测试技术习题及题解

第二章x2-3xtAsint的均方值2x2

Tx2tdt

TA2sin2t T2A2T

Tsin2tdt2A2T

1cos2tT2

2

sinT

2p(t) 2x2p(x)dx2A2A2x

则： 2-4．求正弦信号xtAsin(t)的概率密度函数p(x)1解 tarcsinxA

dt 11xA A2x代入概率密度函数得p(x)lim1limt12dt A2A2xx0x A2 A2xA2A2x

1xtx- - x(t)

x(t)

t T1tT们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各序列系数cnn=01n01

c0a0

dtT

c

ejn0tdt

jn

ejn0t ejn0tejn0tcnnT 2 n0c2sin(n0T1)2sinc(nT)，nn0 T sinc(nT)，相位谱为T

0 o

0

/ /0 02-6．设cn为周期信号x(t)的级数序列系数，证明级数的时移特性n即：若 nn n

t0

ej0t0，令tt0

'c Tc

xtej0tc'c T

(tj)e00tj1

j0nnnn

Tn00tjnnn

t0

ej0t0

ej(2/T)t0nn

t0

ej0t0

ej(2/T)t0 C Tejn0tdt2T1sinc(nT1 T1

0 变换，X()22T1sinc(nT)(nT0 T此式表明，周期矩形脉冲信号的变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0以及所有谐频处，其脉冲强度为4T1T0被sinc(t的函数所。与级数展开得到的幅值谱之区别在

x(t)00

ttt可将符号函数看为下列指数函数当a→0 t x(t)sgn(t)

t

a0

(t(t)1/00

ttt

(t)112(f)1(f)12 jf202-10．求指数衰减振荡信号xteatsint的频谱0X() eatsin

tejt2 解

e(aj)tsin2 sin

0t

j(ej0tej0t)X()1(j)

e(ajj0)te(ajj0)t2 )1(j )2(aj) (aj)j0 002(aj)20

xtej2f0t

XfXff0

F[ei2f0t](

f0

xtej2f0t

Xf*F[ei2f0t0Xf0*(ff0)Xff00则式中x*(t)为x(t)

x*

XfX*f

X(f)eX*fx(t)e由 -f替代f

x*(t)ejX*f x*(t)e上式右端即为x*(t)的变换，证毕)=XfX*f

X

Xfxf以-t替换t

x(t) X(f)ext X(f)et与f即

xf X(t)eXtxf特殊情况,xt为偶函

X

xf

gt

1t

eat

X(f)

a22f解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据变逆换e2t

2 ej2ftdf1

ej等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t

21f2e2t

ej

1f2e2f

ej上式正是g(t)的变换式，所

g(t)

2

G(f)2e21tx(t)1x(t2.5)

(t2 31b解：根据前面例2-15求得x2(t)的频谱分别Xfsinf

(f)sin X(f) txtx1 图2-

x(t)ea

a

eatu(t)

a注意到x(t为实偶函数，t>0x(t)eatu(t)t<0x(t)eatu(t)，所以x(t)eatu(t)eatu(tX(f)Featu(t)

Xf

aX(f)

a

a

a22f在实际应用中，一般a为0

1Xf a 2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t)，x(2t)的变x(t)

tT1t

t

c

1 fTTsin c 种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的反之,时间尺度压缩(>1.)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。1-1-T-1/2T 1-T/21-T/2T- 1 1-T/41-T/4-T/2 1题图2-17 1T 3T4 Rxy()T

1sintdt

4

1sintdt

4

1sin1costT

cost3T4

cost T

T1

3T42cos21cos3T4

1

14sin2sin2-19x(t)eatu(t的自相关函数。Rx()

()

at(

(

()

其中积分的被积函数的非零区间为t0与t0tmax(00当00

x

0

eat

2at)

1xx

R()

e2atdtea

2at

ea(0

e2a)

1Rx()

1eaf(t)asint5

bcos3

b f(t)asinttb

（12 f(t)asin(3t

（8 f(t)

a

t

2-21N2n1个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T）地分布x(t，求其FT。x(t)

nnx0(tmT

(t)

(t，其FT

(sinc(。根据FT jmT

ejmTejX()X0()

X0()

1e

ejT/2(ejNT/2ejNT/2)ejT/2(ejT/2ejT/2)(ejNT/2ejNT/2)(ejT/2ejT/2sin(NTX

2sin(NT0当2m时，由罗彼塔法则可以求得 N，因此X()NX0

() sin(T2

(的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当2m（msin(NT （bsin(T2可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点2mNT冲信号，而频域则变成了只在离散点2mT22

