傅里叶级数课程及习题讲解

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第15章傅里叶级数

§15.1傅里叶级数

■基本内容

一、傅里叶级数

f(x)

在塞级数讨论中a

nInxn,可视为f(x)经函数系

1,x,x,,x,2n

2n线性表出而得.不妨称｛l,x,x,,x,｝为基，则不同的基就有不同的级数.今用三

角函数

系作为基，就得到傅里叶级数.

1三角函数系

函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,称为三角函数

系.其有下面两个重要性质.

(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；

(2)正交性任意两个不同函数的积在[,]上的积分等于

零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零.

对于一个在[,]可积的函数系un(x):x[a,b],n1,2,,定义两个函

数的内积为un(x),um(x)baun(x)um(x)dx,10mnun(x),um(x)0

mn,则称函数系un(x):x[a,b],n1,2,为正交系.如果

由于sinnx

1sinnxdx

1cosnxdx0；sinmx,sinnxmnsinmxsinnxdx

0mn；

mncosmxcosnxdx0mn；cosmx,cosnx

sinmx,cosnx

1sinmxcosnxdx0；

Idx22,

所以三角函数系在，上具有正交性，故称为正交系.

利用三角函数系构成的级数

a0

2a

nIncosnxbnsinnx

称为三角级数，其中a0,al,bl,,an,bn,为常数

2以2为周期的傅里叶级数

定义1设函数f(x)在,上可积，bklak1f(x),coskx11

f(x)coskxdx2,；k0,1,f(x),sinkx

f(x)sinkxdx,,k1,2

称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数

a0

2a

n1

ncosnxbnsinnx称为f(x)的傅里叶级数，记作a0

f(x)〜2a

nIncosnxbnsinnx

这里之所以不用等号，是因为函数f(X)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其

是否收敛于f(x).

二、傅里叶级数收敛定理

定理1若以2为周期的函数£6)在［,］上按段光滑，则

aO

2a

nIncosnxbnsinnxf(x0)f(x0)2,

其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.

定义2如果f(x)C［a,b］,则称f(x)在果b］上光滑.若

x［a,b),f(x0),f(x0)存在；

x(a,b］,f(x0),f(x0)存在，

且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在［a,b］上按段光滑.

几何解释如图.

按段光滑函数图象是由有限条

光滑曲线段组成，它至多有有限个

第一类间断点与角点.

］上按推论如果f(x)是以2

f(x)aO

2

有a

nInconxsbnsnxin.

定义3设六分在(，]上有定义，函数

f(x)x(，「(x)ff(x2k)

x(2k,2k],k1,2,

称f(x)为的周期延拓.

二习题解答

1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数

(1)f(x)x,(i)x,(ii)0x2；

解：(i)、f(x)=x,x(,)作周期延拓的图象如下.其按段光滑，故可展开为傅

里叶级数.由系数公式得

a01f(x)dx

11

xdx0.In当nI时，an

Ixcosnxdx

xd(sinnx),nxsinnx|

1

n

1

n

n1InsinnxdxObn1xsinnxdxxd(cosnx)

n1Inxcosnx|cosnxdx(l)2n,

所以

f(x)2(l)nIsinnxn,x(,)为所求.(ii)>f(x)=x,x(0,2)作周

期延拓的图象如下.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得

a0120f(x)dx1

2

Oxdx2.

2

0当n1时，an

112Oxcosnxdx2

Oln2xd(sinnx),n

lxsinnx|2

0InlOsinnxdx02Obn

xsinnxdx2

On1Oxd(cosnx)cosnxdx2n,Inxcosnx|

n2

所以f(x)2nIsinnxn,x(0,2)为所求.

2(2)f(x)=x,(i)-3i<x<n,(ii)0<x<2n；

2解：(i)、f(x)=x,x(,)作周期延拓的图象如下.

由系数公式得

f(x)dx1

xdx2232.

当n1时，

an

11xcosnxdx221nxd(sinnx)2n2n2

n

122xsinnx|In2xsinnxdxxd(cosnx)

xcosnxl22n2cosnxdx(l)n4n,2bn

xsinnxdx2In2xd(cosnx)2In2n2

n22xcosnx|nxcosnxdxxd(sinnx)xsinnx|2n

2sinnxdx0,

n2f(x)32所以4(1)

nInsinnx,x(,)为所求.

