高一数学学科素养能力竞赛不等式部分综合测试题

高一数学学科素养能力竞赛不等式部分综合测试题第I卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.2．已知，且，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算【详解】，令，，则，，，当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．故选：B4．设，则取得最小值时，的值为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．已知，满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值【详解】由知：，而，∴，则∴故选：C【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值6．若、、均大于0，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值.【详解】解：、、均大于0,当且仅当时取“=”,的最大值为.故选:C【点睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先变形,然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等.7．设实数，满足条件且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对分成三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得的最小值.【详解】依题意成立，故.由于，所以且.当时，，当且仅当时，等号成立.当时，，当且仅当时，等号成立.综上所述，由于，所以的最小值为.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．已知正实数，，若，，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【分析】可先对作变形处理，得，结合基本不等式进行放缩，可得，再进一步化简求值即可【详解】由，得，化简得，解得，即的取值范围为，故选A【点睛】本题考查根据不等式求解参数取值范围问题，形如变形成这种式子，应作为解题模型之一，强化应试技巧二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知，均为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为，均为正实数，且，对A,，当且仅当时取“=”，正确；对B，，当且仅当时取“=”，错误；对C，，当且仅当时取“=”，正确；对D，，设，则上式，当且仅当时取“=”，正确；故选：ACD.10．记，已知，则（

）A．的最大值为18 B．的最大值为12C．的最小值为 D．的最小值为8【答案】ACD【分析】根据已知条件：结合基本不等式有，应用换元思想可求的最大值，进而由知的最值情况；又，即得可求其最小值，而可确定最小值，进而判断各项的正误.【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，令，则，解得，即有，故A正确；而，故B错误；由知：当且仅当时等号成立，故C正确；，所以当时，其有最小值为8，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：由已知参数的等量关系，利用基本不等式、一元二次不等式、的性质，结合换元法及等量代换的应用，求代数式的最值.11．下列结论中，正确的结论有．A．如果，那么取得最大值时的值为B．如果，，，那么的最小值为6C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为2【答案】AB【解析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；代入即可得其最小值；C.函数，当且仅当此时无解，将“1”替换为，代入用基本不等式.【详解】解：对于A.如果，那么，当时取得最大值，故正确；，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；对于C.函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果，，且，那么当且仅当即时取得最小值，故错误.故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知关于x的不等式，下列结论正确的是(

)A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集可以为的形式C．不等式的解集恰好为，那么D．不等式的解集恰好为，那么【答案】AD【分析】A：分析函数的最值与，进行比较即可；B：在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，由图象分析，即可判断选项CD：利用的图象与对应不等式的关系解答即可；【详解】解：设，，则；对于A：∵，∴当时，不等式的解集为，所以A正确；对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示：由图知，当a＝2时，不等式的解集为的形式，故B错误；对于CD：由的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则，且；若解集为，，则(a)(b)，且，因为，所以(b)，解得或，因为，所以，所以，所以，所以C错误、D正确．故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式恒成立的的取值范围是___________.【答案】【分析】求得不等式的解集，得到，结合新定义，即可求解.【详解】由不等式，所以，即，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.14．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.【答案】[1,13]【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].15．（2017·安徽省临泉第一中学高二竞赛（理））设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．【答案】10【详解】∵，∴取最小值为1，取最大值为2．所以最大值，又∵，即最小值，所以，故答案为.16．（2018·全国·高三竞赛）实数满足，设，则________．【答案】【分析】由题可得，进而可得，可得，即求.【详解】由，得，又，所以，∴，∴，∴.故答案为：.四、解答题17．已知二次函数.(1)若的解集为，求不等式的解集；(2)若对任意，恒成立，求的最大值；(3)若对任意，恒成立，求的最大值.【答案】(1)，(2)1，(3)【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.(1)因为的解集（1，2），所有的根为1和2，且.所以，，故，，所以，即，，所以，即不等式的解集为.(2)因为对任意，恒成立，所以，即，又，所以，故，所以，当，时取“=”，所以的最大值为1.(3)令，则，所以，对任意，，恒成立，所以恒成立，所以，所以，此时，，当，，时取“=”，此时成立；故的最大值为.18．已知函数.（1）当时，解关于的不等式.（2）当时，解关于的不等式.（3）不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】(1)把代入可得，再移项通分转化成一元二次不等式求解即得；(2)把不等式移项通分，将含参的分式不等式转化成含参的整式不等式进行分类求解即可；(3)把不等式在的条件下进行等价变形，再分离参数转化成求函数的最小值即可.【详解】（1）当时，，于是有，即，整理得，则，解得，所以不等式的解集为；（2）当时，不等式化为：，即，整理得，则，当时，解得，当时，不等式转化为，解得或，当时，不等式转化为，当时，解得，当时，即，无解，当时，解得，所以：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为空集，当时，不等式的解集为；（3）对任意恒成立，即对任意恒成立，而当时，，因，于是得对任意恒成立，而，当且仅当，即时取“=”，因此，，所以的取值范围.19．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值.【答案】(1)见解析；(2)；(3).【分析】(1)将二次函数表达式写成交点式，再对分类讨论；(2)对分等于零，大于零和小于零讨论；(3)先用基本不等式的配凑法求最值，再求的值.【详解】(1)当时，的解集为；当时，的解集为；当时，无实数解.(2)当时，，对任意，恒成立.当时，函数图象开口向上，若对任意，恒成立，只需，即，.故当时，对任意，恒成立.当时，对任意，，，恒成立.综上可知，实数的取值范围为.(3)若，，为正实数，则由基本不等式得，，，两式相加得，，变形得，当且仅当且时等号成立.所以，即，.20．已知，，均为正实数，且．证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据，，都为正整数，且，利用基本不等式证明；（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.(1)∵，，都为正整数，且．∴，当且仅当时“=”成立．(2)法一：由题意得①+②+③，得，当且仅当时“=”成立．法二：由Cauchy不等式，得．令，则．令，则在上单调递增．∴，即．21．（2022湖北高一竞赛）已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立．(1)求函数的解析式；(2)若对一切实数，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）通过图象过的点得到、、关系式，观察发现，又可得一关系式，再将、都有表示,不等式对一切实数都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得答案．（2）由题意可得恒成立．设，则，由此求得的范围．(1)根据二次函数的图象经过点，可得①，