第5章特殊平行四边形讲义浙教版数学八年级下册

特殊平行四边形【知识回顾】的平行四边形叫做矩形。矩形的四个角都是，对角线。个角是直角的四边形式矩形，对角线相等的是矩形相等的平行四边形叫做菱形，菱形的条边都相等，对角线，并且每条对角线平分。，对角线的平行四边形是菱形。相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形，正方形的个角都是直角，四条边都。，并且，每条对角线平分一组。是正方形，有一个角是直角的是正方形。8.在线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的共有个【例题精讲】1．在下列命题中，正确的是（）【A】一组对边平行的四边形是平行四边形【B】有一个角是直角的四边形是矩形【C】有一组邻边相等的平行四边形是菱形【D】对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）【A】4个【B】3个【C】2个【D】1个4．如图是一个矩形纸片ABCD，连接AC，DB交于点O，且AC=4，若AD：AB=1：2，将纸片折叠使B与D重合，折痕为EF，求折叠后纸片重合部分的面积．5．如图所示，在直角△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF．（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t的值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形，∠EDF=90°？请说明理由．【巩固练习】1．顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）【A】正方形【B】菱形【C】矩形【D】梯形2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100°的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（）【A】25°或50°【B】20°或50°【C】40°或50°【D】40°或80°3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（）【A】2【B】【C】【D】4．如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（）【A】2【B】2【C】+【D】2+5.如图（1），正方形ABCD的边长为8，点M、N分别为边AD、BC的中点．现有动点E沿N→B→A以每秒1个单位的速度运动，同时动点F沿C→D→M以相同速度运动．（1）求在运动过程中形成的△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）何时点E、F与正方形的某一个顶点恰好连成一个等腰三角形，请写出此时t的值；（3）如图（2），当点F从C向D运动时，连接FN，作FN的垂线交直线DA于点G，点P为GN的中点，连接PM、MF、PF．当△PMF的面积为12时，求对应的t的值．【自我测验】1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【A】正三角形【B】平行四边形【C】矩形【D】等腰梯形2．矩形具有而菱形不具有的性质是（）【A】两组对边分别平行【B】对角线相等【C】对角线互相平分【D】两组对角分别相等3.在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列判断中不正确的是（）【A】四边形AEDF是平行四边形【B】如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形【C】如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形【D】如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）【A】20【B】15【C】10【D】55．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（）【A】5厘米【B】10厘米【C】【D】不能确定6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）【A】【B】2【C】2【D】17．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）【A】cm2【B】cm2【C】cm2【D】（）ncm28．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积（）【A】【B】【C】2【D】39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒2cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）【A】【B】2【C】2【D】10.正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP=CE；②AP=AH；③∠BAP=∠GFP；④BC+CE=AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF．以上结论正确的个数有（）【A】5个【B】4个【C】3个【D】2个填空题在▱ABCD中，若添加一个条件，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件，则四边形ABCD是菱形．12．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为cm．13.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？14.如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为。15.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是。16.如图，正方形ABCD中，已知AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，则△AEF的面积为．解答题如图，请用三种不同方法将正方形ABCD分割成四个面积相等的三角形．（保留作图痕迹，不写作法．）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．如图，在菱形ABCD中，点F是对角线BD上一点，连站AF交BC于点B，连接CF．∠AEB与∠DCF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．阅读理解：邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是正方形，则称原长方形为n阶准正方形．如图1，长方形ABCD中，若AB=1，BC=2，则矩形ABCD为1阶准正方形．如图2，长方形形ABCD中，AB=2，BC=3，则矩形ABCD是2阶准正方形．探究一：（1）长方形ABCD中，若AB=1，BC=3，则长方形ABCD是阶准正方形；（2）长方形ABCD中，若AB=3，BC=4，则长方形ABCD是阶准正方形；（3）长方形ABCD中，若AB=3，BC=5，则长方形ABCD是否为阶准正方形，若是，请画图说明并回答它是几阶准正方形；若不是，请说明理由．（提示：不能用铅笔画图）探究二：已知长方形ABCD邻边长分别为n，a（a＞n），且是3阶准正方形，请画出长方形ABCD及剪裁线的示意图，并在图形下方用含n的代数式表示出相应的a的值．（提示：不能用铅笔画图）特殊平行四边形教师版【知识回顾】的平行四边形叫做矩形。矩形的四个角都是，对角线。个角是直角的四边形式矩形，对角线相等的是矩形相等的平行四边形叫做菱形，菱形的条边都相等，对角线，并且每条对角线平分。，对角线的平行四边形是菱形。相等，并且有一个角是的平行四边形叫做正方形，正方形的个角都是直角，四条边都。，并且，每条对角线平分一组。是正方形，有一个角是直角的是正方形。8.在线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的共有个【例题精讲】1．