2解：(ii)f(x)=xx(0,2)

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.

由系数公式得a012

0f(x)dx12

Oxdx2832.

当n1时，

an12

Oxcosnxdx21n20xd(sinnx)2

In2n2n1

22

xsinnx|

2

20

In

20

2xsinnxdx

20

xd(cosnx)

20

xcosnx|

2

2

2n

2

20

cosnxdx

4n,

2

bn

xsinnxdx

2020

In2

20

xd(cosnx)

2

xcosnxdx

Inn

xcosnx|

2

n

2

44n

2n2n43

222

xd(sinnx)

20

xsinnx|

2n

2

20

sinnxdx

4n,

f(x)

所以

cosnxsinnx422

nn,x(0,2)为所求.n1

x00x

(ab,a0,b0)

ax

f(x)

bx(3)

解：函数f(x),x()作周期延拓的图象如下.

aO

1

f(x)dx

1

0

axdx

1

0

bxdx

(ba)

2

当n1时，

an

1

0

axcosnxdx

n

2

1

0

bxcosnxdx

[1(1)]

abn

2

bn

1

0

axsinnxdx

abn

(ba)

1

0

bxsinnxdx

(1)

n1

f(x)

所以

4

2(ba)

(2n1)

n1

n1

1

2

cos(2nl)x

,x(,)为所求.

(ab)(1)

n1

sinnxn

2设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c,有anbn

1

1

c2cc2c

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx

1

f(x)cosnxdx,n0,1,2,f(x)sinnxdx,n1,2,

1

证：因为f(x),sinnx,cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令tx2有

c

f(x)cosnxdx

1

1

c2c+2

f(t2)cosn(t2)d(t2)f(t)cosntdt

1

c+2

f(x)cosnxdx

从而

an

an1

1

c2c

f(x)cosnxdx

1

c

c2c

f(x)cosnxdx

1

f(x)cosnxdx

1

f(x)cosnxdx

c+2

f(x)cosnxdx

f(x)cosnxdx

1

c2c

同理可得

bn

f(x)sinnxdx

1

f(x)sinnxdx

4

f(x)

43把函数

x00x

展开成傅里叶级数，并由它推出⑴

4

1

13

15

17

15

1715

(2)3(3)

1

11117

113

1

117

117

6

1

111

13

解：函数f(x),x(,)作周期延拓的图象如下.

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得

aO

1

f(x)dx

1

0

4

dx

1

0

4

dx0

当n1时,

an

bn11044cosnxdx1104cosnxdx0.sinnxdxO

sinnxdx

04

1n1[1(1)]n2n01

n2kIn2k,为所求.f(x)

故

⑴取n112nlsin(2nl)x,x(,0)(0,)x

1

3152,则411

7131517⑵由41得

12

131

1319115121,

于是3

(3)取

所以6

41211517111117；x

正

153,则417111111257111317

1111131171.

4设函数f(x)满足条件f(x)f(x),问此函数在，内的傅里叶级数具

有什么特性.

解：因为f(x)满足条件f(x)f(x),

所以f(x2)f(x)f(x),即f(x)是以2为周期的函数.

于是由系数公式得

aO

11f(x)dx10f(x)dx01Of(x)dx

0If(t)dt1f(x)dx10If(t2)dtf(t)dt1Of(x)dx

.0

Of(x)dx0

当n1时,

an

110f(x)cosnxdx1Of(x)cosnxdx1

0f(t)cos(nxn)dx

Of(x)cosnxdx

1(1)

n1

0

f(x)cosnxdx

n2kIn2kl

2

Of(x)cosnxdx0bn

1

0

f(x)sinnxdx

0

f(x)sinnxdx

2

Of(x)sinnxdx0

n2kIn2k

故当f(x)f(x)时，函数f(x)在，内的傅里叶级数的特性是a2k0,

b2k0.

5设函数f(x)满足条件：f(x)f(x),问此函数在，内的傅里叶级数具

有什么特性.

