高中数学校本教程-数学服务生活

序言新一轮课程改革的一大亮点就是实行国家课程、地方课程和校本课程三级管理模式，“校本课程”是指学校在党的方针政策、国家和地方课程计划的指导下，以明确而独特的办学教育哲学为指导思想，以进一步提高学校的教育教学质量为导向，在对地方、学校和学生的需求进行系统评估的基础上，充分利用当地社会和学校的课程资源，通过自行探讨、设计或与研究人员或其他力量合作等方式编制的多样性的、可供学生选择的课程，是对国家课程和地方课程的重要补充，是国家和地方课程计划中不可缺少的重要组成部分。数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。通过介绍数学在航海、企业决策、国计民生的宏观控制等方面的应用，激发学生学习数学的兴趣。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第2页。数学是打开知识大门的钥匙，是人文科学和逻辑思维的基础。通过介绍数学在航海、企业决策、国计民生的宏观控制等方面的应用，将数学知识巧妙地运用于生活之中，激发学生学习数学的兴趣，高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第2页。“千里之行，始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识，在灵感中启迪智慧，在和谐中走向成功！高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第3页。目录序言 1第一讲集合与生活 6§1集合概述 6§2、“集合”与“模糊数学” 10数学故事：华罗庚与苏步青的人生 12第二讲函数中的趣题 15§1、一份购房合同 15§2、孙悟空大战牛魔王 18第三讲三角函数的趣题 22§1、直角三角形 22§2、月平均气温问题 25课外阅读：导航的双曲线 27第四讲线性规划与最优化 29§1、线性规划概述 29§2、数学建模－线性规划模型 33§3、线性规划的应用实例 37课外阅读：煤商怎样进煤利润高 45第五讲生活中的数学 49§1、电冰箱温控器的调节 49§2、哪种投票制度最合理 57数学欣赏：Music与数学 65第六讲排列组合中的趣题 67§1、抽屉原理 67高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第4页。§2、摸球游戏 69高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第4页。数学欣赏：龟背上的学问 71课外阅读：生活中的排列组合 73第七讲让数学帮你理财 77§1、生活小理财 77§2、巧用数学看现实 79§3、商品调价中的数学问题 81课外阅读：单利和复利的区别 83第七讲生活中的概率现象 87§1、概率中的趣题 87§2、简易逻辑中的趣题 92课外阅读：赌马中的数学问题 96第九讲把握或然，你会更聪明 99§1、车与羊三扇门概率问题 99§2、三类概率问题的处理方法 103第十讲奇妙数列 107§1、数列在生活中的应用（一） 107§2、数列在生活中的应用（二） 110§3、数列在生活中的应用（三） 114数学欣赏：e和银行业 117第十一讲数列中的趣题 120§1、柯克曼女生问题 120§2、数列中的趣题—数列的应用 123学海拾贝：算法妙用 126第十二讲反其道而行之，克“敌”致胜 129高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第5页。§1、反证法慨念 129高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第5页。§2、反证法应用 132课外阅读：生活中的反证法 135第十三讲不等式性质的应用 138§1、温故知新 138§2、“两边夹不等式”的推广 140第十四讲不等式性质应用趣题 144§1、均值不等式的实际应用（一） 144§2、均值不等式的实际应用（二） 146§3、均值不等式的实际应用（三） 148第十五讲立体几何趣题 152§1、正多面体拼接构成新多面体面数问题 152§2、球在平面上的投影 156数学欣赏：蜂房中的数学 160课外阅读：生活中的立体几何 162第十六讲解析几何中的趣题 167§1、神奇的莫比乌斯圈 167§2、最短途问题 169学海拾贝：世界数学难题欣赏——哥尼斯堡七桥问题 170第十七讲高中数学学习方法及解数学题的策略 173§1、高中数学学习方法 173§2、解数学题的策略 180学海拾贝：世界数学难题欣赏——哥德巴赫猜想 184高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第6页。第一讲集合与生活§1集合概述1、集合定义集合论是德国数学家康托（cantor,1845～1918）在十九世纪七十年代开创的，后来，集合论的思想渗透到数学的各个分支，在现代数学中，越来越广泛而深入的用到集合的概念，它已成为数学的逻辑基础。然而，究竟什么是集合？当初康托所指的集合无非是集体的意思，他是把集合当作一个日常用语而不是一个数学用语来使用。但是，人们不久发现，他的含糊的定义引起了难以克服的混乱，于是大家试图用公理系统来代替集合的定义。这个工作可以说是自1908年策莫洛（zeremelo,1871～1953）提出第一个公理系统时开始的。公理系统显然比传统的定义精密得多，但集合论的公理系统至今还不完备。因此目前集合论还不能认为是圆满的。2、罗素怪异与理发师悖论一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。高中数学校本教程——高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第7页。这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。3、集合运算：例1：｛x|x为矩形｝∩｛x|x为菱形｝=｛x|x位正方形｝：几何图形性质运算。例2：｛x|x－1＞0｝∩｛x|0＜x－1＜10｝=｛x|1＜x＜10｝：数轴上数的运算。例3：解方程组：eq\b\lc\{(\a(x-y+1=0,3x+y-9=1))即两直线交点坐标：{(x,y)|x-y+1=0且3x+y-9=1}高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第8页。例4：解不等式组：eq\b\lc\{(\a(x2+y2≥1,y≤x))高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第8页。4、差集和补集的运算:A-B=由定义显然：A-BB-A例5：A=B=C=D=则有下列运算：A-B=C-B=D-B=5、基数概念：设集A是一个有限集，则A里不同元素的个数叫做A的基数，记为n(A),设A和B是有限集，他们基数分别为n(A),n(B)表示，则有下面关系：n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)，n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)例6：某班学生50人，每人至少懂得一种外语（英语或日语），其中懂得英语的有40人，懂得日语的20人，问懂得英语和日语两种语言有多少人。解：设A=｛班上懂得英语的学生｝B=｛班上懂得日语的学生｝A∪B=｛班上的学生｝A∩B=｛班上既懂得英语又懂日语的学生｝n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)=40+20-50=10高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第9页。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第9页。解：A=｛参加音乐组的学生｝B=｛参加舞蹈组的学生｝C=｛参加戏剧组的学生｝n(A)=35n(B)=34n(C)=29n(A∩B)=12n(B∩C)=14n(C∩A)=13n(A∩B∩C)=5n(A∪B∪C)=35+34+29-12-13-14+5=64思考：现有2000盏电灯，编号为1—2000，每个灯的开关都为乒乓键，若第一次拉一下编号为2的倍数的灯、第二次再拉一下编号为3的倍数的灯、最后拉一下编号为5的倍数的灯，问操作结束后，有几盏灯亮着，几盏灯灭着？高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第10页。§2、“集合”与“模糊数学”教学目标：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；教学过程：一、情境引入1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学分支——模糊数学。二、实例尝试，探求新知模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：来描述。扎德将特征函数改成所谓的“隶属函数”，这里A称为“模糊函数”，称为x对A的“隶属度”。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第11页。经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，=1时表示百分之百隶属于A；=0时表示不属于A还可以有百分之二十隶属于A，百分之八十不隶属于A……等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学，模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第11页。例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？⑴如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？⑵如果每一位同学都只参加一次运动会,问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。⑴因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减去,8+12-5=15．⑵8+12=20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.三、本课小结通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。四、作业下列各组对象能否形成集合？