+1

x

1+返

解：原式=上

X—12

20.（本小题满分8分）

如图，已知AA8C为和点A'.

（1）以点A'为顶点求作△4'3'（7',使4A'B'C'SAABC,SAAEC=4SAABC；

（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）设。、E、F分别是△A8C三边AB、BC.AC的中点，D'、E'、尸分别是你所作的△A'8'C'三边A'B'、

B'C'、A'C'的中点，求证：4DEFSAD'E'F：

A'

⑵证明（略）

21.（本小题满分8分）

在R/ZV18C中，NABC=90。，NA4c=30。，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度a得到△4££）,

点8、C的对应点分别是£、D.

（1）如图1,当点E恰好在AC上时，求NCDE的度数；

22.(本小题满分10分)

某工厂为贯彻落实‘'绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为〃?吨的废水处理

车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工

业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，

每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需

支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费37()元.

(1)求该车间的日废水处理量，〃：

(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用

不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.

解：(1)：处理废水35吨花费370,且370-30=一要,.•.,”<35,

357

.•.30+8，"+12(35一切)=370,"7=20

(2)设一天生产废水x吨,则

当0<xW20时，8x+30W10x,15WxW20

当x>20时，12(x-20)+160+30^10.r,20<xW25

综上所述，15WxW20

23.(本小题满分10分)

某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，

每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，

每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超

出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决

策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内

的维修次数，整理得下表；

维修次数89101112

频率(台数)1020303010

(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

⑵试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次

还是11次维修服务？

解：

(1)0.6

(2)购买10次时,

某台机器使用期内维修次数89101112

该台机器维修费用2400024500250003000035000

此时这100台机器维修费用的平均数

yi=—(24000X10+24500X20+25000X30+30000X30+35000X10)=27300

购买II次时,

某台机器使用期内维修次数89101112

该台机器维修费用2600026500270002750032500

此时这100台机器维修费用的平均数

y2=击(26000X10+26500X20+27000X30+27500X30+32500X1())=27500

所以，选择购买10次维修服务.

24.(本小题满分12分)

如图，四边形A8CO内接于。0,AB=AC,BDA-AC,垂足为E,点尸在8。的延长线上，JLDF=DC,

连接AF、CF.

(1)求证：ZBAC=2ZDAC;

(2)若AF=10,BC=4标,求3zNB4£＞的值.

解：

(l)VfiD±AC,CD^CD,

：.NBAC=2NCBD=2NCAD,

(2)VDF=DC,

：.ZBFC=-ZBDC=-NBAC=NFBC,

22

:.CB=CF,

又BD±AC,

；.AC是线段B尸的中垂线，AB=AF=\O,AC=iO.

又BC=4亚,

设AE=x,C£=10—x,

AB2-AE2=BC2-CE2,100-x2=80-(10一小x=6

：.AE=6,BE=8,CE=4,("1,2,行";"3,4,5";/??△组合)

作。垂足为“，则

333444

DH=BD-sinZABD=l\X-=——，BH=BD•cosZABD=\\X-=—

5555

446

：.AH=IO~—

55

AH62

25.已知抛物y=加+公+c(b<0)与轴只有一个公共点.

(1)若公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式；

(2)设A为抛物线上的一定点，直线/:,丫=履+1一%与抛物线交于点3、C两点，直线BO垂直于

直线产一1,垂足为点D当&=0时，直线/与抛物线的一个交点在y轴上，且小ABC为等腰直角三南形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数人,都有A、D、C三点共线.

解：(1)y=a(x-2)2,c=4a;

(2)y=kx+\~k^k(x-1)+1过定点(1,1),

且当％=0时，直线/变为y=1平行x轴,与轴的交点为(0,1)

又△ABC为等腰直南三角形，...点A为抛物线的顶点

①c=l,顶点A(1,0)

抛物线的解析式:y=jr—2x+l.

y=x2-2x+l

②

y=kx+l-k

JV2—(2+k)x+%=0,

x=—(2+k±+4)

2

XD=XB=—(2+k~〃2+4),y0=-1:

yc=y(2+lc+kJ/?+4,

C:+k+W—]+场+收+4)、

F，+241,0)

直线AD的斜率八尸二^丁笆三

k4-+4

直线AC的斜率kA差

2

kAD=kAC,点A、C、。三点共线.|

2018年福建省中考数学试卷(A)及答案

一、选择题(40分)

1.在实数卜3|、兀、0、-2中，最小的是().