F[Rxy()]X(f)Y(f

()] x(t)y*(t)dtej2f x(t)y*(t)ej2fd x(t)

y*(t)ej2f(t)d(t)dtej x(t)ej2fdty*((t))ej2f(t)d( X(f)Y*(fFy*(tY*f)，是FT的“反褶共轭”性质。Rxy()x(t)xy，则可得自相关 变xF[R()]X(f)X*(f)X(f)x利用FTy(t是实偶函数，那么Yf也是实偶函数。这样我们就得到了F[R()]X(f)Y*(f)X(f)Y(fy(t

x(t)2dt

X(f)2

f

dt

*x(t)X(f)ej2ftdf*

(IFT定义 x(t)X*(f)ej2ftdf X*(f)x(t)ej2ftdt

(交换积分次序

X*(f)X(f2

(FT定义X(f)第三章习题及 4321011223343210112233- -ωnA(ω)5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所能达到稳态输出。ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。ζ﹤1合理的取值，ζ0.6～0.7。的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7ζ＝0.6～0.7试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别（1）对象不同，前者对象是信号；后2已知信号x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通过传递函数为H(s)

0.005s

Xisin(ωit+φxi)的形式频幅值相位A2幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H(ω)确定，根据题设条件，可

11(0.00511(0.005)

0.005j()频幅值YiAωi)相位Y24321 4080ω数据序∑数据序∑00000000042204817639931265201322111126520000002xi229622839763292012487146x

4.54.59y

11265.69nnLxx(xix)(xin

xiyinxym

1513.93bymx1251.73xi代入上式，依次找出输出－输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏见表？？？？，根据式(线性度

Lmax100%A

220481763993126520132211yi----Sy2211.85 0.9nnH()Hi(nnH()Hi(证明：图示为两个频率响应函数各为H1()和H2()串联而成的测试系统，假设两个子系统之x(t)、y(t)，显然，根据频率响应函数的定H()Y()Y()Z( Z()X(即H()H1()H2nn个子系统串联而成的测试系统，可以将前(n-1)n个子nH()Hi(y(t)y1(t)y2(t)...yn∴

Y()

Y1()Y2()...Yn(

nnHi(τ=3.5s)，试求：(1)将其快速放入某液体中测得温度误差))(2)5˚C 其拉氏变换为H(s)YX

sY(s)H(s)X(s)

5 60s2(s y(t)L1[Y(s)]

5[t(1etenn x(t)nn y(t)

eiej(itii 28试求由两个传递函数分别 和 的两个子系统串联而成的测n23.6sn2

s2

s 28

22

-21.3j

S＝H(

2.4

222n

1（1（)2M1＝1.35/3.0＝0.45

211TdnS

H(s) nns22s s20.63snnH() nn(j)22jnn3 6.25jnnnn

(j)22j0.1τ（τ为一阶系统的时间常数或二阶系统的振荡周期）时，则δ(t)函数的筛选性质：X()(t)ejtdt0立即有Y()H()X()Hy(t)F1[H()]第四章ss

ttxs(t)cos2f0t其中w(t)

ttF[cos

t]1(

)1(2

f0F[w(t)]w(t)ej2ftdtTej2ftdt2TsinF[xs

(t)]2Tsinc2fT[1(2

)1(2

f0

f0)T]Tsinc[2(

f0)T2x(t)cos2f0tz(t)cos2fztxm(t)x(tz(t的频F[x(t)]1(2F[z(t)]1(2

f

)1(2)1(2

f0fzX(f)[1(

)1(2

f

)][1(2

f

)1(2

fz1[(4

f

)(

f

)(

f

)(

f

f03xm(t)(1cos2f0tcos2fzt的频谱。Xm(f)F[cos2fzt]F[cos2f0tcos2fzt]1[(2

f

)(

f

)]1[(4

f

)(

f

f0(

fzf0)(

fzf0

Aej2f

fH(f) 其试求当解：根据线性系统的传输特性，将函数通理想滤波器时，其脉冲响应函数h(t应是频率响应函数H(f)的逆变换，h(t) H(f)e fcAej2f0ejc c2A0fcsinc[2fc(t0第五章习题5-1.幅运显幅运显 保持量化5-2xt经抗频混滤波，变为有限带宽为fc的信号，为离散采样作准备；幅值调节经过放大或衰减，将信号的幅值调整一定值（一5V）xt，与量化器的输入电平相适应。这一予处理虽然仍采用模拟实现，但由于是信号数字分析系统中特有的和不可缺少xt的带宽，按照采样定理选定适当的采样频率fs>2fc（要考虑抗频混滤波器的截止特性）将xt采样为离散序列xn，这样的时间轴上离散而幅值模拟的信号xt变为数字序列xn5-2.0～10V2mV的微小信号，量化器的位数应当是多1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？解m。2mV102103，得m1mV101103，得m5-3.模数转换时，采样间隔1ms，0.5ms，0.25ms0.125ms。按照采样定理，要求抗Hz（设滤波器为理想低通）？解采样间隔1ms，0.5ms，0.25ms0.125ms滤波器（理想低通滤波器）500Hz，1000Hz，2000Hz，4000Hz。5-4.xt的频谱如下图所示。取采样间隔=2.5msxn在的频谱Xf。1105-

解此题的关键是要掌握在不满足采样定理时，信号超 频率的频谱部分将以采样间隔=2.5ms，采样频率400Hz，频率200Hz。信号频谱超出200Hz的部（200Hz～300Hz）200Hz200Hz～100Hz的范围之上。400Hz采样后的离散信号的频谱（只画出200Hz的121Xf Xf121 5-5．某信号xt的幅值频谱如下图画出当采样频率fs分别为1)2500Hz，2)2200Hz，3)2时离散信号xn在0～fN之间的幅值2 5-