解：因为f(x)满足条件f(x)f(x),

所以f(x2)f(x)f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得

a0

1

1

f(x)dx

1

0

f(x)dx

0

1

0

f(x)dx

0

1

f(t)dt

1

f(x)dx

1

0

1

f(t2)dtf(t)dt

1

0

f(x)dx

2

0

0

f(x)dx

0

f(x)dx

当n1时,

an

1

1

0

f(x)cosnxdx

1

0

f(x)cosnxdx

1

0

f(t)cos(nxn)dx

0

f(x)cosnxdx

1(1)

0

f(x)cosnxdx

n2kn2k1.1

2

f(x)cosnxdx00bn

1

0

f(x)sinnxdx

0

f(x)sinnxdx

2

f(x)sinnxdx00n2kn2k1,

故当f(x)f(x)时，函数f(x)在，内的傅里叶级数的特性是

a2k10,b2k10.

6试证函数系cosnx,n0,1,2,和sinnx,n1,2,都是［0,］上的正交函数系,

但他们合起来的却不是［0,］上的正交函数系.

证：就函数系｛1,cosx,cos2x,,cosnx,｝,

因为n,

0

Odx2,12cosnx,cosnxcosnxdx

0(cos2nx1)dx2,又cosnx

Ocosnxdx0；

m,n,mn时，

cosmx,cosnx

1

20cosmxcosnxdxl2.

Ocos(mn)xdxOcos(mn)xdx0

所以｛1,cosx,cos2x,,cosnx,｝在［0,］上是正交系.

就函数系｛sinx,sin2x,,sinnx,),

因为n,

sinnx,sinnx

0sinnxdx212

0(1cos2nx)dx2,

又m,n,mn时，

sinmx,sinnx

1

20sinmxsinnxdxl2.

Ocos(mn)xdxOcos(mn)xdx0

所以｛sinx,sin2x,,sinnx,｝在［0,］上是正交系.

但｛1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx,｝不是［0,］上的正交系.实因:

sinx0sinxdx10.

7求下列函数的傅里叶级数展开式

(1)

解：

f(x)x2,0x2；f(x)x,0x2

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得

a0

1

20

f(x)dx

1

20

x2

dx0

20

当n1时,

an

1

20

x2

cosnxdx

20

In

20

x2

d(sinnx)

x2n1

sinnx|

12n

sinnxdx0

20

bn

20

x2

sinnxdx

20

In

2

x2

d(cosnx)

In,

x2n

cosnx|

12n

cosnxdx

f(x)

所以

n1

sinnxn

,x(0,2)为所求.

(2)

yj\-COSX.

f(x)X；

>/l-cosX.

解：f(x)X作周期延拓的图象如下.

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.

2

石

f(x)

因为

所以由系数公式得

aO

x2

x

2

x00x

叵

472

f(x)dx

0

sin

x2

dx

sin

x2

dx

当n1时,

an

0

sin

x2x2x2

cosnxdx

242

sin

x2

cosnxdx

sincosnxdx(4n1)

亚

正

bn

0

sinsinnxdx

1

2

sin

x2

sinnxdx0

277

4

X().

f()

f(x)

所以

4n

n1

1

cosnx

f(0)f(0)

而x

8

时，2

2y/1

4石

f(x)

故

2

4n

n1

1

2

1

cosnx

,x[,]为所求.

⑶f(x)axbxc,(i)0x2,(ii)x；解：(i)由系数公式得

aO

1

1

2020

f(x)dx

(axbxc)dx

2

8a3

2

2b2c

当n1时，

an

1

1

20

(axbxc)cosnxdx

2

2

20

n4a

2

(axbxc)sinnx

In

20

(2axb)sinnxdx

n,1

bn

20

(axbxc)sinnxdx

2

(axbxc)cosnx：

2

20

Inn

In

20

(2axb)cosnxdx

4a

2n,

4a3

2

故

f(x)axbxc

2

bc

4an

2

n1

cosnx

4a2b

n

sinnx,x(0,2)

为所求.

