2023年高考数学一轮复习课件：第三章 3-2导数与函数的单调性

第三章§3.2导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过

三次).落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上_________f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上_________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是_________单调递增单调递减常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的

；第2步，求出导数f′(x)的

；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.(

)√√×√1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是√由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增.2.函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为___________.f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).(1，＋∞)f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.－4TANJIUHEXINTIXING探究核心题型题型一不含参数的函数的单调性√(2)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为__________________.f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π).教师备选(1，＋∞)f(x)的定义域为(0，＋∞)，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.思维升华确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.跟踪训练1

(1)函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)√令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为______________________，单调递减区间为__________.(－∞，0)，(ln2，＋∞)(0，ln2)f(x)的定义域为R，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，x(－∞，0)0(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增

单调递减

单调递增∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).题型二含参数的函数的单调性例2

已知函数f(x)＝

ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.函数的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；延伸探究若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？当a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0，∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；教师备选由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，设g(x)＝x2－ax＋2，g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.跟踪训练2

讨论下列函数的单调性.(1)f(x)＝x－alnx；f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.g(x)的定义域为R，g′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，当a＝0时，g′(x)≥0，∴g(x)在R上单调递增.当a>0时，x∈(－∞，－3a)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x∈(－3a，a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.当a<0时，x∈(－∞，a)∪(－3a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x∈(a，－3a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，综上有a＝0时，g(x)在R上单调递增；a<0时，g(x)在(－∞，a)，(－3a，＋∞)上单调递增，在(a，－3a)上单调递减；a>0时，g(x)在(－∞，－3a)，(a，＋∞)上单调递增，在(－3a，a)上单调递减.命题点1比较大小或解不等式题型三函数单调性的应用√因为f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，当且仅当x＝0时取“＝”，∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，命题点2根据函数的单调性求参数的范围教师备选√由题意得f′(x)＝ex(sinx＋a)＋excosx∴－1＋a≥0，解得a≥1，即a∈[1，＋∞).2.(2022·江西鹰潭一中月考)若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为___________.(－∞，0)由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华跟踪训练3

(1)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足

<0，当m<0时，下列关系中一定成立的是A.f(1)＋f(3)＝2f(2)B.f(0)·f(3)＝0C.f(4)＋f(3)<2f(2)D.f(2)＋f(4)>2f(3)√又m<0，则(x－3)f′(x)>0，当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；所以f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，所以f(2)＋f(4)>2f(3).(2)(2022·安徽省泗县第一中学质检)函数f(x)＝

在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为____________.[0，e－1]由f′(x)>0得0<x<e，由f′(x)<0得x>e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，解得0≤a≤e－1.KESHIJINGLIAN课时精练基础保分练123456789101112131415161.函数f(x)＝xlnx＋1的单调递减区间是√f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，123456789101112131415162.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是A.f(x)＝2sinxcosx

B.g(x)＝x3－xC.h(x)＝xex

D.m(x)＝－x＋lnx√h(x)＝xex，定义域为R，∴h′(x)＝(x＋1)ex，当x>0时，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增.12345678910111213141516123456789101112131415163.(2022·渭南调研)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是√列表如下：x(－∞，－1)(－1,0)(0,1)(1，＋∞)xf′(x)－＋－＋f′(x)＋－－＋f(x)单调递增单调递减单调递减单调递增故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1).故函数f(x)的图象是C选项中的图象.123456789101112131415164.(2022·遵义质检)若函数f(x)＝－x2＋4x＋blnx在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1]C.(－∞，－2] D.[－2，＋∞)√1234567891011121314151612345678910111213141516∵f(x)＝－x2＋4x＋blnx在(0，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即b≤2x2－4x，∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2.123456789101112131415165.已知函数f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln2)，则a，b，c的大小关系是A.a>c>b

B.a>b>cC.b>a>c

D.c>b>a√12345678910111213141516f(x)的定义域为R，f′(x)＝cosx－sinx－2∴f(x)在R上单调递减，又2e>1,0<ln2<1，∴－π<ln2<2e，故f(－π)>f(ln2)>f(2e)，即a>c>b.6.如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有

>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数是“F函数”的是A.f(x)＝ex

B.f(x)＝x2C.f(x)＝lnx

D.f(x)＝sinx12345678910111213141516√依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)＝xlnx，g′(x)＝1＋lnx，故C中函数不是“F函数”；1234567891011121314151612345678910111213141516对于D，g(x)＝xsinx，g′(x)＝sinx＋xcosx，故D中函数不是“F函数”.7.(2022·长沙市长郡中学月考)已知函数f(x)＝

x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3,1)，则m＋n的值为______.－2由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3,1)，得f′(x)<0的解集为(－3,1)，则－3,1是f′(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.123456789101112131415168.(2021·新高考全国Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：_________________________________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.12345678910111213141516f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)12345678910111213141516f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)＝4x3的定义域为R，又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.9.已知函数f(x)＝

x2－2alnx＋(a－2)x.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；1234567891011121314151612345678910111213141516当a＝－1时，当0<x<1或x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2).(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.12345678910111213141516g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以x2－2x－2a≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，123456789101112131415161234567891011121314151610.(2022·宜春质检)已知函数f(x)＝x3－6ax.(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；12345678910111213141516当a＝－1时，f(x)＝x3＋6x，则f′(x)＝3x2＋6，所以f(1)＝7，f′(1)＝9，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－7＝9(x－1)，即9x－y－2＝0.(2)求函数y＝f(x)的单调区间.12345678910111213141516函数f(x)＝x3－6ax的定义域为R，f′(x)＝3x2－6a＝3(x2－2a).当a≤0时，对任意的x∈R，f′(x)≥0且不恒为零，此时函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，由f′(x)<0，12345678910111213141516综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；1234567891011121314151612345678910111213141516技能提升练√因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以a>－1，所以a的取值范围是(－1，＋∞).123456789101112131415161234567891011121314151612.设函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，若a＝f(－2)，b＝f(ln2)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为A.b<a<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<b<c√f(－x)＝(－x)sin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsinx＋cosx＋x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴a＝f(－2)＝f(2)，又f′(x)＝xcosx＋2x＝x(cosx＋2)，当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，即b<c<a.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，14.已知函数f(x)＝x5＋10x＋sinx，若f(t)＋f(1－3t)<0，则实数t的取值范围是____________.12345678910111213141516因为函数f(x)的