在下列命题中，正确的是（）【A】一组对边平行的四边形是平行四边形【B】有一个角是直角的四边形是矩形【C】有一组邻边相等的平行四边形是菱形【D】对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．【解答】解：【A】应为两组对边平行的四边形是平行四边形；【B】有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；【C】符合菱形定义；【D】应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选：【C】．【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．2．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S△AOB=S四边形DEOF中正确的有（）【A】4个【B】3个【C】2个【D】1个【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，而CE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DAE中∴△ABF≌△DAE，∴AE=BF，所以（1）正确；∴∠ABF=∠EAD，而∠EAD+∠EAB=90°，∴∠ABF+∠EAB=90°，∴∠AOB=90°，∴AE⊥BF，所以（2）正确；连结BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．故选：【B】．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．4．如图是一个矩形纸片ABCD，连接AC，DB交于点O，且AC=4，若AD：AB=1：2，将纸片折叠使B与D重合，折痕为EF，求折叠后纸片重合部分的面积．【分析】根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据勾股定理得到AD=4，AB=8，根据折叠的性质得到CE=C′E，DC′=BC=4，∠C′=∠DCB=90°，根据勾股定理得到DE=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∵AD：AB=1：2，∴设AD=x，AB=2x，∴AC=x=4，∴x=4，∴AD=4，AB=8，∵将纸片折叠使B与D重合，折痕为EF，∴CE=C′E，DC′=BC=4，∠C′=∠DCB=90°，∴C′D2+C′E2=DE2，即42+C′E2=（8﹣C′E）2，∴C′E=3，∴DE=5，∴纸片重合部分的面积=×5×4=10．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．如图所示，在直角△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF．（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t的值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形，∠EDF=90°？请说明理由．【分析】（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；（2）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC﹣DC=10﹣2t，若△DEF为等边三角形，则▱AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10﹣2t，求出t=；（3）当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．根据含30度角直角三角形的性质得到等量关系：AD=2AE．即10﹣2t=2t．由此求得t的值．【解答】解：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF；（2）能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5×=5，∴AC=2AB=10，∴AD=AC﹣DC=10﹣2t，若使△DEF能够成为等边三角形，则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，∴t=10﹣2t，∴t=；即当t=时，△DEF为等边三角形；（3）当t=时，△DEF为直角三角形；理由如下：当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即10﹣2t=2t，∴t=．∴当t=时，△DEF为直角三角形．【点评】本题综合考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．【巩固练习】1．顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）【A】正方形【B】菱形【C】矩形【D】梯形【分析】根据菱形的定义：只需证明四边相等即可．【解答】解：顺次连接矩形的各边中点，根据矩形的对角线相等和中位线定理可知所得的四边形四边相等，所以是菱形．故选：【B】．【点评】主要考查了中位线定理．要掌握：中位线平行且等于底边的一半．2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100°的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（）【A】25°或50°【B】20°或50°【C】40°或50°【D】40°或80°【分析】折痕为AC与BD，∠BAD=100°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=40°，易得∠BAC=50°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，∵∠BAD=100°，∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°，∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．故选：【C】．【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点Bˊ处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处，则的值（）【A】2【B】【C】【D】【分析】连接CC′．首先证明四边形AC′CE是菱形，再证明△AEC′是等边三角形即可解决问题；【解答】解：连接CC′．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠C′AE=∠AEB=∠AEC′，∴AC′=EC′，∵EC=EC′，∴AC′=EC，∴四边形AC′CE是平行四边形，∵AC⊥EC′，∴四边形AC′CE是菱形，∴AC′=AE=EC′，∴△AEC′是等边三角形，∴∠EAC′=60°，∴∠ACB=∠CAC′=∠EAC′=30°，在Rt△ABC中，=tan60°=，故选：【D】．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．4．如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（）【A】2【B】2【C】+【D】2+【分析】过E作EF垂直于AD，由矩形ABCD的对边平行得到AD与BC平行，进而得到EG垂直于BC，由三角形BEC为等边三角形，利用三线合一得到G为BC中点，求出BG与EB的长，利用勾股定理求出EG的长，由对称性得到AE=DE，利用三线合一得到F为AD的中点，由BC=AD=2，求出FD的长，再由DE的长，利用勾股定理求出EF的长，由FG=EF+EG即可求出AB的长．【解答】解：过E作EF⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EG⊥BC，∵△BEC为边长2的等边三角形，∴EB=2，BG=1，根据勾股定理得：EG=，由对称性得到△AED为等腰三角形，即AE=DE，∵DE=，FD=AD=1，∴根据勾股定理得：EF=，则AB=FG=FE+EG=+．故选：【C】．【点评】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．