(A)|-3|(B)-2(C)0(D)71

2.一个几何体的三视图如右所示，则这个几何体可能是().

(A)圆柱(B)三棱柱(C)长方体(D)四棱锥

(2题)

3.下列各组数中，能作为三角形三条边长的是().

(A)l、1、2(B)1、2、4(C)2、3、4(D)2、3、5

4.一个〃边形的内角和360。，则〃等于().

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.在等边△ABC中，AD1BC,垂足为点。，点E在A。边上，

若NE8C=45。，则NACE=().

(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°

6.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是

).

(A)两枚骰子向上一面的点数之和大于1(B)两枚骰子向上一面的点数之和等于1

(C)两枚骰子向上一面的点数之和大于12(D)两枚骰子向上一面的点数之和等于12

7.已知+也,则以下对，”的估算正确的是().

(A)2<m<3(B)3<m<4(C)4</M<5(D)5</n<6

8.古代“绳索量竿”问题："一条竿子一条索.索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一

托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索.用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折

后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是(

x=y+5%=y-5

x=y+5x=y-5

(B)\1「

1u<①)」二

—x-y-5［产y+52x=y-52元=y+5

12

9.如图，A8是。。，的直径，3C与。。相切于点3,AC交。0于点，

若NAC8=50。，则/30。=().

(A)40°(B)50°(C)60°(D)80°,

10.已知一元二次方程(。+1)/+2〃+(a+l)=0有两个相等的实数根，则下面选项正确的是().

(A)1一定不是方程的根(B)0一定不是方程f+Zzx+a"。的根

(C)1和一1者0是方程^+灰+^二。的根(D)1和-1不都是方程K+fcr+eO的根

二、填空题(24分)

(万丫

11.计算：\-1=_0_.

12.某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、

124,则这组数据的众数为_120.

13.如图，在•△A8C中，ZACB=90°,AB=6,。为A8的中点，则8=

3x+l>x+3%网，

14.不等式组《的解集为_x>2.

x—2>0

15.把两个相同大小的含45。角的三角板如图所示放置，其中一个三

角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,另外三角板的

锐角顶点8、C、。在同一直线上，若A8=&,则CZ>—V3-I

3

16.如图，直线产与双曲线y=—交于点A、3两点，作■BC"x

x

轴，AC〃y轴，燹BC点、C,则SZVIBC的最小值是___6

三，解答题(共86分)

、，尤+

17.(8分)解万程组：《y=1

4x+y=10

18.(8分)如图，248co中，对角线AC与30相交于点O,EF过点、0,交A。于点E,交BC于点、F.

求1正：OE=OFf

2m+1W"—1,/T,

19.（8分）化简求值:------,其中m=j3+l

mm

20.（8分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求：①如图，NA'=/A.请用尺规作出△A'8'C'.使得：△A'B'C'.saABC.（保留痕迹，不写作法）

②根据图形，画出一组对应边上的中线，根据图形写出已知，求证，并证明.

21.（8分）已知中，ZB=90°,AC=8,Afi=10.将是由A8绕点A逆时针旋转90。得到的,

再将△A8C沿射线CB平移得到△EFG,使射线FE经过点。，连接BD、BG.

(1)求NBDF的度数;

(2)求CG的长.

解：构辅助线如图所示：

(1)ZBDF=45°

(2)AD=AB=10,证△A8CSA4E。,

CG=AE=—xAD=—xlO=-

AC82

22.（10分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：

甲公司为“基本工资金+揽件提成”.其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元；

乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资.若当日揽件数不超过40,每件提成4元；若当日揽件

数超过40,超过部分每件多提成2元.

下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图:

（1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这

一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不

含40）的概率；

（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公

司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的

揽件数，解决以下问题：

①估计甲公司各揽件员的日平均挽件数；

②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，

如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明了理由.

23.(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a米旧墙MN.某人利用一边靠旧墙和另三边用总长10()

米的木栏围成一个矩形菜园A8CQ,其中ADWMN.

(1)若a=20,所围成的矩形菜园ABCO的面积为450平方米时，求所利用旧墙长;

(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.