⑴高一年级全体男生；⑵高一年级全体高个子男生；⑶所有数学难题；⑷不等式的解；高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第12页。数学故事：华罗庚与苏步青的人生华罗庚的故事高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第13页。温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。人只有经过苦难磨练才有望获得成功！我国著名的数学家华罗庚爷爷的成功就得益于他的坎坷经历。少年时代的华罗庚家境贫寒，疾病缠身。18岁那年，华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来，出任金坛中学校长。华罗庚是他得意的门生。他一心要接济华罗庚。不久，经王校长介绍，华罗庚到金坛中学做了个勤杂工，负责收发信件、报纸做杂务。华罗庚做勤杂工时，手脚勤快，每天忙忙碌碌地干完事就捧起数学课本学习。王校长看在眼里，喜在心里。他为这位勤奋肯学的年轻人而感到骄傲。真是天有不测风雨。华罗庚被一场伤寒病拖垮，医生作出“无法医救”的诊断。全家人悲痛万分，王校长更是觉得十分惋惜。但是死神终究没有把他拽走，他又奇迹般地活了过来，只是左腿僵硬，落下了终身残疾。华罗庚一瘸一跛地又去高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第13页。苏步青的故事苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第14页。杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第14页。17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第15页。第二讲函数中的趣题§1、一份购房合同教学目标：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：一、情境引入最早把"函数"（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是"像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量".1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（JohnBernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了"变量"这个词。他写到："变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。"他的学生，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707-1783，被称为历史上最"多产"的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为："变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式"，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。二、实例尝试，探求新知高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第16页。例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%,房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第16页。解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a=(72×1000-28800-14400)×1.075仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a=(72高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第17页。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第17页。解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。三、本课小结通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考四、作业家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量，是所经过的时间．⑴随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？⑵多少年后将会有一半的臭氧消失？高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第18页。§2、孙悟空大战牛魔王教学目标：体会数学在实际问题中的应用价值．教学过程：一、故事引入孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经.高中数学校本教程——高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第19页。这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第20页。解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第20页。例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.y=(100+x)(600-5x)=-5x+100x+60000.=-5(x-10)2+60500即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500个橙子。三、本课小结通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。四、作业高中数学校本教程——高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第21页。作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜1/21100元烟叶1/3750元小麦1/4600元请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数）高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第22页。第三讲三角函数的趣题§1、直角三角形教学目标：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。教学过程：一、情境引入直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.二、例题分析例1、海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第23页。解析：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第23页。从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险例2、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?解析：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD=AB=×20×16=160＜200，∴B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第24页。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第24页。AE=AD-DE=160-120，∴=3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高.(结果精确到0.01m)三、本课小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.四、作业如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号).高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第25页。§2、月平均气温问题教学目标：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学过程：一、谈话导入数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。二、典例分析例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0根据数据求出y=f(t)的拟合函数，y=3sineq\f(π,6)t+10,一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第26页。解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3sineq\f(π,6)t+10≥11.5，sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)，2kπ＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)t≤2kπ＋eq\f(5π,6)k∈Z,得12k＋1≤t≤12k＋5k∈Z，在同一天内，取k=0或1，1≤t≤5或13≤t≤17，所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时退出，在港口内最多停留16小时。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第26页。例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在△ＡＢＣ中，sinＡ+cosＡ=eq\f(eq\r(,2),2)，AC=2cm，AB=3cm，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精确到1cm2）。

