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文档简介

2023届江西省师范大学附属中学高三下学期联考综合试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该正方形的边长为()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm2.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D.2016年与2019年艺体达线人数相同3.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为()A. B. C. D.4.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.5.若集合,,则=()A. B. C. D.6.在中,内角的平分线交边于点,,,,则的面积是()A. B. C. D.7.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()A. B.2 C. D.38.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.9.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线的方程为()A.或 B.或 C.或 D.10.已知函数,若则()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)11.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()A. B. C. D.112.若复数(为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.二项式的展开式中项的系数为_____.14.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________15.已知数列的前项和为,且成等差数列,,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为______________.16.已知,则______,______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)设,求函数的单调区间,并证明函数有唯一零点.(2)若函数在区间上不单调,证明:.18.(12分)已知椭圆:的两个焦点是,,在椭圆上,且,为坐标原点,直线与直线平行,且与椭圆交于,两点.连接、与轴交于点,.(1)求椭圆的标准方程;(2)求证:为定值.19.(12分)某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的用时作了记录,得到大量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:分钟).若用时不超过(分钟),则称这个工人为优秀员工.(1)求这个样本数据的中位数和众数;(2)以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率,任意调查名工人,求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望.20.(12分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.21.(12分)已知是递增的等差数列,,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.22.(10分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数,使得,证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

过点做正方形边的垂线,如图,设,利用直线三角形中的边角关系,将用表示出来,根据,列方程求出,进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线,如图,设,则,,则,因为,则,整理化简得,又,得,.即该正方形的边长为.故选:D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系,关键是要构造直角三角形,是中档题.2、A【解析】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故选:A.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.3、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为,可得函数的值域为,结合条件,可得出、均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,由此可得出正确选项.【详解】函数,将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.若,则且,均为函数的最大值,由,解得;其中、是三角函数最高点的横坐标,的值为函数的最小正周期的整数倍,且.故选C.【点睛】本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4、A【解析】

由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.5、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.6、B【解析】

利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,进而求出,然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】为的角平分线,则.,则,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面积为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.7、B【解析】

过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,,,,由抛物线定义知:,,,.由抛物线性质得:,解得:,.故选:.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.8、A【解析】

设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为,M所在直线为,不妨设,∴MF的中点坐标为.代入方程可得,∴,∴,∴(负值舍去).故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.9、A【解析】

过作与准线垂直,垂足为,利用抛物线的定义可得,要使最大,则应最大,此时与抛物线相切,再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直,垂足为,,则当取得最大值时,最大,此时与抛物线相切,易知此时直线的斜率存在,设切线方程为,则.则,则直线的方程为.故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及到抛物线的定义,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.10、C【解析】

利用导数求得在上递增,结合与图象,判断出的大小关系,由此比较出的大小关系.【详解】因为,所以在上单调递增;在同一坐标系中作与图象,,可得,故.故选:C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用函数的单调性比较大小,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.11、B【解析】

先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程,再利用两直线斜率相等且纵截距相等,列出关系树,从而得出,令函数,结合导数求出最小值,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,则;当时,则.设为函数图像上的两点,当或时,,不符合题意,故.则在处的切线方程为;在处的切线方程为.由两切线重合可知,整理得.不妨设则,由可得则当时,的最大值为.则在上单调递减,则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了推理论证能力,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.12、C【解析】

利用复数的除法,以及复数的基本概念求解即可.【详解】,又的实部与虚部相等,,解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算,复数的概念运用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、15【解析】

由题得,,令,解得,代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得,,令,解得,所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为:15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.14、【解析】

,可得在时,最小值为,时,要使得最小值为,则对称轴在1的右边,且,求解出即满足最小值为.【详解】当,,当且仅当时,等号成立.当时,为二次函数,要想在处取最小,则对称轴要满足并且,即,解得.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,对每段函数先进行分类讨论,找到每段的最小值,然后再对两段函数的最小值进行比较,得到结果,题目较综合,属于中档题.15、1【解析】

本题先根据公式初步找到数列的通项公式,然后根据等差中项的性质可解得的值,即可确定数列的通项公式,代入数列的表达式计算出数列的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前项和,再代入不等式进行计算可得最小正整数的值.【详解】由题意,当时,.当时,.则,.,,成等差数列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.满足的最小正整数的值为1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和,考查了转化思想、方程思想,考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力.16、【解析】

利用两角和的正切公式结合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值,进而利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】,,,.故答案为:;.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)为增区间;为减区间.见解析(2)见解析【解析】

(1)先求得的定义域,然后利用导数求得的单调区间,结合零点存在性定理判断出有唯一零点.(2)求得的导函数,结合在区间上不单调,证得,通过证明,证得成立.【详解】(1)∵函数的定义域为,由,解得为增区间;由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点:∵,所以函数在区间内有零点,∵,函数在区间上没有零点,故函数只有一个零点.(2)证明:函数,则当时,,不符合题意;当时,令,则,所以在上单调增函数,而,又∵区间上不单调,所以存在,使得在上有一个零点,即,所以,且,即两边取自然对数,得即,要证,即证,先证明:,令,则∴在上单调递增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)根据椭圆的定义可得,将代入椭圆方程,即可求得的值,求得椭圆方程;(2)设直线的方程,代入椭圆方程,求得直线和的方程,求得和的横坐标,表示出,根据韦达定理即可求证为定值.【详解】(1)因为,由椭圆的定义得,,点在椭圆上,代入椭圆方程,解得,所以的方程为;(2)证明:设,,直线的斜率为,设直线的方程为,联立方程组,消去,整理得,所以,,直线的直线方程为,令,则,同理,所以:,代入整理得,所以为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,属于中档题.19、(1)43,47;(2)分布列见解析,.【解析】

(1)根据茎叶图即可得到中位数和众数;(2)根据数据可得任取一名优秀员工的概率为,故,写出分布列即可得解.【详解】(1)中位数为,众数为.(2)被调查的名工人中优秀员工的数量,任取一名优秀员工的概率为,故,,,的分布列如下:故【点睛】此题考查根据茎叶图求众数和中位数,求离散型随机变量分布列,根据分布列求解期望,关键在于准确求解概率,若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.20、(1)(2)【解析】

(1)由公比表示出,由成等差数列可求得,从而数列的通项公式;(2)求(1)得,然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解.【详解】(1)∵是等比数列,且成等差数列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查并项求和法及等差数列的项和公式.本题求数列通项公式所用方法为基本量法,求和是用并项求和法.数列的求和除公式法外,还有错位相关法、裂项相消法、分组(并项)求和法等等.21、(1);(2).【解析】

(1)方程的两根为,由题意得,在利用等差数列的通项公式即可得出;(2)利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出.【详解】方程x2-5x+6=0的两根为2,

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