日中值定理法则与导数的应用

第3 中值定理与导数的应主要内容（3.1、（1（2内可导；（3）f(afξ(a,b使得fξ)（1（2至少存在一点(ab)使得f(b)fbf/(ξ（1至少存在一 ξf/(ξ)f(b)f b使00达通分或取倒数化为 型：常用通分 化 型 型 0型：常用取倒数 化 型 型，即 0 0或01/ 1/ 1）00型：取对数得00e0ln0，其中0ln00 01/ 0ln001/ 其中ln10 1/ 或ln101/ 3）0型：取对数得0e0ln其中0ln0 1/ 0ln01/ 3-★1.下列函数在给定区间上是否满 定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值（1）f(x2x2x3,[1,1.5 （2）f(x)x3x,[0,3]知识点：中值定理思路：根 定理的条件和结论，求解方程f/(ξ)0，得到的根ξ便为所求解：（1）∵f(x2x2x3在[1,1.5上连续，在(1,1.5f(1f(1.50∴f(x)2x2x3在[1,1.5]上满 定理的条件。令f(ξ)4ξ10得ξ1(1,1.5)即为43（2）∵f(x)3

在[0,3](0,3f(0

f(3)03∴f(x)3

在[0,3]上满足定理的条件f(

0ξ2(0,323★2.验 朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[023知识点：朗日中值定理思路：根 朗日中值定理的条件和结论，求解方程f(ξ)

f(1)f1解yf(x4x35x2x2在[0,1(0,1y4x35x2x2在区间[0,1上满足拉中值定理的条件。又f(1)2,f(0)2，f(x)12x210x1，f(

f(1f(0)05

13(0,1)∴5

113(0,1f(ξ

f(1)f 1★3.已知函数f(x)x4在区间[1,2]上满 朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ解：

(ξ)

f(2)f2

4ξ

15 ，从而ξ (1,2)即为满足定理的3434★★4.试证明对函数ypx2qxr应 朗日中值定理时所求得的点3434证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数ypx2qxr[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从而有f(ξ)

f(b)fb

2ξq

(pb2qbr)(pa2qa，bξba2★5.函数f(x)x3与g(x)x21在区间[1,2]上是否满 定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ知识点：中值定理思路：根据中值定理的条件和结论，求解方

f(ξ)g(ξ

f(b)fξg(b)解 ∵f(x)x3及g(x)x21在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有g(x)2x0，以满 中值定理的条件。要使f(ξ)g(ξ

f(2)fg(2)

7ξ3

141,2)ξ9 ★★6.f(x在[0,1上连续，在(0,1f(10ξ(0,1f(ξf(ξ)ξ知识点：中值定理的应用思路fξ)f(ξ)fξ)ξf(ξ)0fx)xf(xξ后再利用中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法证明F(x)xf(xF(x)f(xxfF(xxf(x在[0,1上连续，在(0,1F(11f(10F(0)0f(0)0，从而 中值定理得：存在ξ(0,1)，F(ξf(ξ)ξf(ξ0，即f(ξ)f(ξ)ξ注f(x)f(x)xf(x)1[lnf(x)][lnx][lnxf(x)]0[xf(x)]0[xf(x)]f xfF(x)xf★★7.若函数f(x在(a,b内具有二阶导函数，且f(x1)

f(x2)

f(x3(ax1x2x3b，证明：在(x1,x3ξf(ξ0知识点：中值定理的应用思路：连续两次使用中值定理证明

f(x在(a,b内具有二阶导函数，∴f(x在[x1,x2]、[x2,x3在(x1,x2、(x2,x3)内可导，又f(x1)

f(x2)

f(x3)∴ 定理，至少有一点ξ1(x1,x2)、ξ2(x2,x3)使得f(ξ1)0、f(ξ2)0；又f(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导， 中值定理，至少有一点ξ(ξ1,ξ2)(x1,x3)，使得f(ξ)0。 ★8.4ax4ax3ax2axa04

x33ax2

x

012知识点：中值定理的应用12思路：讨论方程根的情况可考虑中值定理证明：f(x)

x4ax3

x2ax1324则由题意，f(x4x1,x2,x3,x41324∵f(x在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4上连续，在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)又f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(x4)0∴ 中值定理，至少有一点ξ1(x1,x2)、ξ2(x2,x3)、ξ3(x3,x4f(ξf(ξf(ξ04ax33ax22ax

3★★★9.x5x10知识点：零点定理和定理的应用解：f(x)x5x1f(x在[0,1f(1)10f(0)10 ξ(0,1f(ξ)ξ5ξ10；x5x10ξξ（ξ 则f(x在在[ξ1,ξ2上连续，在(ξ1,ξ2内可导，且f(ξ1)f(ξ2)01从而 定理，至少有一点ξ(ξ,ξ)，使得f(ξ)5ξ410，这不可能1x5x10★★10.不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根，并 知识点：中值定理的应用思路：讨论导函数的零点，可考虑利用中值定理解：f(x)x1)(x2)(x3)(x4在[1,2、[2,3、[3,4

f(2)

f(4)0 中值定理，至少有一点ξ1(1,2)、ξ2(2,3)、ξ3(3,4)，使得f(ξ1)f(ξ2)f(ξ3)0，即方程f(x)0至少有三个实根，又方程f(x)0为三次方程，至多有三个实根，f(x03ξ11,2ξ2(2,3、ξ3(3,4★★★11.