解析：∵sinＡ+cosＡ=eq\f(eq\r(,2),2)，①

∴(sinＡ+cosＡ)２＝eq\f(1,2).

∴２sinＡcosＡ＝－eq\f(1,2).∵0°＜Ａ＜180°，∴sinＡ＞０，cosＡ＜0.∵(sinＡ-cosＡ)２=1-２sinＡcosＡ=eq\f(3,2)，∴sinＡ-cosＡ＝eq\f(eq\r(,6),2).②①+②，得sinＡ=eq\f(eq\r(,2)+eq\r(,6),4)，S△ABC=eq\f(1,2)AC·AB·sinＡ＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(eq\r(,2)+eq\r(,6),4)＝eq\f(3eq\r(,2)+eq\r(,6),4)(cm２)∴要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：1200×eq\f(3eq\r(,2)+eq\r(,6),4)≈3477(cm２)答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.三、本课小结高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第27页。三角函数不但应用于数学的各个分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践中,.在实高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第27页。四、作业把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？课外阅读：导航的双曲线我们小时侯都曾梦想，长大以后要当上船长就好了。在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗?好，让我们的双曲线来帮助你吧。它是大海的导航员。

先来看一看原理。假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第28页。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第28页。我站在广场上，听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后的半秒钟，又听到了第二声“金色的太阳”。由于两个喇叭离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差。再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了。因此可以找到很多这样的点。这些点就构成了双曲线的一支。轮船航行在海上时，它就处于人的位置。岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗?船长们就是这样来导航的。高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第29页。第四讲线性规划与最优化§1、线性规划概述一：什么是线性规划方法?线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题。二：线性规划模型的适用性线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第30页。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第30页。企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。⑴变量

