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PAGEPAGE1圆锥曲线切点弦的个性质圆锥曲线切点弦的个性质圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。它们是由一个固定点（称为焦点）和一条固定直线（称为准线或直母线）确定的。其中，椭圆是焦点和准线距离之和一定的点的轨迹；双曲线是焦点和准线距离之差一定的点的轨迹；抛物线是焦点到准线距离等于点到焦点距离的点的轨迹。在这三个曲线中，切线有很多重要的几何性质。在本文中，我们将讨论圆锥曲线的切点弦的性质。定义：设P为圆锥曲线上任一点，PT为该点处的切线，过点P作弦AB交曲线于点C和D，则称AB为圆锥曲线的切点弦。性质1：切点弦垂直于切线。证明：设E为弦AB的中点，连接PE和TE，则△PET是直角三角形，且角PTE是PT的倾斜角。因此，角APE=90°，即弦AB与切线PT垂直。性质2：椭圆的两条切点弦相交于中心点。证明：连接弦AB的中点E和F，易知EF是椭圆的长轴。设O为椭圆的中心点，则EO和OF分别与AB和CD垂直。由于AB和CD都通过点O，所以它们交于点O，即椭圆的两条切点弦相交于中心点。性质3：双曲线的两条切点弦相交于渐近线。证明：设双曲线的渐近线为L，两条切点弦分别为AB和CD。对于任意一点P在双曲线上，弦AB和CD的斜率分别为m1和m2，即m1=dy/dx1；m2=dy/dx2；其中dy和dx1、dx2分别表示y和x的增量。由于双曲线的性质，当点P趋向于渐近线时，m1和m2趋近于L的斜率，也就是渐近线的斜率。因此，当点P在渐近线上时，弦AB和CD的斜率相等，即它们平行。而双曲线的渐近线是两条非对称直线，因此弦AB和CD相交于渐近线。性质4：抛物线的切点弦与焦点之间的距离是常数。证明：设抛物线的焦点为F，准线为l，直线PT的截距为h，弦AB与焦点的距离为p，则p=AF+FB=h+c；其中，c是抛物线的焦距。因此，在抛物线上取任意一点P，对应的切线PT的斜率为2h，而弦AB的斜率为m=dy/dx=(yD-yC)/(xD-xC)；由抛物线的定义可知，y=(x^2)/(4c)，因此m=(xD+xC)/(2c)；同时，由于弦AB的中点E位于直线l上，因此AE=EB=c-h。根据勾股定理可知，xD-xC=2EB=2(c-h)；因此，m=(c+h)/(2c)=1+(h/c)/2；由于焦距是常数，所以h/c也是常数，因此m也是常数。又由于抛物线是对称的，因此切点弦AB和CD平分焦距，因此p也是常数。圆锥曲线切点弦具有丰富的几何性质，包括垂直于切线、相交于中心

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