24.(12分)如图1,四边形ABCQ内接于。。，AC为直径，OE-LAB交AB于点£,交。。于点尸.

(1)延长OC、FB相交于点、P,求证：PB=PC;

(2)如图2,过点3作BG_LA£＞于点G,交DE于H.若AB=g,DH=\,

ZOHD=SO°,求NEOB的度数.

解：(1)易证：DF〃BC,从而CD=BF和一=——=1APB=PC;

PBBF

(2)连接OD,设NEDB=x,则/EBD=90°-x,

易证：四边形BCDH为。，AC=2

.*.BC=DH=1,ZCAB=30°

二ZADB=ZACB=60°

OD=OA=E=OH

二ZODH=180°-2ZOHD=180°-2X80o=20°

/.ZOAD=ZODA=ZADB-（ZODH+x）=60°-（20°+x）=40°-x

又丁ZAOD=2ZABD=12（）°

180°-2（40。­）=120°,解之得：尤二20。

25.（14分）已知抛物线产加+云+（:过点A（0,2）.

（1）若图象过点（一直，0）,求“与人满足的关系式：

（2）抛物线上任意两点M（X|,＞'|）＞N（X2,丫2）都满足X|〈X2＜0时，（X]-工2）（必一以）＞0；0＜为〈及时，

（占一工2）（M-力）＜（）・以原点。为圆心，为半径作。。交抛物线于另两点8、C,且△ABC

中有一个内角为60。.

①求抛物线解析式；

②尸与点。关于点A对称，且。、M、N三点共线，求证：PA平分/用PN.

解：（1）由抛物线过A（（）,2）得：c=2

又图象过（一0）,0=67（—）~+b（-）+2

（2）依题知抛物线：产加+2,AB=AC,AD±BC.

①又4ABC中有一个内角为60。，.'.△ABC是正△.

连接OC,则OC=OA=2,

.*.C（V3,-1）

从而有产-/+2,

②设直线MN:y=kx,则丘=-/+2,

f+kx-2=0

X\+X2=-k,X\X2-2,X2=-kr-X\

VO>M、N三点共线，故不妨令M左，N右

作ME_Ly轴于E,NF_Ly轴于F,则P(0,4)

-xx-Xjx2XxX2

PE4-y,4一女％4-x2k\x2-4x2k+2x2

2竺工XjX21

PF4一为4-kx,4一左/2-kxlx22x2+k

AZ1=Z2

即：PA平分NMPN.

1（）.已知一元二次方程（a+1）/+2。+（a+1）=0有两个相等的实数根，则下面选项正确的是（）.

(A)1一定不是方程/+法+斫。的根(B)0一定不是方程f+Z?x+q=O的根

(C)1和-1都是方程f+加:+a=0的根(D)1和-1不都是方程3+法+4二。的根

第io题解析：由△=◎加2-4(〃+])2=o得：。=±(〃+1),且〃+iwo,所以：。于o

①当〃=-(〃+1)时，工二1是方程f+Z?x+a=0的根

②。+1=A0,。可以取0,故％=0是方程幺+法+赤。的根

③当b=〃+1时，x=-1是方程/+云+4=0的根

但。=-([+1)和b=a+l不能同时成立，即和工=-1为方程根不能同时成立，故选(D)

3

16.如图，直线产x+机与双曲线y=—交于点A、B两点、,作■BCMx

x

轴，AC〃y轴，交BC点、C,贝1|Sz\A8C的最小值是.

3

M■析：——=x+m,=0

x

由y=x+加知:AC=BC=XA-%B=VA=ym2+12

S/\ABC=-BC~——(7772+12>>6

22

福建省2017年中考数学试题

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.3的相反数是()

A.-3B.--C.-D.3

33

【答案】A

【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，因此3的相反数是-3；故选A.

2.如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是()

从正面看

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】从左边看可以看到两个小正方形摞在一起，故选B.

3.用科学计数法表示136000,其结果是（）

A.0.136xl06B.1.36xl05C.136x1（）3D.136X106

【答案】B

【解析】13600=1.36X105,故选B.

4.化简（2x）2的结果是（）

A.x4B.2x2C.4x2D.4x

【答案】C

【解析】（2x）2=4/；故选C.