(ii)由系数公式得aO

1

f(x)dx

1

(axbxc)dx

2

2a3

2

2c

当n1时，

an

1

1

(axbxc)cosnxdx

2

2

n

(axbxc)sinnx

n

In

(2axb)sinnxdx

(1)1

4an,

(axbxc)sinnxdx

22

bn

(axbxc)cosnx

2

In

In

(2axb)cosnxdx

(1)

n12bn,

故

f(x)axbxc

2

2a3

2

c

n

(1)

4a2

cosnx(1)

n

2bsinnx,x(,)

n1

n

n

(4)f(x)chx,x；解：由系数公式得

al

0

f(x)dx

1

chxdx

2

sh

当n1时,

al

chxcosnxdx

1

chxsinnxl

n

In

shxsinnxdx

ln2

shxd(cosnx)

ln2

shxcosnxl

ln2

chxcosnxdx

(1)

n

2shn2

In

2

an

an2sh所以

n(1)(n2

1)

bl

chxsinnxdx1

n

chxd(cosnx)

Inchxcosnx

1

n

shxcosnxdx

1

n2

shxd(sinnx)

1

n2

shxsinnx

1n2

chxsinnxdx

ln2

shxsinnx|

1

n2

chxsinnxdx

In

2

bn

f

所以bn0,

f(x)chx2

1

n

1

sh

n2Icosnx

故

2(1)

n1

(5)f(x)shx,x

解：由系数公式得

aO

1

f(x)dx

1

shxdx0

al

shxcosnxdx0

当nIn

时，

为所求.

X(,)为所求.bn

1

shxsinnxdxshxcosnx

1

In

shxd(cosnx)

chxcosnxdx

In

(1)(1)

n1

2n2n2n

n1

shshsh

InInIn

22

chxd(sinnx)

In

2

n1

chxsinnx|bn

shxsinnxdx

(1)

n1

所以故

bn(1)

2nshx(n1),

2

f(x)shx

(1)

n1

n1

2nsh(n1)

2

sinnx

X(,)为所求.

8求函数解：由

f(x)

2

112

(3x6x2)

4a3

2

22

的傅里叶级数展开式并应用它推出n1

n

1

2

2

6.

f(x)axbxcbc

n1

4an

2

cosnxIn

2

4a2b

n

sinnx,x(0,2)

得

f(x)

112

(3x6x2)In

2

22

2

3

2

2

2

6

n1

cosnx

n1

cosnx

,x(0,2).

2

而

f(00)f(20)

6,

故由收敛定理得

6

2

f(00)f(20)

2

n1

In

2

cosO

n1

In.

2

9设f(x)为,上光滑函数，f()).且an,bn为f(x)的傅里叶系

数，

an,bn

为

f(x)

的导函数

f(x)

的傅里叶系数.证明

aO0,annbn,bnnan(n1,2,).

证：因为f(x)为，上光滑函数，所以(x)为，上的连续函数,

故可积.由系数公式得

aO

1

f(x)dx

1

f()f()0.

当n1时,

an

f(x)cosnxdx

f(x)cosnx

1

n

f(x)sinnxdxnbn

bn

1

f(x)sinnxdx

1

f(x)sinnx

n

f(x)cosnxdxnan

故结论成立.

aO

10证明：若三角级数2

supnan,nbn

n

(a

n1

n

conxsbn

snxin

中的系数an,bn满足关系

33

M

aO

,M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.

证：设

uO(x)

2,un(x)ancosnxbnsinnx,n1,2,.

则n0,un(x)在R上连续，且

(x)nansinnxnbncosnx亦在R上连续.uO(x)0,un

(x)nansinnxnbncosnx

又xR,un

nannbn

2Mn

2

而

2Mn

2

收敛，

所以故设

(x)un

nb

n

cosnxnansinnx

在R上•致收敛.

s(x)

a02

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

,则

s(x)

(na

n1

n

cosnxnbnsinnx)

u(x)

n

n1

s(x)

且

(na

n1

n

cosnxnbnsinnx)

在R上连续.

§15.2以21为周期的函数的展开

一基本内容

一、以21为周期的函数的傅里叶级数设f(x)是以21为周期的函数，作替换

x

It

，则

ItF(t)f

是以2为周期的函数，且£&)在(1,1)上可积F(t)«(,)上可积.

F(t)aO

2

于是其中

令tan1anIncontsbnsntin,F(t)sinntdtF(t)cosntdbtn,1

.x

1得

ItnxnxF(t)ff(x)sinntsin,cosntcos11,,

f(x)aOnxnxancosbnsin211.n1

1从而

其中an

bn11111If(x)cosf(x)sinnxlnx

Idx,dx1.

aO

2nxnxacosbsinnn11.n1上式就是以21为周期的函数f(x)

的傅里叶系数.在按段光滑的条件下，亦有f(x0)f(x0)2

其只含余弦项，故称为余弦级数.