变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。⑵目标函数

将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。⑶约束条件

约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。约束条件的数学表示形式为三种，即≥、＝、≤。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第31页。⑴高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第31页。⑵计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。⑶任务分配问题—分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。⑷下料问题—如何下料，使得边角料损失最小。⑸运输问题—在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。⑹库存问题—如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。应用线性规划建立数学模型的三步骤：⑴明确问题，确定问题，列出约束条件。⑵收集资料，建立模型。⑶模型求解(最优解)，进行优化后分析。其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。四、运用线性规划模型进行总生产计划时的问题1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化；高中数学校本教程——高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第32页。3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到；4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第33页。§2、数学建模－线性规划模型一：问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。例1若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：⑴全部截出长为698mm的甲件，一共可截出eq\f(4000,698)≥5件，残料长为510mm；⑵全部截出长为518mm的乙件，一共可截出eq\f(4000,518)≥7件，残料长为374mm。由此可以想到，若将x个甲件和y个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：698x+518y≤4000x，y都是非负整数目标是使：z=eq\f(698x+518y,4000)（材料利用率）尽可能地接近或等于1。（尽可能地大）该问题可用数学模型表示为：目标函数：z=eq\f(698x+518y,4000)高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第34页。满足约束条件：eq\b\lc\{(\a(698x+518y≤4000⑴,x，y都是非负整数⑵))高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第34页。例2某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。III设备128台数原材料A4016kg原材料B0412kg该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？这问题可以用以下的数学模型来描述：设x1,x2分别表示在计划期内产品I、II的产量。因为设备的有效台数为8，这是一个限制产量的条件，所以在确定I、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：x1+2x2≤8.同理，因原材料A、B的限量，可以得到以下不等式：4x1≤16;4x2≤12该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1,x2以得到最大的利润。若用z表示利润，这时z=2x1+3x2.综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数：z=2x1+3x2高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第35页。满足约束条件：eq\b\lc\{(\a(x1+2x2≤8,4x1≤16,4x2≤12,x1＞0,x2＞0))高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第35页。该模型的特征是：⑴有一组决策变量(x1,x2,…,xn)表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负的。⑵存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性等式（不等式）来表示。⑶有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型。其一般形式为：，目标函数：z=c1x1+c2x2+…+cnxn满足约束条件：eq\b\lc\{(\a(a11x1+a12x2+…+a1nxn≥b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn≥b2,……,am1x1+am2x2+…+amnxn≥bm,x1，x2，…，xn＞0))二：问题的解决穷举法以例1为例介绍穷举法。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第36页。先根据⑴求出x所有可能的取值为：0、1、2、3、4、5，再由（1）把相应y的最大值求出，对应为7、6、5、3、2、0，依此计算住高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第36页。x012345y765320z90.65%95.15%99.65%91.20%95.70%87.25%由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率99.65%。高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第37页。§3、线性规划的应用实例例1

某工厂甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg，煤1kg，产值为100元。现钢厂有钢材600kg，煤400kg，试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？解：设甲、乙两种产品的产量分别为X1、X2，则总产值是X1、X2的函数f(X1，X2)＝120X1＋100X2资源的多少是约束条件：由于钢的限制，应满足2X1＋3X2≤600；由于煤的限制，应满足2X1＋X2≤400。综合上述表达式，得数学模型为求最大值（目标函数）：f(X1，X2)＝120X1＋100X2目标函数：eq\b\lc\{(\a(2X1＋3X2≤600,2X1＋X2≤400,X1≥0，X2≥0))Xl，X2为决策变量，解得Xl≤150件，X2≤100件fmax＝(120×150＋100×100)元＝28000元故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第38页。例2

某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺规定，产品甲和乙在各设备上所需加工台数列表于表1-1中。已知设备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12(一台设备工作lh称为一台时)，该工厂每生产一件甲产品可得利润20元，每生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计划，才能得到最多利润？

解高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第38页。设

X1、X2分别表示甲、乙产品的产量，则利润是f（X1，X2）=20X1＋30X2，求最大值。设备的有效利用台时为约束条件：A：2X1＋2X2≤12B：X1＋2X2≤8C：4X1≤16D：4X2≤12X1≥0，X2≥02）求解未知数X1≤4、X2≤3，但由式（l）、式（2）得X1≤4、X2≤2，所以取X1≤4、X2≤2故fmax＝(20×4＋30×2)元＝140元3）结论：在计划期内，安排生产甲产品4件、乙产品2件，可得到最多的利润(140元)。例3.某工厂为维修全厂某类设备制造备件，需由一批5.5m长的相同直径的圆钢截取3.1m、2.1m、1.2m的胚料。每台设备所需的件数如表1-2所示。用5.5m长的圆钢截取上述三种规格的零件时，有下列五种截取方法可供选择，如表1—2所示。问当设备总数为100台时，采取何种方案可使5.5m的圆钢用料最省？