5.下列关于图形对称性的命题，正确的是（）

A.圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形

B.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形

D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形

【答案】A

【解析】A,正确；B,正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；线段既是轴对称图形又是

中心对称图形，故错误；D,菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误；故选A.

点睛：本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键.

6.不等式组：x—~的解集是（）

x+3>0

A.-3<x<2B.-3<x<2C.x>2D.x<-3

【答案】A

【解析】由①得xW2,由②得x>-3,所以解集为：-3<xW2,故选A.

7.某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组

数据的中位数和众数分别是（）

正确答题数

A.10,15B.13,15C.13,20D.15,15

【答案】D

【解析】将这五个答题数排序为：10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.

8.如图，力B是e。的直径，C,。是e。上位于ZB异侧的两点.下列四个角中，一定与互

余的角是（）

A.ZADCB.NABDC.ABACD.NBAD

【答案】D

【解析】：AB是直径，AZADB=90°,：.ZBAD+ZB=90°,VZACD=ZB,AZBAD+ZACD=90°,故

选D.

9.若直线y=丘+4+1经过点（加，〃+3）和（加+1,2〃-1）,且0<2,则〃的值可以是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由已知可〃得+3=Aw二+A,+lO_②，-。”则有—水6,

因此只有选项C的数值是符合条件的数值，故选C.

10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别

得到线段H5'和点P,则点尸'所在的单位正方形区域是（）

A.1区B.2区C.3区D.4区

【答案】D

【解析】如图，根据题意可得旋转中心0,旋转角是90°,旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应

点落在了4区，故选D.

点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关

键.

第n卷（共90分）

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.计算卜2|-3。=.

【答案】1

【解析】原式=21=1.

12.如图，A48c中，。，七分别是的中点，连线。E，若DE=3,则线段BC的长等

于

/>,（■

【答案】6

【解析】VE>F分别是AB、AC的中点，...BC=2EF是.

13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球.现添加同种型号的1个球，使得

从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是,，那么添加的球是

3

【答案】红球（或红色的）

【解析】因为有白球2个，黄球2个，红球1个，添加1个球后，摸到每心颜鬻醐鬻翻3岁％,

添加的应该是红球."%'

14.已知48,c是数轴上的三个点，且C在3的右侧•点48表示的数分别是1,3,如图所示.若

BC=2AB,则点C表示的数是.

ABr

-ifli?i4

【答案】7

【解析】VAB=2,BC=2AB,ABCM,3+4=7,故点C表示的数是7.

15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示，则

ZAOB等于度.

【答案】108

【解析】:五边形是正五边形，，每一个内角都是108°,.•.NOCD=/ODC=180°-108°=72°,AZ

C0D=36°，：.ZA0B=360°-108°-108°-36°=108°.

AB

16.已知矩形Z8CQ的四个顶点均在反比例函数_y=L的图象上，且点A的横坐标是2,则矩形

x

ABCD的面积为

【答案】7.5

【解析】因为双曲线既关于原点对称，又关于直线尸土x对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，

所以可知点C与点A关于原点对称，点A与点B关于直线尸x对称，由已知可得A（2,0.5）,/.C（-2,-0.5）、

B（0.5,2）,从而可得D（-0.5,-2）,继而可得S6皿产7.5.

点睛：本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x对称，矩形既是

轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对

称性解决问题是关键.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.先化简，再求值：（1--）-—^-,其中。=五一1.

aa~-1

iB

【答案】,注.

a+12

【解析】

试题分析：先通分计算括号内的，然后再利用分式的乘除法进行计算，最后代入求值即可.

试题解析：原式=生1n_

a+a+1

当a=6T时，原式=旦

A/2-1+1

18.如图，点8,瓦C,b在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证：N4=ND.

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：利用SSS证明△ABC与4DEF全等即可得.

试题解析：・厚=＜三，，BE-EC=CF-EC,即BC=EF,在△ABC和&）珏中'

(sss),/.ZA=ZD.

19.如图，A4BC中NBAC=90°,ADLBC垂足为。.求作8c的平分线，分别交/。，/。

于尸，0两点；并证明/P=/0.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析；证明见解析.

【解析】

试题分析：按作图方法作出角平分线BQ,然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到/APQ=/

AQP,从而证得AP=AQ.

试题解析：作图如下，BQ就是所求作的/ABC的平分线，P、Q就是所求作的点.