同理，设f(x)是以21为周期的奇函数，则

f(x)cosnx奇，f(x)sinnx偶.

1

1

1

11111于是anbnf(x)cosf(x)sin

nxlnxl

IdxOdx21,1Of(x)sinnxldx.f(x)

2

从而nlansinnx其只含正弦项，故称为由此可知，函数

f(x),x(0,1)

要展开为余弦级数必须作偶延拓.

f(x)x(0,1)f(x)f(x)x(1,0)偶延拓函数f(x),x(0,1)要展

开为正弦级数必须作奇延拓.

奇延拓

f(x)x(0,1)f(x)f(x)x(1,0).-习题解答

1求下列周期函数的傅里叶级数展开式

⑴f(x)COSX(周期);

解：函数

八M="sx|,延拓后的函数如

级数.

因12222由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)

O•7

是偶函数，故其展开式为余弦

2,所以由系数公式得

2

aO2

2cosxdx420cosxdx4.

当n1时，

an

2222cosxcos2nxdx420cosxcos2nxdx

2

0[cos(2nl)xcos(2nl)x]dx

2

0l(2n1)

(1)2

(2n1)

2nsin(2nl)x|(l)n1201(2n1)nlsin(2nl)x|

2(2n1)(1)4(4n1).2

bn2

2cosxsinnxdx0.

2f(x)cosx

故4

(1)

nIn114n12cos2nx,

x(,)为所求.

(2)f(x)x[x](周期1)；

11x22延拓后的函数如下图.解：函数f(x)x[x],

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数.因11

2,所以由系数公式得

1

2

12a02x[x]dx20x[x]dx2Oxdx111.当n1时，1

an2212x[x]cos2nxdx20x[x]cos2nxdx

1

n12xcos2nxdx011

010xd(sin2nx).1

n

lxsin2nxjOlinsin2nxdxOlbn2212x[x]sin2nxdx2xsin

2nxdxO

In1

n10xd(cos2nx)1xcos2nxIOln

10cos2nxdx

sin2nxIn.f(x)x[x]1

21

故

nlln,x(,)为所求.

4(3)f(x)sinx(周期)；

x42,2f(x)sinx延拓后的函数如下图.解：函数，

级数.因12222由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，

故其展开式为余弦

2,所以由系数公式得

2

aO

422sinxdx4420sinxdx44201cos2xdx22

2

01313cos2xcos4xdx8824.

当n1时，

an42

0131cos2xcos4xcos2nxdx8821

20

18

bn2nIn1,n2n2.cosxsinnxdx02

2.4

故f(x)sinx3

81

2cos2x1

8cos4x,x(,)为所求.

(4)f(x)sgn(cosx)(周期2).

解：函数f(x)sgn(cosx),x(,)延拓后的函数如下图.

2由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

级数.

因1，所以由系数公式得

aO1sgn(cosx)dx

an22Osgn(cosx)dx0.当n1时，

2Osgn(cosx)cosnxdx

sinn

22

Ocosnxdx2

2cosnxdx4n

044n(l)ksin(2k1)n2n2kn2k1.

2nIbn2sgn(cosx)sinnxdx04f(x)sgn(cosx)

故

n1(l)ncos(2nl)x,X).

x0x1

f(x)11x2

3x2x32求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性.

解：函数f(x),X(0,3)延拓后的函数如下图.

3万

2

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

级数.

因13

2,所以由系数公式得

2

323232343.a0

30f(x)dxlOxdx21dx32(3x)dx当n1时,

an2310xcos2nx3dx2

32

icos

22nx33

2dx2nx3dx3(3x)cos

In

10

2nx12nx

xdsinsin

3n3

2

1

2nx

(3x)dsinn23

112n12nxl4n

sinsindxsinn3n03n3

1

3

In

1

sin

2n3

In

(3x)sin

2nx3

3

2

In

32

sin

2nx3

dx

In

sin

4n3

32n

2

2

cos

2nx3

Insin

4n3

32n

2

2

cos

2nx3

3

2

bn

32n

3n2

2

22

2

cos

2n33

32n3

2

22

2

32n

2

2

cos2n

32n

2

2

cos

4n3

cos

2n

n.

f(x)sinnxdx0

f(x)

23

故

12n2nx1coscos222

n1n33,x(）为所求.n3

3将函数解：函数

f(x)

2

x

在［0,］上展开成余弦级数.

f(x)

2

x

，X［0.］作偶延拓后的函数如下图.

