演示文稿三重积分的概念与计算

演示文稿三重积分的概念与计算目前一页\总数四十七页\编于十一点（优选）三重积分的概念与计算目前二页\总数四十七页\编于十一点第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念与计算

第九章目前三页\总数四十七页\编于十一点一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:

设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为目前四页\总数四十七页\编于十一点定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作目前五页\总数四十七页\编于十一点三重积分的性质1.线性性质、单调性、积分估值公式2.区域可加性4.微元法5.对称奇偶性*6.中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,目前六页\总数四十七页\编于十一点二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次积分法目前七页\总数四十七页\编于十一点方法1.

投影法

(“先一后二”)记作目前八页\总数四十七页\编于十一点投影法

三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:适用范围:由平面围成的情况目前九页\总数四十七页\编于十一点目前十页\总数四十七页\编于十一点其中为三个坐标例.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面目前十一页\总数四十七页\编于十一点.计算,其中由锥面及平面围成.解：例2.目前十二页\总数四十七页\编于十一点化为三次积分，由曲面及平面围成.解：如图所以曲面与xOy坐标面交于x轴和y轴.例1.目前十三页\总数四十七页\编于十一点方法2.截面法

(“先二后一”)目前十四页\总数四十七页\编于十一点特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。目前十五页\总数四十七页\编于十一点其中为三个坐标例3.

计算三重积分所围成的闭区域.面及平面为面上轴，解:如图，：轴和围成的等腰直角三角形.所以

注：此题可用投影法求解．目前十六页\总数四十七页\编于十一点计算三重积分其中是上半椭球体解：则而原式例4.目前十七页\总数四十七页\编于十一点例.

计算三重积分解:

用“先二后一”目前十八页\总数四十七页\编于十一点补充：三重积分对称性：目前十九页\总数四十七页\编于十一点补充：三重积分对称性：2、奇偶对称性：目前二十页\总数四十七页\编于十一点解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,球面关于xoy面对称目前二十一页\总数四十七页\编于十一点解目前二十二页\总数四十七页\编于十一点目前二十三页\总数四十七页\编于十一点目前二十四页\总数四十七页\编于十一点1.

将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,目前二十五页\总数四十七页\编于十一点3.设计算提示:利用对称性原式=奇函数目前二十六页\总数四十七页\编于十一点tobecontinue目前二十七页\总数四十七页\编于十一点作业115页3,4,6,12,13目前二十八页\总数四十七页\编于十一点换元法三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:体积元素一一对应雅可比行列式目前二十九页\总数四十七页\编于十一点利用柱坐标计算三重积分就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:目前三十页\总数四十七页\编于十一点圆柱面目前三十一页\总数四十七页\编于十一点平面半平面目前三十二页\总数四十七页\编于十一点目前三十三页\总数四十七页\编于十一点圆柱面半平面平面目前三十四页\总数四十七页\编于十一点在柱面坐标下目前三十五页\总数四十七页\编于十一点若从小到大边界到边界则有在投影区域上做极坐标变换目前三十六页\总数四十七页\编于十一点例.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=目前三十七页\总数四十七页\编于十一点4.计算其中解:利用对称性目前三十八页\总数四十七页\编于十一点利用球坐标计算三重积分

就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系目前三十九页\总数四十七页\编于十一点球面半平面锥面目前四十页\总数四十七页\编于十一点在球面坐标系中从小到大，从边界到边界。体积元素为化为三次积分，目前四十一页\总数四十七页\编于十一点求的体积，解：球面方程为在球坐标系下方程为所以例6.目前四十二页\总数四十七页\编于十一点内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;目前四十三页\总数四十七页\编于十一点xzOy图2-3222计算，其中为双曲面，锥面及柱面围成．思考与练习目前四十四页\总数四十七页\编于十一点3.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用