高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第39页。表1-2

高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第39页。表1-3

五种截取方法方案截取3.1的根数截取2.1的根数截取1.2的根数所剩料头11100.321020302107假设：按第一方案截取的5.5m长的圆钢数为X1按第二方案截取的5.5m长的圆钢数为X2按第三方案截取的5.5m长的圆钢数为X3按第四方案截取的5.5m长的圆钢数为X4按第五方案截取的5.5m长的圆钢数为X5据此表1-4：高中数学校本教程——高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第40页。eq\b\lc\{(\a(X1+X2=100,X2+2X3+X4=200,2X2+X3+2X4+4X5=400,X1、X2、X3、X4、X5≥0))目标函数为：fmin＝X1＋X2＋X3＋X4＋X5通过计算机运算得最优解为X1=0、X2=100、X3=100、X4＝0、X5=25，故最优值(最省方案)为fmin=225根对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程清楚、图形清晰。例4

设有一线性规划问题表达式(包括目标函数、约束条件)如下fmax＝50X1＋40X2eq\b\lc\{(\a(X1＋X2≤450,2X1X2≤800,X1+3X2≤900,X1X2≥0))以X1，X2为坐标，当式(l)为等式，即X1＋X2＝450时，在X1，X2坐标系，它是一条直线，但式(l)不是等式，而是X1＋X2≤450，即在式(1)表示的约束条件中给定的不仅是在直线上的所有点，而是在直线X1＋X2=450左下部一个广大的区域(包括直线在内的阴影线部分)，见图1-1，例如X1＝0、X2=0，X1＝-5、X2=0,X1=3、X2=-3等等,都是满足式(1)的点。同理，也可以在X1，X2坐标系中画出式(2)、(3)、(4)所决定的4条直线，连同式(1)，共5条直线，如图1-2所示。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第41页。由图1-2所示的5条直线所围成的一个凸多边形，就是约束条件给定的区域，其中所有的点都满足约束条件高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第41页。

图1-1

某线性规划问题

图1-2

某线性规划问题中的约束条件高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第42页。解:由于目标函数f＝50X1＋40X2，在f为一定值时也是一条直线，其斜率为-40/50。当f为不同值时，在X1，X2坐标系中实际上是一系列的平行线，则尽管在每一条直线上X1，X2取不同的值，f总是某一定值。例如图1-3中的直线I，当X1=0、X2=0时；当X1=4、X2高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第42页。图1-3

目标函数f的等值线由于直线I是等直线，而且斜率相等，它们又是一系列平行线，因此只要画出其中任意的一条线，将它们平移到某个与凸集相交的极限位置，所得的交点就是既满足约束条件(在凸集范围内)，又使f值为最大的现代战争最优解。如下图1-4中的点，X1=350，X2=100，f=21500。