5.如图（1），正方形ABCD的边长为8，点M、N分别为边AD、BC的中点．现有动点E沿N→B→A以每秒1个单位的速度运动，同时动点F沿C→D→M以相同速度运动．（1）求在运动过程中形成的△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）何时点E、F与正方形的某一个顶点恰好连成一个等腰三角形，请写出此时t的值；（3）如图（2），当点F从C向D运动时，连接FN，作FN的垂线交直线DA于点G，点P为GN的中点，连接PM、MF、PF．当△PMF的面积为12时，求对应的t的值．【分析】（1）分三种情况：当0≤t≤4时；当4≤t≤8时；当8≤t≤12时；根据图形的面积公式得出△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系；（2）分三种情况：当0≤t≤4时；当4≤t≤8时；当8≤t≤12时；根据等腰三角形的性质即可求得t的值；（3）先根据S△PMF=S矩形MNCD+S△PMN﹣S△NCF﹣S△MDF﹣S△PNF列出代数式，再根据△PMF的面积为12，求对应的t值．【解答】解：（1）当0≤t≤4时，；当4＜t≤8时，S=4t；当8＜t≤12时，．（2）当0≤t≤4时，当t=时，EF=DF；当t=4时，EF=AF；当4＜t≤8时，当t=8时，EF=EC；当8＜t≤12时，当t=时，EF=FC；当t=时，EF=EB；∴t=或4或8或或．（3）S△PMF=S矩形MNCD+S△PMN﹣S△NCF﹣S△MDF﹣S△PNF=12，解得t=．【点评】考查了相似形综合题，涉及到图形的面积计算，等腰三角形的性质，函数思想好分类思想，（3）也可利用S△PMF=S△PMN+S△FMN﹣S△PNF来计算．【自我测验】1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【A】正三角形【B】平行四边形【C】矩形【D】等腰梯形【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：【A】正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；【B】平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；【C】矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；【D】等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：【C】．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．矩形具有而菱形不具有的性质是（）【A】两组对边分别平行【B】对角线相等【C】对角线互相平分【D】两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：【A】矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；【B】矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；【C】矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；【D】矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选：【B】．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．3.在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（）【A】四边形AEDF是平行四边形【B】如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形【C】如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形【D】如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法一一判断即可．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故【A】、【B】正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故【D】正确；故选：【C】．【点评】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）【A】20【B】15【C】10【D】5【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选：【D】．【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．5．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（）【A】5厘米【B】10厘米【C】【D】不能确定【分析】由矩形的性质可知对角线互相平分且相等，所以△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，即为BC的长，又因为AD=BC，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB+AO+BO，又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，∴AB+AC+BC=AB+AO+OCBC﹣（AB+AO+BO）=BC=10厘米，∵AD=BC，∴AD的长是10厘米，故选：【B】．【点评】本题考查了矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②对角线：矩形的对角线相等且互相平分，题目的难度不大，是中考常见题型．6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）【A】【B】2【C】2【D】1【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△DGT是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8﹣4=4，∴GT=×4=2．故选：【B】．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．7．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）【A】cm2【B】cm2【C】cm2【D】（）ncm2【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）=cm2．故选：【C】．【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．8．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积（）【A】【B】【C】2【D】3【分析】设BF与CE相交于点G′，利用相似三角形对应边成比例列式求出CG′，再求出DG′的长，然后求出两个菱形的高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，设BF与CE相交于点G′，在菱形ECGF中，CE∥GF，∴△BCG′∽△BGF，∴=，解得CG′=，∴DG′=CD﹣CG′=3﹣=，∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，∴菱形ABCD的CD边上的高为×3=，菱形ECGF的CE边长的高为×4=2，∴图中阴影部分的面积=××（+2）=．故选：【B】．【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对边平行的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形的面积．