高二二项式定理素质能力提高竞赛综合测试（原卷版）

高二二项式定理素质能力提高竞赛综合测试第I卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设、、为整数，若和被除得的余数相同，则称和对同余，记为，已知，，则的值可以是A．2010 B．2011 C．2008 D．20092．已知，则A． B．0 C．14 D．3．已知，则（

）A． B．C． D．4．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．5．设是常数，对于，都有，则（

）A． B． C． D．6．我们称数列与数列为“隔项相消数列”，其中a，b，c，，则.已知数列的通项公式为，其中，函数表示不超过实数x的最大整数，则除以4的余数为（

）A．0 B．1 C．2 D．37．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（

）A． B． C．2021 D．8．已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（

）A．13 B．14 C．15 D．16二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（

）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为C．D．10．已知下列说法正确的是（

）A．设，则数列的前项的和为B．C．=()D．为等比数列11．已知，设，其中则（

）A． B．C．若，则 D．12．对于二项式，以下判断正确的有（

）A．存在，展开式中有常数项B．对任意，展开式中没有常数项C．对任意，展开式中没有的一次项D．存在，展开式中有的一次项第II卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为___________.14．已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和__________．15．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是__________．①当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；②；③；④．第0行

第1行

第2行

第3行

……

……第n行

……

16．课本中，在形如……的展开式中，我们把）叫做二项式系数，类似地在…的展开式中，我们把叫做三项式系数，则……的值为______.四、解答题17．回答下列问题(1)设为正奇数，，，…，是1，2，…，的任意一个排列，证明：必为偶数.(2)证明：的小数点后一位数字是9.18．已知（为正整数）的二项展开式中.(1)若，求所有项的系数之和；(2)若，求展开式中的有理项的个数；(3)若，求系数最大的项.19．在中，把称为三项式的系数．(1)当时，写出三项式的系数的值；(2)类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出时的；(3)求（用组合数表示）．20．在①，②展开式中二项式系数最大值为7m，③条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知，且___．(1)求m的值；(2)求的值（结果保留指数形式）．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．）21．已知展开式的二项式系数和为512，．(1)求的值；(2)求系数绝对值