单自由度线性阻尼系统自由振动

邝贤锋

线性阻尼系统的自由振动①线性阻尼系统自由振动的微分方程

包装系统内的阻尼c不能忽略，则得到有阻尼自由振动微分方程：其中

称为粘性阻尼因子（或阻尼比）

C为阻尼系数，其单位为N·s/m

（2-1）PS:阻尼是什么？进行机械振动的教学一般都是从讨论弹簧振子入手，引出最简单的振动特例——简谐振动，实际上，振子除了受到系统本身的弹力外，还会同时受到摩擦和空气的阻力的影响，这样振子的机械能逐渐减小，振幅也逐渐减小，我们把振幅随时间逐渐减小的运动叫阻尼振动。那么阻尼和阻力是一回事吗？其实，系统的能量的减小——阻尼振动不都是因“阻力”引起的，就机械振动而言，一种是因摩擦阻力生热，使系统的机械能减小，转化为内能，这种阻尼叫摩擦阻尼；另一种是系统引起周围质点的震动，使系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量，这种阻尼叫辐射阻尼。可见阻尼和阻力有区别，前者的外延要比后者大。阻尼是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

将（2-2）代入方程（2-1），得到代数方程：特征方程的根：

(2-3)

该系统的特征方程二阶常系数线性齐次微分方程设它的解为：x=Aest

（2-2）？0、正数or负数时，其结果与无阻尼系统的解一致。

当根号里为0时，ζ=１这种情况下得到重根：s1=s2=-ζωn

因为产生重根的情况具有特殊意义，把相应的阻尼系数的值称为临界阻尼系数。Cc=2mωn

ζ＞１，称为大阻尼；

ζ=１，称为临界阻尼；

ζ＜１，称为小阻尼。

②大阻尼系统自由振动的运动规律特征方程有两个不等的实根。

A和B取决于初始条件。在ζ＞1的条件下，物块受初干扰离开平衡位置后又缓慢回到平衡位置，不可能振动。位移方程（运动规律）为：

ζ=1时,特征方程有两个重根：原方程的解为：

表示一个按指数规律衰减的响应，A1和A2取决于初始条件。临界阻尼系统的位移方程（临界阻尼系统的运动规律）③临界阻尼系统自由振动的运动规律

④小阻尼系统自由振动的运动规律

时,s1和s2是共轭复根。则小阻尼情况下系统的响应：ωd为有阻尼自由振动的频率则响应简化为：令

利用数学关系式并令A1+A2=Asinφ,i(A1-A2)=Acosφ则响应简化为：

小阻尼单自由度系统自由振动的解（位移方程/运动规律）

？确定积分常数A，α

∵2、物块的振动随着时间的增加而逐渐衰减，不再是等幅振动，而是衰减振动∴振动特点：A.小阻尼系统的运动规律分析初始条件：

t=0时，1、物块的位移限制在两条曲线：之间的图/运动规律3、振幅Aｅ-ζωnt按指数规律衰减

衰减振动虽然不是真正的周期性运动，但它仍具有等时性，因此物块来回往复一次所经历的时间仍然称为周期，用T1表示，即上式表明，由于阻尼的作用，衰减振动的周期增大了。在小阻尼情况下，T1

略大于无阻尼自由振动周期T，但是，在ζ不是很大的情况下，周期的增加不太明显，可以忽略不计。例如ζ=0.05时，周期仅增加0.125%；即使ζ=0.25，周期也只增加了3.28%。B.小阻尼系统的周期分析

阻尼对自由运动的影响主要表现在振幅。设相邻两次振动的振幅分别为Ai和Ai+1，则前后两次的振幅比为

式中，d——减幅系数。由上式可得

因为，所以小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律迅速衰减。振幅对数衰减率δ——用振幅比的自然对数表示，即

对数衰减率的主要用途是用实验的方法确定系统的阻尼。由上式得到：黏性阻尼因子