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

级数.

由系数公式得

a0

2

0

12

xdxxx

222

0

当n1时，

an

2

0

xcosnxdx2

2

xsinnxn2

2n

0

sinnxdx

2n

2

cosnx

4n2

0n2kIn2k.

Ibn0.f(x)

2x4

故

(2n1)n12cos(2n1)x,x[0,].

4将函数

解:函数

f(x)cosxx2在[0,]上展开成正弦级数.f(x)cos2,x[0,]作偶延拓后的函数

如下图.

级数.

由系数公式得an0,n0,1,2,

bn

210cosx2sinnxdx

xdx

01sinn21xsinn21cosn121

n21xcosnx2In20

8n

(4n1).

f(x)cosx

282

故在［0,］上

nln4n12sinnx为所求.

1xf(x)x35把函数0x22x4

在(0,4)上展开成余弦级数.

解：函数f(x),x(0,4)延拓后的函数如下图.

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

级数.

因14,所以由系数公式得

a0

24

40

f(x)dxan

24

12

4

20

(1x)dx

nx4

12

42

(x3)dx0

当n1时，

f(x)cosdx

2n

(1x)sin

nx4

2

124

20

(1x)cos

nx4

dx

12

42

(x3)cos

nx4

dx

2n

20

sin

nx

dx

2n

(x3)sin

nx4

4

2

2n

42

sin

nx4

dx

8n

2

2

cos

nx4

2

8n

2

2

cos

nx4

4

2

n4k2n4k2

08n16n

222cos11)22

n2

1xf(x)

X3所以

0x22x4

2

2

8

2

(2n1)

n1

1

cos

(2n1)x

2

为所求.

6把函数f(x)x1在(0,1)上展开成余弦级数，并推出

61

2

12

2

23.

1

解：函数f(x),x(0,1)延拓为以2为周期的函数如下图.

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

级数.

因14,所以由系数公式得

a02

10

1

f(x)dx2(x1)dx

2

23.

当n1时，

2n2n

2

2

an2(x1)cosnxdx

1

2

1

2

(x1)sinnx

1

2n

2

2

10

(x1)sinnxdx

(xl)cosnx

n

2

10

cosnxdx

4n

2

2

bn0.

-2-1°\234

(x1)

2

1313

4

所以

1

4

2

n1

lnl

2

cosnx,x[0,1]

nIn1令x0得

7求下列函数的傅里叶级数展开式

2

n,即

2

n

1

2

2

6.

(1)f(x)arcsin(sinx)；

解：函数f(x)arcsin(sinx)是以2为周期的函数如下图.级数.

由系数公式得

an0,n0,1,2,.

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是奇函数，故其展开式为正弦

bn

2

2

arcsin(sinx)sinnxdx

2

x)sinnxdx

xsinnxdx

2

2

(

2

2

2n

xcosnx

2n

cosnxdx

2n

(x)cosnx

2

2n

2

cosnxdx

4n

20

cosnxdx

4n

2

sin

n2

04k

(1)2

n

n2kn2k1

4

f(x)arcsin(sinx)

所以

(2n1)

n1

(1)

n2

sin(2nl)x

,xR.

(2)f(x)arcsin(cosx).

解：

f(x)arcsin(cosx)2级数.

由系数公式得

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

f

2

arcsin(cosx)dx0

2

xcosnxdx2

当n1时，

an

2

arcsin(cosx)cosnxdx

0

n

sinnx

2n

sinnxdx

0

42n

n2kn2k1

4

bn0,n1,2,.

f(x)arcsin(cosx)

所以

(2n1)

n1

1

2

cos(2nl)x

,xR.

0,2

上的可积函数f(x)延拓到区间，内，使他们的傅里8试问如何把定义在

叶级数为如下的形式

2n1

(1)

a

n1

cos(2nl)x

;(2)

b

n1

2n1

sin(2nl)x

2

解：(1)先把f(x)延拓到［0,］上，方法如下：

f(x)

f(x)

f(X)

0x

2

x

再把f(x)延拓到［0,2］上，方法如下：

f(x)

f'(x)

f(2x)

0x

x2.

