中南大学2012考研招生简章

正项级数的判别法的探讨

摘要:本文探究几种判别法的实质以及几种判别法的强弱比较.

关键字：判别法收敛发散失效

Abstract:Thepaperexploresthetruthofsomecriterionofpositivetermseries

andthecompareofthecriterion'svalidity.

Keywords:criterion;convergence;divergence;lostvalidity.

引言:我们经常用到的判别法有比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法，柯

西积分判别法,如复旦大学数学编《数学分析》第三版下册就只介绍这儿种判

别法,且达朗贝尔判别法还没有给出证明，而实际这儿种判别法远不够，因为

有时用这儿种会失效,本文还介绍了拉贝判别法和高斯判别法,对于初学的本

科生来说,可能并不是非常了解这儿判别法的实质,也即是这说这些判别法的

由来以及这些判别法判别的范围大小.

比较判别法国

若两个正项级数E&1为和5X1Vn之间成立着关系：存在常数C>O使

如工1,2,…)

或者自某项以后(即存在N,当n>N时)成立以上关系式，那么

(1)当级数£■1%收敛时，级数亦收敛

(2)当级数£71%发散时，级数£备］.亦发散.

利用比较判别法，把要判定的级数与几何级数比较，就可建立两个很有用的判

别法:柯西判别法和达朗贝尔判别法.

柯西判别法国

设E靠1崛为正项级数，若从某一项起（即存在N,当n>N时）成立着

肮i；gq<l（q为某确定的常数）,则级数收敛,若从某一项起成立着

々标>1,则级数工占%发散.

达贝尔判别法国

设工富】纵为正项级数，若从某一项起成立着工MqVl（q确定的

un-i

数,n>N）,则级数Id崛收敛.若从某一项起则级数E7iUn发

ttn-i

散.

这里作者并没有给出证明，为证明达朗贝尔判别法得先引进一个引理：

引理凶设正数列｛aj与｛%｝,如果当叱%时，有不等式皿工怜那么当收敛

2X出时则也理3%收敛.

下面给出简单的证明

证明：当nNn0时有

bn

〈b-

an-i%一1

左右两边分别相乘得

即+工〈玩+1

aob。

则an+l,消

由比较判别法可知当数列9/收敛时，数列gj收敛.

当数列但占发散时，数列｛bj发散.

由引理可以看出当＜q＜1）时，即可得到达朗贝尔判别法

彳苛一丁7＜】

因此我们可以看出达贝尔判别法是怎么来的了.

柯西判别法与达朗贝尔判别法都是由几何级数比较而来，究竟哪个实用范围更

广呢?先来看一个例子

例1

JRT4216d6412

由于如…如也=1,limn=003-=2.

a21n事物＞IY

则画…优不存在.

而---々（I

则由柯西判别法知£备iZJUUf收敛.

实际在用达朗贝尔判别法证明收敛的数列｛aj用柯西判别法一定收敛,

用达证明不收敛的数列通项不为0,则一定发散.

证明：由达判别法能得到收敛，则

存在NeN,当n>N有

■+2

aN+l

左右两边分别相乘得

nN

gp：an=aNq-

又由于limn-M）an=0,则aN为有界数

因此lim强能4垢q"、q<l,得证

n—8

而当级数是E连，和2总时，达朗贝尔判别法无法确定，失效，这是因为柯

西判别法是与儿何级数比较而得.而这种形式的级数工备12（S>1）比儿何级数

收敛的速度慢.

为证明这个结论先看个例题

例二

8

证明裁列是否W/qn收叙

nsl

证明：

1皿时8六=1加*_8受*(1+£fq=q<1

由达朗贝尔判别法判别可知级数收敛,通项必为0.

于是可得

Iimnsqn=0

IL—8

则

1叫一g里=0得证.

Raabe(拉贝)判别法⑶

若%>0(11=1,2…)及

limn(---l)=p

(i)当p>l级数收敛

(ii)当p<l时级数发散

(iii)当P=1时，无法判定

拉贝判别法正是由£；做比较而得

证明：令p>s>l,存在NeN,当n>N有

二史手=。=1++。（）（高阶无穷小）

则

lim（3——=+o（））>0

n一8SfllLG

则

<-

再由引理可得.

同理可得当P<1时级数发散.

例3

PfT（p>0,q>0）

问p,q取什么值上级数收敛？

证明：

lim题曲=。3尸=1

n—8既1+itF+1

此时达贝尔判别法失效.

±=;+。（;）（高阶无穷小）

/n+ln+l

—=-----（r----->尸a

an+in+pn

=n+P+l-P（］+.）q

n+pn

=（1+㈢（1+H。。）

n+pnn

=i+izm

n

所以当q>p时，级数收敛

当q<p时，级数发散

当p=q时，无法判定,所以拉贝判别法失效，这就

需要判别范围更精细的判别法

高斯判别法

设％>。，

-5j-=1+1+—^―+0）

an+1nnlnn\nInn/

则

1,若B>1,则£占am收敛.

