第29讲函数的单调性及最值

第29讲函数的单调性及函数最值解析版【基础知识回顾】函数的单调性的定义(1)在区间上的任意取两个值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．(2)在区间上的任意取两个值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．一次函数，单独递增，单独递减二次函数，单调性考虑开口和对称轴指数函数，单独递增，单独递减对数函数，单独递增，单独递减(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．【典型题型讲解】考点一：函数的单调性例1.已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A例2.下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，故选：A【方法总结】函数的单调性的定义应用常见函数单调性的判断【练一练】1.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x2【答案】B【解析】y=1在区间（－∞,0）上不增不减;y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增;y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减;y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.2.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确，对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误，对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误，对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误，故选：A3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】对于A中，根据幂函数的性质，可得函数为奇函数，不符合题意；对于B中，函数，满足，所以函数为奇函数，不符合题意；对于C中，根据二次函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，当，可得为单调递增函数，符合题意.故选：D.4.函数f(x)=在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.5.设函数是上的减函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】当时，选项A、B、C都不正确；因为，所以，因为在上为减函数，所以，故D正确.故选：D6.函数的图象如图所示，则（）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C．函数在上单调递减D．函数在上单调递增【答案】A【详解】由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的，则函数在上是单调递增的；图像在上从左到右是“下降”的，则函数在上是单调递减的.故选：A.7.函数的单调区间为（）A．在上单调递增B．在上单调递减C．在单调递增，在单调递减D．在单调递减，在单调递增【答案】D【详解】的对称轴为，开口向上，所以在在单调递减，在单调递增，故选：D考点二：含有参数的单调性例1.若函数在上单减，则k的取值范围为__________.因为函数在上单减，所以，得，所以k的取值范围为.故答案为：例2.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，函数在，上单调递减，要使在区间，上单调递减例3.若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.若f（x）＝是R上的单调减函数，得则，解得，故答案为：.【方法总结】灵活应用常见函数的单调性【练一练】1.如果在区间上为减函数，则的取值（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意；当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：，∴；综上：，故选：C．2.若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有（）A．a≥B．a≤C．a>D．a<【答案】D【详解】函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选：D.3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数的对称轴为，由于在上是减函数，所以.故选:A4.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D5.函数在上是减函数.则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，函数在上是减函数，根据一次函数的性质，则满足，解得.故选：B6.若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.考点三：函数的最值例1.已知函数，则的最大值为（）．A．B．C．1D．2【答案】D【详解】因为在上单减，所以在上单减，即在上单减，所以f(x)的最大值为.故选：D【方法总结】函数最大值和最小值求法【练一练】1.已知函数，则在区间上的最大值为（）A．B．3C．4D．5【答案】C【详解】在单调递减，.故选：C.2.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（）A．-1B．1C．3D．1或3【答案】B【详解】解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，所以，故选：B3.若，都有不等式，则的最小值为（）A．0B．C．D．【答案】D【详解】设，由不等式对一切成立可得，.因为在上是减函数，所以当时，，所以，即，所以.故选：D【巩固练习】1．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.2．下列函数中是增函数的为（）A．B．C．D．【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.3．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C4．已知函数，则不等式的解集是（）．A．B．C．D．【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