其图象如下.级数.

由系数公式得

a0

2

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦

f(x)dxObn

1

f(x)sinnxdx0

当n1时,

20

Of(x)cosnxdx2202f(x)cosnxdx2f(x)cosnxdx

2

0f(x)［cosnxcos(nnx)］dx

4

2f(x)cosnxdx0

0

n2kIn2k.f(x)

所以nla2nlcos(2n1)xx0,2

(2)先把f(x)延拓到［0,］上，方法如下.

f(x)f(x)

f(X)0X22x；再把f(x)延拓到［0,2］上，方法如下.

f(x)r(x)

由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数,故其展开式为余弦

级数.

由系数公式得

aO2

Of(x)dx0

an1,f(x)cosnxdx0当n1时，

bn220

2Of(x)sinnxdx

22

2Of(x)sinnxdxf(x)sinnxdx22

0f(x)[sinnxsin(nnx)]dx

4

2f(x)sinnxdx0

0

n2kIn2k.

f(x)

所以b2nlsin(2nl)x

n1x0,2.§15.3收敛定理的证明

*基本内容

一、贝塞尔(Bessel)不等式

定理1设乳乂)在［,］上可积，则

a02

2

anbn

2

2

n1

1

f(x)dx

2

其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.

推论1设六外在［,］上可积，则

lim

n

f(x)cosnxdxOlim

,n

f(x)sinnxdx0

推论2设门外在［,］上可积，则

lim

n

0

1

f(x)sinnxdx0

2,

1

f(x)sinnxdx0

2.

lim

n

定理2设以2为周期的函数£(外在［,］上可积，则

Sn(x)

a021

n

a

k1

k

coskxbksinkx

1

sinnt

2

f(xt)dt

t2sin

2,

此称为f(x)的傅里叶级数的部分和的积分表达式.

二、收敛性定理的证明

定理3(收敛性定理)设以2为周期的函数£6)在［,］上按段光滑，则

f(x0)fx(

limn22

0)

Snx()

a02

定理4如果£6)在［,］上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则

f(x0)f(x0)

2

a

n1

n

cosnxbnsinnx

定理5如果£(外在［,］按段单调，则

f(x0)f(x0)

2

a02

a

n1

n

cosnxbnsinnx

二习题解答

1设f(x)以2为周期且具有二阶连续的导函数，证明f(x)的傅里叶级数在

(,)上一致收敛于f(x).

证：由题目设知f(x)与f(x)是以2为周期的函数，且光滑，f(x)

a02a02

故

f(x)

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

(acosnxbsinnx)

n

n

n1

且

aO

1

f(x)dx1

1

f()f()0

当n1时，

an

f(x)cosnxdx

f(x)cosnxi

1

n

f(x)sinnxdxnbn

bn

1

f(x)sinnxdx

annl2

1

bnn

f(x)sinnx

f(x)cosnxdxnan

于是

anbn

121121

abnn222n2n

In.

2

2

收敛，又nIn收敛，

2bn2)(an

2

由贝塞尔不等式得n1

aO

(a

2

n

)bn

1

从而2

aO

a

n1

n

n

bn

收敛，

在(，)上一致收敛.

故2

(a

n1

cosnxbnsinnx)

2设f为，上可积函数，证明：若f的傅里叶级数在［］上一致收敛于

f,则成立贝塞尔(Parseval)等式

1

f(x)dx

2

a02

2

a

n1

2

n

bn

2

这里an,bn为f的傅里叶系数.

证：设

Sm

a02

m

a

n1

n

cosnxbnsinnx

因为f(x)的傅里叶级数在[,]上一致收敛于f(x),所以N0,

“mN,x[,]f(x)Sm”

于是

f(x)Sm,f(x)Sm

2

.而

20

m

20

f(x)Sm,f(x)Smf(x),f(x)2f(x),SmSm,Sm

m

aa2222

f(x)dx2anbnanbn

2nIn122

f(x)dx

2

a02

2

anbn

2

n1

m

2

2

m

所以mN时，

aO

2

f(x)dx

2

aO

2

anbn

2

n1

2

2

故2

a

n1

2n

bn

2

1

f(x)dx

2

3由于贝塞尔等式对于在［,］上满足收敛定理条件的函数也成立.请应用这个结

果证明下列各式.