2,若削1,则E金发散.

3,若0=1,则££无法判定.

证明；

由于0>1,取p>a>l,

设小…占品

存在NCN,当n>N有

如_=.11（11+1））0

如以n'Inn'

=Q+：）（1+六十。岛）尸

=（1+；）（1+后+。（意）

4+:+总+^盅

所以

金——虬=（生巴+Q（一一））>0

an4xbn+in.inn.nlnn

所以

a：i+i<bn+i

A

由引理可得：当P>1级数收敛.

同理可得：当P<1级数发散.

高斯判别法是与£二】一比较而得的级数.因为

lim-=0

…丁

则£靠［册比£其】*收敛速变

所以高斯判别法比拉贝判别更精细.

例4

高斯JU可级数，设a>0，B>0，Y>0,”>0

CT(5+l)-'(a+n■-1)自华+l)w(p+n-

F(a，B，y,%)=1+¥8

)«y+D…Cy+nT)

讨论高斯几何级数的敛散性.

;八十8勺『8«(«+1)-•(a+n-1)P(P+1)-(p+n-1)n

以3n=遇口=2n=1Y(Y+l)...(Y+a-l)#

则

lim皿=Um尹平丝r=“

n—8ann_81y+nj(n+l)

所以由达朗贝尔判别法

当力<1时，级数收敛

当%>1时，级数发散

当力=1时，无法判定，达朗贝尔判别法失效.

用拉贝判别法

%1_(丸+1)-+冷

an+1(a+D)(n+B)

做]=(n+l)CR+r)]

an+i(«+n)(n-bp)

_♦.£}n+y-aF

(a^r0(n.4*P)

e、,„(r4-1-a-^)n2+(r-a/?)n

-1)=Ifwn----------........---------------

e•n—8(a+n)(n+|5)

a-p

所以

当Y>a+歹时，级数收敛

当Y<ct+/时，级数发散

当Y=凌+R时，无法判定，拉贝判别法失效.

用高斯判别法

limnln.(也――1)…nlnn修+1厂一？可「血

ft-wa.+i71n-*ooL(a+n)(n+|?)

用

=limInnl-a-f)R?+(1-aTI

nr8L(«+n)(n+p)

=limInn

nr8.(CT+rO(n+p)

=liimInn

nr8.(«trO(n+p)J

(-aff)n_

==limInnQ

)1~8(a+n)A+P)

结束语:从达朗贝尔判别法，柯西根植判别法，拉贝判别法，高斯判别法的构成的

实质可以看出只要找到收敛速度更慢的级数，就可以做成一个更精细的判别

法.

中南大学2012年硕士生招生学科专业及考试科目

注：标者为具有博士、硕士学位授予权的一级学科（一级学科博士、硕士点）

标者为具有硕士学位授予权的一级学科(一级学科硕士点)

标者为具有博士学位授予权的二级学科(专业)(二级学科博士点)

标者为国家授权我校自主设置具有博士、硕士学位授予权的学科(专业)

标者为国家重点学科

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

岫

001马克思主义学院(88836785,黎40

明。二级招生单位后括号内是其联系

电话和联系人，下同。长沙区号为

0731o)

0302△政治学①101思想政治理论0302政治学按一

级学科招生，报考

01政治学理论(030201)②201英语一专业只能填写为政

治学

02国际关系(030207)③722政治学基础

④918世界政治与国际关

系

03科学社会主义与国际共产主义运①101思想政治理论

动(030203)

②201英语一

04中共党史(030204)

③722政治学基础

④919中国化马克思主义

基本问题

0305■马克思主义理论①101思想政治理论0305马克思主义

理论按一级学科招

01马克思主义基本原理(030501)②201英语一生，报考专业只能

填写为马克思主义

③719马克思主义理论综

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

02马克思主义中国化研究(030503)合知识理论

03中国近现代史基本问题研究④919中国化马克思主义

(030506)基本问题

04思想政治教育(030505)①101思想政治理论

②201英语一

③719马克思主义理论综

合知识

④903思想政治教育基础

知识

0602△中国史①101思想政治理论0602中国史按一

级学科招生，报考

01中国史②201英语一专业只能填写为中

国史

③313历史学基础

140

002公共管理学院(88877703,魏羽

明；

MPA88836875,王晓佳)

0101■哲学①101思想政治理论0101哲学按一级

学科招生，报考专

01马克思主义哲学(010101)②201英语一业只能填写为哲学

02中国哲学(010102)③725马克思主义哲学基

本原理

03外国哲学(010103)

