第13讲拓展六泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用高频精讲（原卷版）

第13讲拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 3高频考点一：泰勒（麦克劳林）展开式与数学文化 3高频考点二：利用超越不等式比较大小 8高频考点三：利用对数型超越放缩证明不等式 12高频考点四：利用指数型超越放缩证明不等式 22第一部分：知识点必背1、泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量.2、麦克劳林(Maclaurin)公式虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.3、常见函数的麦克劳林展开式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）对数型超越放缩：（）上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①用替换上式结论①中的得：结论②对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：（）结论③指数型超越放缩：（）上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①用替换上式结论①中的得：结论②当时，对于上式结论②结论③当时，对于上式结论②结论④第二部分：高频考点一遍过高频考点一：泰勒（麦克劳林）展开式与数学文化典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（）A． B． C． D．例题2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确．运用上述思想，可得到的近似值为（）A． B． C． D．例题3．（2022·全国·高三专题练习）英国数学家布鲁克泰勒，以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，其中，（此处介于和之间）.若取，则，其中，（此处介于0和之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数在处的阶泰勒公式，也称作的阶麦克劳林公式.于是，我们可得（此处介于0和1之间）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余项，当不超过时，正整数的最小值是（）A． B． C． D．例题4．（2023·全国·高三专题练习）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.(1)分别求，，在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：.（其中为虚数单位）；(3)若，恒成立，求的范围.（参考数据）练透核心考点1．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）计算器是如何计算、、、、等函数值的?计算器使用的是数值计算法，如，，其中，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（）A． B． C． D．2．（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（）（可能用到数值）A． B． C． D．3．（2023秋·吉林·高一统考期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，，其中．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出、和的值也就越精确，则的近似值为______（精确到）；运用上述思想，可得到函数在区间内有______个零点．4．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）记为函数的阶导数且，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．据此计算在处的3次泰勒多项式为=_________；在处的10次泰勒多项式中的系数为_________高频考点二：利用超越不等式比较大小典型例题例题1．（2023·浙江温州·统考二模）已知，则（）A． B．C． D．例题2．（2023·河南新乡·统考二模）若，，，则（）A． B．C． D．例题3．（2023·四川成都·统考二模）已知，，，则（）A． B．C． D．练透核心考点1．（2023·陕西·校联考模拟预测）设，，，则（）A． B． C． D．2．（2023·甘肃·统考一模）设，则（）A． B．C． D．3．（2023春·湖北黄冈·高二湖北省红安县第一中学校考阶段练习）已知，，，则（）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（）A． B．C． D．高频考点三：利用对数型超越放缩证明不等式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数．(1)若在点处的切线斜率为，求a的值；(2)当时，求的单调区间；(3)若，求证：在时，．例题2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，.(1)当时，求证：在上单调递减；(2)当时，，求的取值范围.例题3．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数，为函数的导函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)求函数的零点个数；(3)若函数在区间上有最小值，其中为正整数，求的最小值.例题4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，(1)若，，试分析和的单调性与极值；(2)当时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）求证：①；②.练透核心考点1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)若，求函数的单调区间．(2)若，①证明：函数存在唯一的极值点．②若，且，证明：．2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)当时，求的最大值；(2)若，，求a的取值范围.3．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.高频考点四：利用指数型超越放缩证明不等式典型例题例题1．（2023·贵州·统考模拟预测）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若，，求证：.例题2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知．(1)若在上单调递增，求的取值范围，(2)证明：当时，．例题3．（2023·四川巴中·统考一模）设函数，．(1)当时，设，求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，证明：；(2)若为函数的极小值点，求实数的值．练透核心考点1．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知函数．(1)若是函数的