金融工程第03章远期与期货定价

第三章远期与期货定价第一页，共三十五页。远期价值、远期价格与期货价格2交割价格远期价值：远期合约本身的价值远期价格：理论上的交割价格期货价格第一节远期价格与期货价格远期价格与期货价格的关系当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当利率变化无法预测时当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格第二页，共三十五页。基本假设31.没有交易费用和税收。2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3．远期合约没有违约风险。4．允许现货卖空。5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。第三页，共三十五页。主要符号4T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期时间的剩余时间。S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。第四页，共三十五页。

构建两种投资组合，令其终值相等，则其现值一定相等；否则就可进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。5第二节无收益资产远期合约的定价无套利定价法第五页，共三十五页。无收益资产的远期价值6无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。构建组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金（无风险投资）组合B：一单位标的资产。远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产，因此现值必须相等。 f+=Sf=S－两种理解：无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和无风险负债组成。第六页，共三十五页。现货-远期平价定理7

远期价格：（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）F=无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。反证法7运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平价定理的反证F>？F<？第七页，共三十五页。例3.1设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$950，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$930。则我们可以算出该远期合约多头的价值为多少第八页，共三十五页。例3.2假设一年期的贴现债券价格为$960，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为多少?第九页，共三十五页。远期价格的期限结构10远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。 F=第十页，共三十五页。当即期利率和远期利率所用的利率均为连续复利时，即期利率和远期利率的关系可表示为：第十一页，共三十五页。例3.3假设某种不付红利股票6个月远期的价格为20元，目前市场上6个月至1年的远期利率为8％，求该股票1年期的远期价格。第十二页，共三十五页。已知现金收益的资产13支付已知现金收益的资产在到期前会产生完全可预测的现金流的资产例子：附息债券和支付已知现金红利的股票。负现金收益的资产：黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为I，对黄、白银来说，I为负值。第三节已知现金收益资产的远期合约定价第十三页，共三十五页。支付已知现金收益资产的远期价值14构建组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金;组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。

远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产：f+=S-If=S-I-两种理解：支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+单位无风险负债构成。由于使用的是I的现值，所以支付一次和多次现金收益的处理方法相同。第十四页，共三十五页。支付已知现金收益资产的现货－远期平价公式15支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。根据F的定义，我们可从上式求得：F=(S-I)公式的理解：支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。反证法F>(S-I)F<(S-I)第十五页，共三十五页。例3.4假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。第十六页，共三十五页。例3.517第十七页，共三十五页。18支付已知收益率的资产 在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产支付已知收益率资产的远期合约外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率股指期货：市场整体水平的红利率基本可预测远期利率协议：本国的无风险利率远期外汇综合协议：外汇发行国的无风险利率第四节支付已知现金收益率资产的远期合约定价第十八页，共三十五页。支付已知收益率资产的远期价值19建立组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。两种理解：支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于单位证券的现值与交割价现值之差。一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由单位标的资产和单位无风险负债构成。

第十九页，共三十五页。例3.620第二十页，共三十五页。例3.7A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4％，无风险利率为10％，若该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。第二十一页，共三十五页。第五节外汇远期期货定价

为一单位外币的美元价格为一单位外币的远期或期货价格为期限为T的外币的无风险利率为对应于同样期限的美元无风险利率则：第二十二页，共三十五页。例3.8假定澳元与美元的2年期的无风险利率分别为5%及7%，且澳元及美元的汇率为0.62（即1澳元所对应的美元数量）请计算一下2年期的期货合约汇率假定2年期的期货合约汇率为0.63，请问一个套利者将如何交易假定2年期的期货合约汇率为0.6600，请问一个套利者将如何交易第二十三页，共三十五页。24持有成本持有成本＝保存成本＋利息成本－标的资产在合约期限内提供的收益具体例子：不支付红利的股票，没有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r股票指数的持有成本是r－q外币的持有成本是r－。远期和期货定价中的持有成本（c）概念：第六节远期与期货价格的一般结论第二十四页，共三十五页。非完全市场上的定价公式25存在交易成本：假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间：借贷存在利差如果用表示借入利率，用表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是。这时远期和期货的价格区间为：存在卖空限制因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：第二十五页，共三十五页。26如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：完全市场可以看成是的特殊情况。

消费性资产的远期合约定价消费性资产则是指那些投资者主要出于消费目的而持有的资产，如石油、铜、农产品等。对于消费性资产来说，远期定价公式

不再适用，而是转化为第二十六页，共三十五页。27同一时刻的两者价格高低取决于持有成本在远期（期货）到期日，远期（期货）价格将收敛于标的资产的现货价格标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货）价格起着重要的制约关系价格的领先滞后关系第七节远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系第二十七页，共三十五页。当前远期（期货）价格与标的资产预期的未来现货价格的关系

**在一个无套利的有效市场中，标的资产和其冗余证券期货之间具有一体化性质，现货相对于期货的预期收益率总是正好等于标的资产的风险溢酬。**转移风险和管理风险的确是期货市场的最本质功能。28第二十八页，共三十五页。练习1.每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。第二十九页，共三十五页。2.假设连续复利的零息票利率分别为：期限（月）年利率

38.068.298.4128.5158.6188.7请计算第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率。第三十页，共三十五页。3.假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。第三十一页，共三十五页。4.假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。第三十二页，共三十五页。5.某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？第三十三页，共三十五页。6．瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%，瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元，2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元，请问有无套利机会第三十四页，共三十五页。内容总结第三章远期与期货定价。当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格