④904中西哲学史

04逻辑学(010104)

05伦理学(010105)

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

06美学(010106)

07科学技术哲学(010108)

0303△社会学①101思想政治理论0303社会学按一

级学科招生，报考

01社会学(030301)②201英语一专业只能填写为社

会学

02人口学(030302)③720社会学理论

03人类学(030303)④908社会研究方法

0352社会工作硕士(专业学位)①101思想政治理论

01社会工作②204英语二

③331社会工作原理

④437社会工作实务

1204△公共管理①101思想政治理论1204公共管理按

一级学科招生，报

01行政管理(120401)②201英语一考专业只能填写为

公共管理

02教育经济与管理(120403)③721公共管理学基础

03社会保障(120404)④905公共管理综合考试

04土地资源管理(120405)

1252公共管理硕士(专业学位)①199管理类联考综合能

力

01公共管理

②204英语二

003法学院(88660220,刘萍)140

0301■法学①101思想政治理论

不接收同等学力考

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

01法学理论（030101）②201英语一生。

02宪法学与行政法学（030103）③761法理学0301法学按一级

学科招生，报考专

03刑法学（030104）④906法学综合（含民法业只能填写为法学

总论、刑法总论、经济法

04民商法学（030105）总论）

05诉讼法学（030106）

06经济法学（030107）

07国际法学（030109）

08知识产权法学

035101法律硕士（非法学）（专业学①101思想政治理论知识产权方向欢迎

位）理工科专业毕业生

②201英语一或202俄语报考

01法律或203日语

③398法硕联考专业基础

（非法学）

④498法硕联考综合（非

法学）

035102法律硕士（法学）（专业学位）①101思想政治理论

01法律②201英语一或202俄语

或203日语

③397法硕联考专业基础

（法学）

④497法硕联考综合（法

学）

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

006高等教育研究所（88879608,谢

25

明）

0401△教育学①101思想政治理论0401教育学按一

级学科招生，报考

01教育学原理（040101）②201英语一专业只能填写为教

育学。

02课程与教学论（040102）③311教育学专业基础综

合

03高等教育学（040106）

045101教育管理（教育硕士专业学①101思想政治理论

位）

②204英语二

01教育管理

③333教育综合

④902教育专业基础

045108学科教学（英语）（教育硕士①101思想政治理论

专业学位）

②204英语二

01英语教学

③333教育综合

④902教育专业基础

045114现代教育技术（教育硕士专①101思想政治理论045114教育硕士

业学位）专业学位（现代教

②204英语二育技术专业领域）

01现代教育技术由现代教育技术中

③333教育综合心负责培养

④902教育专业基础

007现代教育技术中心（88660123,

10

赵辉）

078401教育技术学①101思想政治理论该专业使用理学门

类的分数线

01教育技术学②201英语一

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

③763高等数学方法与应

用

④917计算机应用基础

009体育教研部(88876141,屈建华)5

040303体育教育训练学①101思想政治理论

01体育教育训练学②201英语一

③713体育综合理论

010文学院(88877302,欧小芳)70

010106美学①101思想政治理论

01美学②201英语一

③718美学原理

④888文学综合

0501△中国语言文学①101思想政治理论0501中国语言文

学按一级学科招

01文艺学(050101)②201英语一生，报考专业只能

填写为中国语言文

③717文学原理学

④888文学综合

02语言学及应用语言学(050102)①101思想政治理论

03汉语言文字学(050103)②201英语一

③716古代汉语与现代汉

语

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

④887语言学综合

04中国古典文献学(050104)①101思想政治理论

05中国古代文学(050105)②201英语一

③715古代文学与古典文

献学

④888文学综合

06中国现当代文学(050106)①101思想政治理论

②201英语一

③742中国现当代文学

④888文学综合

07比较文学与世界文学(050108)①101思想政治理论

②201英语一

③714外国文学史

④888文学综合

0503△新闻传播学①101思想政治理论0503新闻传播学

按一级学科招生，

01新闻学(050301)②201英语一报考专业只能填写

为新闻传播学

02传播学(050302)③711新闻与传播学理论

④885文化产业概论

0453汉语国际教育硕士(专业学位)①101思想政治理论

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

01汉语国际教育②201英语一

③354汉语基础

④445汉语国际教育基础

各专业均不接收同

011外国语学院（88876103,刘众）110

等学力考生

040102课程与教学论①101思想政治理论

01课程与教学论②201英语一

③311教育学专业基础综

合

050108比较文学与世界文学①101思想政治理论

01比较文学与世界文学②201英语一或202俄语

