平面几何知识在解析几何中的应用

平面几何知识在解析几何中的应用

杨作义解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，可联系三角形的三边关系例1已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是.分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.当问题中有正三角形、直角三角形时，不妨考虑用其边角关系例2过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于.（A）（B）（C）（D）8分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60°.因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30°.又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===.而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.评注：在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”.思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.当问题中含有相似三角形时，用好相似比例3设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0（x>0）.评注：若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.当问题涉及直线与圆的位置关系时，应用圆心到直线的距离关系例4已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.分析：配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.解：把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y.由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解.其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.当问题涉及三角形的内心时，考虑使用角平分线的性质定理例5已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.证明：如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以==（定值）.评注：求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理.这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.【练一练】（1）过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为.（2）过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是.（A）（B）（C）2（D）（3）求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.【参考答案】（1）解：如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n.在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.（2）解：如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a.所以e==.答案为A.（3）解：如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1（①）.结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1（②）.由①②两式解得：a=，b=.所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，可联系三角形的三边关系例1已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是.分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.当问题中有正三角形、直角三角形时，不妨考虑用其边角关系例2过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于.（A）（B）（C）（D）8分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60°.因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30°.又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===.而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.评注：在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”.思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.当问题中含有相似三角形时，用好相似比例3设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0（x>0）.评注：若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.当问题涉及直线与圆的位置关系时，应用圆心到直线的距离关系例4已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.分析：配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.解：把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y.由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解.其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.当问题涉及三角形的内心时，考虑使用角平分线的性质定理例5已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.证明：如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以==（定值）.评注：求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理.这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.【练一练】（1）过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为.（2）过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是.（A）（B）（C）2（D）（3）求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.【参考答案】（1）解：如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n.在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.（2）解：如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a.所以e==.答案为A.（3）解：如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1（①）.结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1（②）.由①②两式解得：a=，b=.所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，可联系三角形的三边关系例1已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是.分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.当问题中有正三角形、直角三角形时，不妨考虑用其边角关系例2过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于.（A）（B）（C）（D）8分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60°.因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30°.又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===.而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.评注：在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”.思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.当问题中含有相似三角形时，用好相似比例3设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0（x>0）.评注：若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.当问题涉及直线与圆的位置关系时，应用圆心到直线的距离关系例4已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.分析：配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.解：把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y.由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解.其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.当问题涉及三角形的内心时，考虑使用角平分线的性质定理例5已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，