图1-4

某线性规划问题的最优解高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第43页。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第43页。在实际应用中，即使有了单纯形的解法，仍不能应付复杂情况的求解，如以一个有77个变量,9个约束条件的线性规划问题为例，用单纯形法进行手工计算约需120工作小时，这样大的计算量必须借助于计算机来完成(该题用计算机求解仅需12min)。练习：1．某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利120元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？（甲20件，乙24件，获利4280元）2．电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第44页。3．预测20高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第44页。届次成绩（米）届次成绩（米）届次成绩（米）714．811517．412121．05814．9551618．572221．35915．871719．682321．261016．0051820．332422．471116．201920．542521．701417．122021．1826？4．预测2010年我国进出口总额。年份进出口总额年份进出口总额年份进出口总额1981419876．8199319．619823．919887．919942419834198911．2199528．119845199011．519962919856199113．519866199216．62010？高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第45页。课外阅读：煤商怎样进煤利润高日常生活中，有许多事情可采取多种方法来完成．哪种方法最好呢？比如：哪种方法最省时，或者最省钱等．如果开办加工厂，加工某种东西，又怎样获得利润最高？这都需要精打细算．比如开办一个煤厂吧！也就是把煤沫加工成蜂窝煤，它需要以下几个步骤：1.购买煤沫；2．掺好煤土；3．加工成品；4．销售．虽然仅有这么简单的四步，但也要仔细计算一下，然后再决定怎样使煤厂利润更高．然而，使煤厂利润更高，会受到多种因素的影响，这里我们重点研究购买哪种煤沫利润更高，但还要注意成品的销售情况。煤厂现在可以进购两种煤沫，一种好些，价钱当然贵了，可多掺黄土；另一种次些，价钱也就便宜，但掺黄土不能过多。煤厂进哪一种煤沫利润更高呢？这就要通过计算了，这里有三种方法。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第46页。第一种，进购好煤沫，好煤沫的进价是每吨105元，掺上占煤沫的40％，掺水占煤土的8％，加工好的蜂窝煤售价是每吨88元，我们来计算一下进购好煤沫10吨的利润是多少．首先要得出10吨煤掺黄土和水后，可加工多少吨蜂窝煤，再算出总价，减去成本，求出利润．用10吨煤沫掺上40％的黄土共是14吨煤工，再掺上占煤土的8％的水1.12吨．共是15.12吨煤，加工后可卖88××高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第46页。｛88×「10＋10×40％1（10X40％）×8％]－（105X10＋18X4＋0.6XI.12)}÷15.12≈13．7元．第二种，进购次煤沫．次煤沫的进价是每吨85元，掺上占煤沫20%的土和占煤土8%的水，加工好的蜂窝煤的售价同样也是每吨88元．我们同样计算进购10吨次煤的利润是多少，方法与计算好煤利润相同．用10吨煤沫掺上占它的20％的黄土，共是12吨煤土，再掺上煤土的8％的水0.96吨，共是12.96吨煤，加工后可卖88×12.96=1140.48元．我们同样也算一下它的成本，每吨煤沫85元，10吨共850元，每吨黄土18元，2吨共36元，每吨水0.6元，0.96吨为0.576元，这12.96吨煤的成本为850+36+0。576=886.576元，它的利润为1140.48-886.576=253.904元，平均每吨煤的利润约为17.2元，这段话用武子表示为：{88×[10+10×2O%+(10+10×20%)×8%]-（85×IO+18×2+0.6×0.96）}÷12.96≈17．2元．第三种，进购好次两种煤沫，为了使煤质好些，所以好煤与坏煤的混合比例为2：1．掺上占煤的百分之多少呢？掺水又占煤土的百分之多少呢？让我们来计算一下．高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第47页。我们设掺次煤A吨，掺好煤2A吨，我们算出A吨次煤和2A吨好煤各掺多少土和水，算出土共是多少，占煤沫的多少；算出水共多少，又占煤土的百分之多少．好煤应掺它40％的土，所以2A吨好煤应掺2A×40％=80％A吨的土，也就是0.8A吨，这种煤土应掺它8％的水，所以（2A十0.8A）吨煤士应掺水（2a+0.8A）×8％=22.4％A吨，也就是高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第47页。我们算完了2A吨好煤应掺的土和水，再来算一下A吨次煤应掺多少土和水．次煤应掺的土占它的20％，所以A吨次煤应掺A×20％=20％A的土，也就是0.2A吨，这种煤土应掺的水仍占它的8％，所以（A＋20％A）吨的煤土应掺水（A+20％A)×8％=9.6％A吨，也就是0.096A吨．我们现在可以算出好、次两种煤共应掺黄土(0.8A+0.2A)=A吨，占3A吨煤的eq\f(1,3)，再来算一下水占煤土的百分之几，eq\f(0.22A+0.096A,3A+A)这种掺法，水和煤土的百分之比与好次煤土所按的水一样，仍是8％．高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第48页。我们知道了混合煤土所掺土和水的百分比之后，就来算一下10吨混合煤加工成煤后，它的利润又是多少．方法与求好次煤利润的方法相同．10吨混合煤应是10×eq\f(1,3)吨的次煤和10×eq\f(2,3)吨的好煤混合成的，混合煤掺上它的eq\f(1,3)的土共是13eq\f(1,3)吨，再掺上煤土8％的水eq\f(16,15)吨，共是14.4吨，加工后可卖88×14.4=1267.7元，再算一下它的成本是6eq\f(2,3)吨好煤共700元，eq\f(10,3)次煤共283eq\f(1,3)元，3eq\f(1,3)吨黄土共60元，eq\f(16,15)吨水共eq\f(16,25)元，这14.4吨煤的成本是1043eq\f(73,75)元，利润为223eq\f(109,250)元，平均每吨煤获利润15.5元，这段话用式子表示为：高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第48页。