证明如下：•••AD_LBC,，/ADB=90°,：.ZBPD+ZPBD=90°,VZBAC=90°,/.ZAQP+ZABQ=90°,

VZABQ=ZPBD,，NBPD=NAQP,VZBPD=ZAPQ,ZAPQ=ZAQP,/.AP=AQ.

20.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下

有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，

94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.

【答案】鸡有23只，兔有12只.

【解析】

试题分析：设鸡有x只，兔有y只，由等量关系：鸡兔共有35只，共有足94足，列出方程组，解方程组

即可得.

试题解析：设鸡有x只，兔有y只，由题意

得：『:'I'1'解得F=,答：鸡有23只，兔有12只.

I2x+4y=94ly=12

21.如图，四边形内接于e。，力B是e。的直径，点P在C/的延长线上，ZCAD=45°

(I)若28=4,求弧C。的长；

(II)若弧8C=弧NO,4D=4P,求证:是eO的切线.

【答案】(I)£5的长=口；(II)证明见解析.

【解析】

试题分析：(I)连接0C,0D,由圆周角定理可得NC0D=90°,然后利用弧长公式即可得;

(II)由BC=AD,可得/BOC=NAOD,从而可得/A0D=45°,再由三角形内角和从而可得/

0DA=67.5°,由AD=AP可得/ADP=NAPD,由NCAD=NADP+NAPD,ZCAD=45°可得NADP=22.5°,继

而可得N0DP=90°,从而得PD是。0的切线.

试题解析：(I)连接OC,OD,VZC0D=2ZCAD,ZCAD=45°,AZC0D=90°,VAB=4,.,.0C=-AB=2,

2

90x%x2

CD的长=

180

s1gQO-

(II)BC=An,.\ZBOC=ZAOD,,.,ZCOD=90°，六NAOD=---------

180°-乙4QD

.\ZODA=ZOAD,,/ZAOD-ZODA-ZOAD=180°,/.ZODA=.:一­.、：：'

ZADP=ZAPD//ZCAD=ZADP-Z.APD,ZCAD=45°,.,.ZADP=-ZCAD=22.5

NADP=90°,又；OD是半径，「.PD是。。的切线.

22.小明在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°®O.I22+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°«0.372+0.932=1.0018,

sin229°+sin2610®0.482+0.872=0.9873,

sin237°+sin253°«0.602+0.802=1.0000,

Q6

sin245°+sin245°®(—)2+(—)2=1.

22

据此，小明猜想：对于任意锐角a，均有sin2a+sin2(90°—a)=l.

(I)当a=30°时，验证sir?a+sir?(90°—a)=1是否成立；

(ID小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.

【答案】(I)成立，证明见解析；(II)成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：(I)成立，当a=30°时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；

(II)成立，如图，aABC中，ZC=90°,设NA=a,则NB=90°-a,正确地表示这两个角的正弦

并利用勾股定理即可得证.

试题解析：(1)当。=30。时，sin2a+sin2(90°-a)=sin230o+sin2600+惇=；+;

=1.所以sin2a+sin2(90°-a)=l成立；

(II)小明的猜想成立.证明如下：

如图，^ABC中，ZC=90°,设/A=a,则/B=90°-a,

23.自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A

品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5

元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费.具体收费标

准如下：

使用次012345(含5次以上)

数

累计车00.50.9ab1.5

费

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数

据：

使用次数012345

人数51510302515

(I)写出a,6的值;

(II)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计：收费调整

后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由.

【答案】(I)a=L2,b=1.4；(II)不能获利，理由见解析；

【解析】

试题分析：(I)根据调整后的收费款：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加

一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费通过计算即可得a=L2,b=1.4；

(II)先计算出抽取的10。名师生每生每天使用A品牌共享单车的平均车费.再估算出全校师生一天使用

A品牌共享单车的总费用，再与3SQ0元进行比较即可得；

试题解析：(I)0.9-0.5-0.4,所以a=0.9-(0.4-0.1)=1.2,b-1.2-(1.2-0.9-0.1)=1.4；

故a=1.2,b=1.4j

(II)根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费

为：——X(0X5+0.5X15+0.9X10+1.2X30+1.4X25+1.1X15)=1.1(元)，

100

所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为：5000X1.1=5500(元)，

因为550(X5800,故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利.