2

(1)

8

(2n1)

n1

1

2

2

；(2)6

n

n1

1

2

4

；(3)90

In.

4

4

f(x)

4解：(1)取

x00x

，由§1习题3得

,x(,0)(0,)

f(x)

n1

sin(2nl)x2n1

2

1

由贝塞尔等式得

2

2

2

16

dx

(2n1)

n1

1

即8

(2n1)

n1

1

⑵取f(x)x,x(,)，由§1习题1(1)得

f(x)2(1)

n1

n1

sinnxn

2

,x(,)

1

由贝塞尔等式得

2

(l)n122

xdx

nn1,

故6

n

n1

1

2

2

⑶取f(x)x,x[,由§1习题1⑵得

X

1

2

2

3

4

n1

2

n

cosxn

2

,x(,)

2

由贝塞尔等式得

2

14

xdx

23

(l)n4n2n1,

故90

In.

4

4证明：若f,g均为［,］上可积函数，且他们的傅里叶级数在［,］上分别一

致收敛于f和g,则1

f(x)g(x)dx

a002

(a

n

n1

n

bnn)

其中an,bn为f的傅里叶系数,n为g的傅里叶系数.

f(x)

a02

证：由题设知

g(x)

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

0

2

n1

n

cosnxnsinnx)

1

于是

f(x)g(x)dxf(x),g(x)

f(x),

0

2

(

n1

n

cosnxnsinnx)

f(x),

02

n1

f(x),ncosnxf(x),nsinnx

cosnxbnsinnx,

f(x),

0

2

a02

而

a

n1

0

2

n

f(x),ncosnx

aO0

,22

a02

aO02

n

a

n1

cosnxbnsinnx,ncosnx

ancosnx,ncosnxann

f(x),nsinnx

a02

a

n1

n

cosnxbnsinnx,nsinnx

bncosnx,ncosnxbnn

1

f

所以

f(x)g(x)dx

aO02

(a

n

n1

n

bnn)

f(x)dx0

5证明若f及其导函数f均在［］上可积,

f()f(),且成立贝塞尔等式，则

f(x)dx

2

f(x)dx

2

f(x)dx0证：因为f(x)、f(x)在，上可积，，f()f(),

f(x)

a02a02

设

f(x)

(a

n1

n

cosnxbnsinnx)

(acosnxbsinnx)

n

n1

由系数公式得

aO

f(x)dx

1

f()f()0.

当n1时，

an

f(x)cosnxdx

f(x)cosnxi

1

f(x)sinnxdxnbn

bn

1

f(x)sinnxdx

1

f(x)sinnx;

n

f(x)cosnxdxnan

于是由贝塞尔等式得

f(x)dx

2

a

n1

2

n

bn

2

n

2

2

2n

n

n1

2

anb

2

a

n1

2n

bn

2

f(x)dx

总练习题15

1试求三角多项式

的傅里叶级数展开式.

解：因为

Tn(x)

A02Tn(x)

A02

n

(Acoskxk

k1

k

Bsinkx)

n

(A

k1

k

coskxBksinkx)

是以2为周期的光滑函数，所以可展为

傅里叶级数，

由系数公式得

aOTn(x),1

A02

n

(A

k1

k

coskxBksinkx),1AO

当k1时，

akTn(x),coskx

knkn

A02

Ak

(AcoskxBsinkx),coskxkkk10

n

bkTn(x),sinkx

knkn

A02

Bk

(AcoskxBsinkx),sinkxkkk10

n

故在(，),

Tn(x)

A02

n

(A

k1

k

coskxBksinkx)

的傅里叶级数就是其本身.

2设£为［,］上可积函数，aO,ak,bk(k1,2,,。)为£的傅里叶系数，试证

明，当AOaO,Akak,Bkbk(k1,2,,n)时，积分

f(x)Tn(x)

2

dx

取最小值，且最小值为

f(x)

a02

n

2

2aO

dx

2

22

(ab)kkk1.

n

上述Tn(x)是第1题中的三角多项式,AO,A