2

频率fN的1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，变为1000Hz,产生频混。此时离散信号2 频率fN800Hz1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，分别变为700Hz300Hz，2f 200 5-6.fc＝125Hz，现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔f＝1Hz采样间隔和采样频率应满足什么条件？2)N应满足什么条件？3)原模拟信号的记T＝?解fs250Hz

4msfsf频率分辨间隔f＝1HzNNN2N＝256

s。如果取4ms模拟信号记录长度TN1.024秒以上。第八拟用固有频率fn=100Hz，阻尼比ξ0.7的惯性式测振装置（如图）测频率为f45Hz的加5Hz之振动位移的振幅范围为题图8-x [1()2[1()2]242()21[11[1(5022)2]240.72(5022)2100100所以振幅误差为

xomn1(0.97471)%)2)2)225)2540.72)2

0.1(100220)2

=39.5答1)振幅误差约为(2)39.5ωn2100弧度/秒，ζ20.6n3500转/分电机的简谐振动位移，应当解:n=3500转/分钟=366.5弧度/秒 =

2

=

>>1

0.6~因此可选用n2=100弧度/

2=0.6([1(/)]2[1(/)]2/2nnx1[11.472]2[11.472]2[20.5

xo1[13.672]2[13.672]2[20.6

＝１.02=A()x

xo2＝１.02

又2=0.66向h向aL应变式加速度传感器如图所示。加在弹簧悬臂上的质量m=1.25kg=2ch=.4cE=21GNm在悬臂上对称的贴有相同的电阻应变片，并采用全桥连接的方式，应变片的灵敏系数K=2，电阻值1=2=3=4120Ω向h向aL=a又为多少？80次/秒的

bb题图8-f k

ml ml 32101052＝ 121.25102

51.6ff f＜＜ffn而现 f＝80HZ

fn=51.6HZ(2)因全桥连接，故

4，14Rk所 RkR1

R122001061204EW

malbh2/a

21010550106261.25102

cm/s2

m1.25kg

Nsm

1.25

Ns2/Ｅ＝210GN/m2210109N/m2210105N/Ll3c12压向被检验表面，杠杆3固接在具有角刚度c2的板弹簧5上。当零件表面波纹超出范围时，触点4中的VB1xasin2πZA（A为粗造度波长量杆1的质量为m，杠杆3O的转动惯J，忽略件移动的极限速度V*。1移动某值x的杠杆转动角度xl25中的减小。这时样在杆1上作用有惯性mx，弹簧2的阻力c1(xx0，支座反力R3的作用力等于[Jc2(0l。1011011

/l2)x(c

/l)mJ/l2M；

/l2c；c1x0c20lB1R

(b)式

(c)（a(p22)asint

/M

(d) c/式中p0 c/p22，当2p2

aM (cl2c2

apMa成立，则将不会发生接触的

l 0当工作时值在范围2p2，在该值时接触可能破坏，由关系式（d）等于零（0sint11时）2p2P/ p2P p2P d，质量为m1，杠杆系统c的弹簧m2的平衡重组成。当液面H0变化mm题图8- 题图8-

1dd/4 /l)/(mm /l22222 2

m41c1的平24c256供给。预f0c37题图8- 题图8-10%

或 式 2n/m75/20

mc

BpeAF/(m)1.2102M/00B/K200x/ (12/p2)2(2n/p2)21/ 002n/00

或

/

(12/p2)(0.4/

)21/x0/xcT1允许范围和振幅——频率特性曲线的相交点给出被检验零件角速度的最大 p2/3 解：是基于Xe＝X－X 因为X是绝对运动，Xr是相对运动，而Xe是牵连运动，x＝XsintxxeX=Xe+X

xr=Xrsint xeXesinXsintXesint+XrsinXe＝XXr因为矢量式才正确，若仅从标量关系出发则将得出错误结果，因它们之间

33x(t)Aisinx(t)4Asin(t1200)5Asin(2t450)

sin(3t1503 ，， 2222222n12222n1121212

V=q/Cq为传感器中所产生的电荷，RV1=V0时，qV（t解：设i为电容C的电流,iU1U1C1 t U idtUt

t(U1U1

dU1)dt1C 1

C0

1 qUC(1

CUCUt10)t10

U 1 00C1U0CU0K(C1C)U q

)0U1dt(C1C)U1(C1C)U将上列方程进行拉氏变换并考虑到当U1U0q从零起有一量值为QQ(1

1)V1(s)

C)V(s)(C1C)U

V(s)

(C1C)U0

(C1C)U01(C1C)S

(C

S(1/R1/R1

11 11

C1 U(t)

Q

(R1

C)RR1第九章习117(9-17)L10 110LptLpe10 表示分贝减量LLptLpe之差的函数，从总声压级中扣除此分贝LpsoLpsoLptLLptp p

p p2p10lgt10lgso10lgt10lg pppp pppp p 10lg 10lgp2p p

p2 1ep