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒2cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）【A】【B】2【C】2【D】【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【解答】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴=，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=2t，∴QC=6﹣2t，∴CO=3﹣t，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴=，解得：t=，故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论．10.正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP=CE；②AP=AH；③∠BAP=∠GFP；④BC+CE=AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF．以上结论正确的个数有（）【A】5个【B】4个【C】3个【D】2个【分析】利用等角的余角相等得到∠BAP=∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≌△PEF，则BP=EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE=EF，则可对①进行判断；由于∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≌△ADH，于是可对②进行判断；利用GF∥CE得到∠EPF=∠GFP，加上∠BAP=∠EPF，所以∠BAP=∠GFP，则可对③进行判断；通过证明△APF为等腰直角三角形得到AF=AP，则AP2=AF2，由于利用勾股定理得到AP2=AB2+BP2，加上AB=BC，BP=CE，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断．【解答】解：∵∠APF=90°，∴∠APB+∠FPE=90°，而∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠FPE，在△ABP和△PEF中∴△ABP≌△PEF，∴BP=EF，∵四边形CEFG都是正方形，∴CE=EF，∴BP=CE，所以①正确；∵∠BAP≠∠DAH，∴不能判断△ABP≌△ADH，∴不能确定AP=AH，所以②错误；∵四边形CEFG都是正方形∴GF∥CE，∴∠EPF=∠GFP，而∠BAP=∠EPF，∴∠BAP=∠GFP，所以③正确；∵∠APF=90°，AP=PF，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF=AP，∴AP2=AF2，∵AP2=AB2+BP2，而AB=BC，BP=CE，∴BC2+CE2=AF2，所以④错误；∵S正方形ABCD+S正方形CEFG=AB2+CE2=AP2，S△APF=AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF，所以⑤正确．故选：B．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．填空题11．在▱ABCD中，若添加一个条件，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件，则四边形ABCD是菱形．【分析】根据矩形是对角线相等的平行四边形，菱形是邻边相等的平行四边形可得．【解答】解：在▱ABCD中，若添加一个条件AC=BD，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件AB=BC，则四边形ABCD是菱形．故答案为：AC=BD；AB=BC．【点评】本题主要考查的是矩形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、矩形、菱形之间的关系．12．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为cm．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．然后根据勾股定理即可求得边长．【解答】解：菱形ABCD的面积=AC•BD，∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，∴另一条对角线BD的长=8cm；边长是：=5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质．菱形被对角线分成4个全等的直角三角形，以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．13.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？【分析】首先在直角三角形EBC中求得BC的长，从而求得正方形的边长，然后求得其面积和对角线的长即可．【解答】解：由题意知：EC=30m，EB=10m，∴BC==20，∴正方形的面积为（20）2=800m2；对角线的长为20×=400m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够求得正方形的边长是解答本题的关键，难度不大．14.如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为。【分析】根据折叠前后对应角相等可知．【解答】解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．15.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是。【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．16.如图，正方形ABCD中，已知AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，则△AEF的面积为．【分析】如图，把△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABM．则AM=AF，∠FAD=∠MAB=15°，首先证明△EAF≌EAM，推出ME=EF，推出ME=BM+BE=BE+DF，设FE=a，在Rt△ABE中，由∠ABE=90°，AB=3，∠BAE=30°，推出BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣），根据EF2=EC2+CF2，列出方程求出a即可解决问题．【解答】解：如图，把△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABM．则AM=AF，∠FAD=∠MAB=15°∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=∠ABM=90°，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠EAF=45°，∠MAE=∠MAB+∠BAE=45°=∠EAF，在△EAF和△EAM中，∴△EAF≌EAM，∴ME=EF，∵ME=BM+BE=BE+DF，设FE=a，在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°，AB=3，∠BAE=30°，∴BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣），∵EF2=EC2+CF2，∴a2=（3﹣）2+[3﹣（a﹣）]2，∴a=6﹣2，∴S△AEF=S△AME=•EM•AB=•（6﹣2）×3=9﹣3．故答案为9﹣3．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角旋转等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线的方法，记住基本图形、基本结论，属于中考常考题型．解答题如图，请用三种不同方法将正方形ABCD分割成四个面积相等的三角形．（保留作图痕迹，不写作法．）【解答】解：．【点评】用到的知识点为：正方形的对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形；