2023年高考数学一轮复习课件：第九章 9-7双曲线

第九章§9.7双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的

等于非零常数(_____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2叫做双曲线的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

.绝对值小于焦点焦距标准方程

图形

性质焦点_________________________________________焦距__________范围_______或

，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：

；对称中心：_____2.双曲线的标准方程和简单几何性质F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－ax≥a坐标轴原点性质顶点________________________________________轴实轴：线段

，长：

；虚轴：线段B1B2，长：____，实半轴长：

，虚半轴长：___

离心率e＝

∈__________渐近线_________________

a，b，c的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2bab(1，＋∞)a2＋b2常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为

.常用结论(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝

，其中θ为∠F1PF2.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.(

)√×√×√由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.2.设P是双曲线

＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.以上均不对√根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3.(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为

的双曲线方程________________________________________.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1

(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆

B.双曲线C.抛物线

D.圆√题型一双曲线的定义及应用所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.不妨设点P在双曲线的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得∴|PF1|·|PF2|＝8，不妨设点P在双曲线的右支上，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为教师备选√设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，√设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.A.12或6 B.2或4C.6或4 D.12或4√设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由题意知|PF2|＝8，所以||PF1|－|PF2||＝4，解得|PF1|＝12或|PF1|＝4，故点P到左焦点的距离为4或12.(2)已知F是双曲线

＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为___.设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.9题型二双曲线的标准方程√教师备选√解得a2＝4，b2＝12，设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.√将点(2,3)代入其中，得λ＝1，√命题点1渐近线题型三双曲线的几何性质√由题意知，b＝2，思维升华命题点2离心率例4

(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为√设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，高考改编√点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，又|F1F2|＝2c，√所以3a2>4(c2－a2)，所以7a2>4c2，又因为双曲线的离心率e>1，教师备选√√如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝

转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).√由离心率的计算公式，√因为圆Q与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，所以圆Q与渐近线bx±y＝0相切，其渐近线方程为x±y＝0，故B选项错误；KESHIJINGLIAN课时精练1.双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为基础保分练12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√3.若双曲线E：

＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于A.11

B.9

C.5

D.3√12345678910111213141516方法一依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.方法二根据双曲线的定义，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去).1234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√因为a2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误.1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415167.(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为__________.123456789101112131415168.设双曲线

＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_____.1234567891011121314151612345678910111213141516因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(5,0)，12345678910111213141516不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，

②由①②得m·n＝8.1234567891011121314151612345678910111213141516解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求双曲线C的标准方程；又一条渐近线方程为2x－y＝0，12345678910111213141516由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，12345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点的坐标为(x0,4)，直线AB的斜率为k，1234567891011121314151612345678910111213141516所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.12345678910111213141516技能提升练√a＝4，b＝3，c＝5，该双曲线的左焦点为F1(－5,0).12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√又该圆的圆心为(c,0)，又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516由题意可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，A(－a,0)，B(a,0)，因为双曲线的离心率为2，1234567891011121314151614.已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝|OP|，则C的渐近线方程为__________.1234567891011121314151612345678910111213141516根据双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，所以在△POF1中，由余弦定理可得12345678910111213141516拓展冲刺练12345678910111213141516√设双曲线的左焦点为F1，由已知得点N在双曲线的左支上，连接MF1，NF1(图略)，根据双曲线的定义，|NF|－|NF