通过计算，我们很明显的可以看出，进购次煤利润会更高，但是还要注意一下销售这个问题，因为煤厂一个冬天就要卖几百上千吨的煤。所以仅看每吨煤的利润是不行的，还要看一看哪种煤卖得快、卖得多。我们分析一下三种煤的销售情况，好煤沫加工成的煤，煤质好，大家都愿意买这种煤，混合煤沫加工后的煤，因为好煤沫多一些，煤质就不如那两种煤了，火苗又小烧得时间又短，大家都不愿意买这种煤，如果厂家大量加工第三种煤，就卖不出去了。而另外两种煤，混合煤的利润高一些，且也很受大家欢迎，所以煤厂就大批加工这种煤。高中数学校本教程高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第49页。第五讲生活中的数学§1、电冰箱温控器的调节——如何使电冰箱使用时间更长中国自从1978年改革开放之后，人民生活水平日益提高，许多家庭都购买了电冰箱等家用电器。但是也有许多家庭并不了解电冰箱的工作原理，更不了解电冰箱温控器的工作原理及其调节方法。人民生活水平固然提高了许多，但是现在也并不是都十分富裕。不正确的使用电冰箱势必会缩短其使用寿命，带来了不必要的麻烦，同时也浪费了自然资源和财力。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第50页。有一次，我们家中的一台电冰箱工作了很长时间，却一直不停机。我们吓了一跳，以为电冰箱坏了。我们高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第50页。问题：如何正确调节电冰箱温控器，使电冰箱使用寿命更长。电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低压的气态制冷剂，达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目的。压缩机、冷凝器、干燥过滤器、毛细管则是帮助并保证在蒸发器中已使用过的制冷剂回复到中温低压的液体，能再一次送回蒸发器吸热汽化，实现单向连续循环制冷。蒸发器是电冰箱中唯一制冷的器件。压缩机把蒸发器出来的低温低压的汽态制冷剂经回气管由压缩机吸入气缸，被压缩为高温高压的气态进入冷凝器，把蒸发器中吸收的热量和压缩机在压缩做功时转换的热量，利用制冷剂与周围介质之间有较大的温差，通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放热而被液化。这高压中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分，滤除其中的杂质，进入毛细管节流降压，使高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发器重复使用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质，在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第51页。电冰箱压缩机是开开停停间歇工作的。电冰箱达到箱内的设定温度是通过温度控制器控制压缩机的开、停机来完成的。压缩机运转时间长，即制冷时间长，则箱内温低；反之箱温就高。温度控制器二个触点串联在压缩机电路中，当箱内温度低到某一设定温度时则温控器触点跳开，压缩机停转，暂停制冷，随后箱内温度逐渐提高，在箱内温度高到另一设定温度时则温控器触点闭合，压缩机又运转制冷高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第51页。电冰箱温控器中的感温包感受蒸发器的温度，当温度升高或降低时，感温元件中感温剂膨胀或收缩，使非刚性元件感温腔（波纹管或膜盒）推进或退缩，从而改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温控器中机械传力放大，使感温腔微小形变产生的微小位移放大，控制电触点，使其闭合或断开电路。温控器指向的数字，并不表示确切的温度，而是表示控制温度高低的程度趋向，数字小表示控制在较高温度，数字大则表示控制在较低温度。高中数学校本教程——数学服务生活全文共189页，当前为第52页。我们认为，压缩机的使用寿命在很大程度上决定了电冰箱的使用寿命。而影响压缩机工作时间的因素主要有：外界温度、温控器档位、冷冻室食品量、开关冰箱门习惯。当电冰箱工作稳定后，冷冻室食品量对其影响十分微小，但不可以忽略不计。无论是在寒冷的冬季，还是在炎热的夏季，冰箱中的食品都是在不断