高一数学复习专题四：点线面之间的平行垂直关系

专题四《点线面之间的平行垂直关系》一、四个公理公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理典型例题1.下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝，则M∈ll（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A．1B．2C．31/122.下列命题中正确命题的个数是（（1）三点确定一个平面）⑵若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在同一平面内⑶两两相交的三条直线在同一平面内⑷两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3二、线面、面面关系2/12三、线面角、平面角（书P66）3/12典型例题1.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④2.设是两个不同的平面，是一条直线，,l以下命题正确的是()A．若C．若，则，则B．若D．若，则，则l//,//l,lllll,//l//,3.如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是，a则直线AB和平面的位置关系一定是()A、平行B、相交D、ABC、平行或相交4/124.已知是两条不同直线，,n是三个不同平面，,,5.下列命题中正确的是()‖若,,则‖‖‖若m,n,则mnA、C、B、D、‖‖‖若m,m,则‖m,n,mn若则5/126.在四棱锥中，平面PDABCD，，ADCDPABCD且DB平分ADC，E为PC的中点，（Ⅰ）证明PA//平面BDE1,22（Ⅱ）证明平面PBDAC（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值（1）证明：设，连结EH，ACBDH在中，因为AD=CD，且DB平分ADC，ADC所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH//PA,又平面,平面,所以PA//平面BDE（2）证明：因为，，平面平面所以由（1）知，故PDAC,BDACD,平面(3)解：由可知，AC平面PBDBH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角。由,ADCDADCDDB22,2322可得,213在中，,BHC1所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。36/127.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝．a（1）求证：MN∥平面PMC⊥平面PCD．（1）证明：如答图所示，设PD的中点为E，P连结AE、NE，NE1由N为PD的中点知ENDC，C2D1又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB2AMB又M是AB的中点，∴ENAN，∴AMNE是平行四边形∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD∴MN∥平面PAD⑵证明：∵PA＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.7/8.如图所示，四棱锥中，PABCD底面ABCD为正方形，平面ABCD，PDAB2，、、G分别为、、的中点．PCBC（1）求证：平面PBC⊥面PDCEFGPA//（3）求三棱锥PEFG的体积．PEFGCBAD）∵，，分别为、、的中点．EFGPCBC∴EF∥DC,EG∥PBPE∵PB平面PAB,EG平面PAB∴EG∥平面PABFGCB∵底面ABCD为正方形∴DC∥AB∴EF∥ABAD∵AB平面PAB,EF平面PAB∴EF∥平面PAB∵EF∩EG＝E，∴面EFG∥平面PAB，∵PA平面PAB∴PA∥平面EFG（2）∵PD⊥平面,CB平面ABCDABCD8/∴PD⊥CB∵底面ABCD为正方形∴DC⊥CB∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵BC平面PBC∴面PBC⊥面PCD(3)∵底面ABCD为正方形,2∴DC=AB=2∵，，分别为、、的中点,EFGPCBC11∴EFDC=1，PF=PD=1,CG=1//22∵PD⊥DC∴EF⊥PD由（2）得BC⊥平面PCD，且G在BC上∴CG为三棱锥PEFG的高11116VVSCG(11PG3329/129.如图所示：直三棱柱ABC—ABC=2，ACB1111为BB中点，，D为AB的中点A9011（1）求证：CD平面AABB；A111C1（2）求二面角C—AE—D的大小；1B1（3）求三棱锥A—CDE的体积。1EACDB4510/1210.如图，在三棱锥中，底面，PABCABC,PAAB,ABC60,BCA90点，分别在棱DE上，且；PACPB,DE//BC（1）求证：平面BC（2）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；PACD（3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.EAPPA⊥底面ABC，∴PA⊥.又90，∴⊥.∴⊥平面PAC.（2）∵D为PB的中点，DE//BC，12又由（Ⅰ）知，⊥平面PAC，∴⊥平面PAC，垂足为点.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面，∴PA⊥，又PA=AB，1∴△ABP为等腰直角三角形，∴，21∴在△ABC中，ABC60，∴.BCAB2∴在△ADE中，2，242∴与平面所成的角的大小PAC.4⊥平面PAC，