或203日语或252德语

（自命题）或253法语（自

命题）

③755外国文学史

④988比较文学

0502△外国语言文学①101思想政治理论0502外国语言文

学按一级学科招

01英语语言文学（050201）②251日语（自命题）或生，报考专业只能

252德语（自命题）或253填写为外国语言文

法语（自命题）或254俄学

语（自命题）

③724基础英语

④989英美文学史及作品

批评

02法语语言文学（050203）①101思想政治理论

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

②255英语（自命题）

③752基础法语

④881法语综合考试

03日语语言文学（050205）①101思想政治理论

②201英语一

③753基础日语

④882日语综合考试

04外国语言学及应用语言学①101思想政治理论

（050211）

②251日语（自命题）或

252德语（自命题）或253

法语（自命题）或254俄

语（自命题）

③724基础英语

④880英语综合考试

055101英语笔译（翻译硕士专业学①101思想政治理论

位）

②211翻译硕士英语

01英语笔译

③357英语翻译基础

055102英语口译（翻译硕士专业学

位）@448汉语写作与百科知

识

01英语口译

013建筑与艺术学院（88830104,唐报考设计学、美术学、

利民）艺术硕士的考生请注意：

100

1、网上报名时请选择中

南大学报名点并到中南

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

大学报名点现场确认和

考试；2、设计学、艺术

硕士不接收同等学力、

“少数民族骨干计划”考

生，美术学不接收同等学

力考生；3、考852造型

基础或851设计基础时请

考生自带纸张、画板等绘

图工具。

0813△建筑学①101思想政治理论0813建筑学按一

级学科招生，报考

01建筑学②201英语一专业只能填写为建

筑学

③733建筑理论或756城

市理论或757景观设计理

论

④990建筑历史或980城

市历史或982中外园林史

0833△城乡规划学①101思想政治理论0833城乡规划学

按一级学科招生，

01城乡规划学②201英语一报考专业只能填写

为城乡规划学

③756城市理论或733建

筑理论或757景观设计理

论

④980城市历史或990建

筑历史或982中外园林史

0834△风景园林学①101思想政治理论0834风景园林学

按一级学科招生，

01风景园林学②201英语一报考专业只能填写

为风景园林学

③757景观设计理论或

756城市理论或733建筑

理论

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

④982中外园林史或980

城市历史或990建筑历史

1301△艺术学理论①101思想政治理论1301艺术学理论

按一级学科招生，

01艺术学理论②201英语一报考专业只能填写

为艺术学理论

02音乐理论③743艺术学基础

④850艺术概论

1305△设计学①101思想政治理论1305设计学按一

级学科招生，报考

01设计学②201英语一专业只能填写为设

计学

③749设计史及评论

④851设计基础（3小时）

130423美术学①101思想政治理论国家批准我校在原

艺术学一级学科学

01美术学②201英语一位授权点对应调整

后保留美术学二级

③748中外美术史学科的硕士学位授

权

④852造型基础（3小时）

135108艺术设计（艺术硕士专业学①101思想政治理论

位）

②204英语二

01艺术设计

③749设计史及评论

@851设计基础（3小时）

085213建筑与土木工程（工程硕士①101思想政治理论

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

专业学位)②204英语二

01建筑与土木工程③302数学二

④990建筑历史或980城

市历史或982中外园林史

016商学院(研究生教育管理中心

88836434,何颖芳;MBA

管理中心88836711,杨450

秋娟；专业学位硕士办

公室82539672)

020104西方经济学①101思想政治理论

01西方经济学②201英语一

③303数学三

④965西方经济学

0202△应用经济学①101思想政治理论0202应用经济学

按一级学科招生，

01区域经济学(020202)②201英语一报考专业只能填写

为应用经济学

02财政学(020203)③303数学三

03金融学(020204)④965西方经济学

04产业经济学(020205)

05国际贸易学(020206)

06劳动经济学(020207)

1201■♦管理科学与工程①101思想政治理论1201管理科学与

工程按一级学科招

01管理科学与工程(120101)②201英语一生，报考专业只能

填写为管理科学与

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

③303数学三□程

④966运筹学(B)或967管

理学

1202■工商管理①101思想政治理论1202工商管理按

一级学科招生，报

01会计学(120201)②201英语一考专业只能填写为

工商管理

02企业管理(120202)③303数学三

03旅游管理(120203)④967管理学

04技术经济及管理(120204)①101思想政治理论

②201英语一

③303数学三

④965西方经济学

085239项目管理(工程硕士专业学①101思想政治理论

位)

②204英语二

01项目管理

③303数学三

④950工程经济学

0251金融硕士(专业学位)①101思想政治理论

01商业金融②204英语二

③303数学三

④431金融学综合

生

专业代码、名称及研究方向考试科目备注

疑

0254国际商务硕士（专业学位）①101思想政治理论

0