24.如图，矩形中，AB=6,AD=S,尸,石分别是线段AC、BC上的点，且四边形PE尸。为矩

形.

(I)若APCD是等腰三角形时，求力P的长；

(II)若AP=M,求C9的长.

143^2

【答案】(I)AP的长为4或5或二；(II)CF=^L£

54

【解析】

试题分析：(I)分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得;

「r-»「八2

(II)连结PF、DE,记PF与DE的交点为0,连结0C,通过证明△ADPs/\CDF,从而得上1=3,

APAD4

由AP=Ji,从而可得CF=£I.

4

试题解析：(I)在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,/ADC=90°,；.DC=AB=6,AC44D?+DC?=10；

要使APCD是等腰三角形，有如下三种情况：

(1)当CP=CD时，CP=6,.,.AP=AC-CP=4；

(2)当PD=PC时，NPDC=NPCD,VZPCD+ZPAD=ZPDC+ZPDA=90°,NPAD=NPDA,，PD=PA,/.

AC

PA=PC,,,.AP=——，即AP=5；

2

(3)当DP=DC时，过D作DQLAC于Q,则PQ=CQ,VSAADC=-AD♦DC=-AC・DQ,；.DQ=仞。。=竺,

22AC5

：.CQ=y/DC2-DQ2=y,.*.PC=2CQ=y-,AP=AC-PC-y.

综上所述，若4PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或一；

5

(11)连结PF、DE,记PF与DE的交点为0,连结0C,

.四边形ABCD和PEFD都是矩形，:.NADC=NPDP=90°,即NADP+NPDC=NPDC+NCDF,...NADP=NCDF,

•.•ZBCD=90°,OE=OD,/.0C=-ED,在矩形PEFD中，PF=DE,.,.OC=ipF,：OP=OF^1PF,.,.OC=OP=OF,

.,.ZOCF=ZOFC,ZOCP=ZOPC,y.'：Z0PC+Z0FC+ZPCF=180°,.,.2Z0CP+2Z0CF=180o,/.ZPCF=90*,

即/PCD+/FCD=90°,在RtAADC中，ZPCD+ZPAD=9O0,/PAD=/FCD,/.AADP^ACDF,/.

点睛：本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确

地分情况进行讨论是判定aPCD要等腰三角形的关键.

25.已知直线y=2x+/w与抛物线^=办2+or+b有一个公共点"(1,0),Ha<b.

(I)求抛物线顶点0的坐标(用含a的代数式表示)；

(II)说明直线与抛物线有两个交点；

(III)直线与抛物线的另一个交点记为N.

(i)若一求线段MN长度的取值范围;

2

(ii)求AQAW面积的最小值.

【答案】(I)抛物线顶点Q的坐标为(-！，-")；(II)理由见解析;

24

(III)(i)56WMNW7JS.(ii)Z\QMN面积的最小值为卫+?也.

42

【解析】

试题分析：(【)由抛物线过点M(l,0),可得b=-2a,将解析式y=ax?+ax+b=ax?+ax-2a配方得y=a(x+

-)2--，从而可得抛物线顶点Q的坐标为(-

2424

(II)由直线y=2x+m经过点M(1,0),可得m=-2.

由y=2x-2、y=ax2+ax-2a,可得ax1(a-2)x-2a+2=0,(*),由根的判别式可得方程(*)有两个不相

等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.

.24

(III)由y=2x-2、y=ax*+ax-2a,可得点N(——~6),

aa

3)根据勾股定理得，MN:=20(1-j)；,再由-lWaW-L,可得-2嗅3从而可得

a22aa2

L2/

继而可得皿=3#-土,从而可得MN的取值范围.

a

(ii)作直线交直线y=2x-2于点E,得E(-1,-3),

22

从而可得的面积S=SaQE、+SziQEM=-----------,即27a+(8S-54)a+24=0,(*)

4a8

因为关于a的方程(*)有实数根，从而可和S》红+"巨，继而得到面积的最小值.

42

试题解析：(I)因为抛物线过点M(L0)，所以a+a+b=0,即b=-2a,所以y=ax"+ax+b=ax'+ax-2a=a(x+

-)2--，所以抛物线顶点Q的坐标为.

2424

(II)因为直线y=2x+m经过点M(1,0