arctanaarctanba

（2）

x1exex

x0，证明ln(1x)x （4）当x0时，ln(11)x

。1知识点：利用朗日中值定理思路： 朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数yf(x)，通过式f(bf(af(ξ)(ba）11ξ证明：（1）f(x)arctanxf(x在[a,b上连续，在(11ξ

f(ξ)

f(b)f（∴ 朗日中值定理，得arctanaarctanb

f(ξ)(ba)

baba（2）f(x)ex(x1f(x在[1,x](1,x∴ 朗日中值定理，得exeeξ(x1)，∵1ξxexeeξ(x1)e(x1)exe，从而当x1exex（3）令f(x)ln(1x)(x0，∵f(x在[0,x](0,x∴ 朗日中值定理，得ln(1x)ln(1x)ln(10)

f(ξ)(x0)

1∵0ξx

1

xx，x0

ln(1xx令f(x)lnx(x0，∵f(x在[x,1x上连续，在(x,1x∴ 朗日中值定理，得ln(11)ln(1x)lnxf(ξ)(10)1 ∵xξ1x，∴1ξ

1

x0ln(11)x

。1★★12.2arctanx

1x

π(x1)知识点：f(x0f(xC（C为常数思路：证明一个函数表达式f(x恒等于一个常数，只要证f(x证明f(x)2arctanx

1x

(x1)x12arctan1arcsin1πx1

2(1x2)2x

211(2x111(2x11

(1x2

1

1(1x1 1x

21x

)0，∴f(x)Cf(1)∴2arctanx

1x

π(x1★★★13.证明：若函数f(x在(-内满足关系式f(xf(x)，且f(0)1，则f(x)ex知识点f(x0f(x思路

f(x)exexf(x)1F(x)exf(xF(x)0证明F(x)exf(x)，F(x)exf(xexf(x)0∴F(x)exf(x)CF(0)f(x)ex★★★14.设函数f(x在[a,b上连续，在(a,bf(a)

f(b)0,f(c)0(ac

试证在(a,bξf(ξ0知识点：朗日中值定理的应用思路：关于导函数f(n)(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件 证明：∵f(x在[a,c]、[c,b上连续，在(a,c、(c,b∴ 朗日中值定理，至少有一点ξ1(a,c)、ξ2(c,b)f(ξ

f(c)f(b)0，f(ξ)

f(a)f(c)0 又f(x在[ξ1,ξ2上连续，在(ξ1,ξ2)ξ(ξ,

f(ξ2f(ξ1)01

2 ★★★15.设f(x在[a,bf(a0,f(b0,f(a)f(b)A,试证明fx在(a,b 知识点思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可以利用中值证明f(a

f(xf(a)0

(a,δ（δb-a），对于x

(a,δ

f(x)f(a)0

xx(a,δ)，使得

f(x1f(a)0f(x

f(a)A

1x11f(b0得x(b,δ（δb-a）

f(x2)f(b)0 f(x2f(b)A；

x2又∵f(x在[x1,x2ξ(x1,x2使得f(ξ)A∵f(x在[a,ξ]、[ξ,b上连续，在(a,ξ)、(ξ,b内可导，且f(a)

f(ξ)

f(b)A∴ 中值定理知，至少有一点ξ1(a,ξ)、ξ2(ξ,b)，使得f(ξ1)f(ξ2)0，结论成立★★★16.f(x在闭区间[a,bf(x0c,acb知识点

f(c)

f(b)f。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和中值定理，或利用函数的单调性得出结论证明∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，∴ 朗日中值定理知，至少有一点c(a,b)，使得f(c)

f(b)f。方法一d(a,b，使得f(d)

f(b)f，又∵f(x在[c,d]（或[d,c]）上连续，在(c,d)（或(d,c)）∴ 中值定理知，至少存在一点ξ(c,d)(a,b)（或ξ(d,c)(a,b)f(ξ0，这与在闭区间[a,bf(x

方法二：∵f(x在闭区间[a,b上满足f(x0，∴f(x在[a,bc(a,b，使得f(c)

f(b)f★★★17.yf(xx0nf(0)f(0) f(n1)(0)0,试 中值定理证明f(x)xn

f(n)

(0θ1知识点：中值定理思路：对f(x)、g(x)xn在[0,x]上连续使用n 中值定理便可得结论证明：∵f(xg(x)xn及其各阶导数在[0,x](0,x且在(0,x)每一点处，g(n1)(x)n!x0，又f(0)f(0) f(n1)(0)∴连续使用n次中值定理得f

f(x)f

f(

f(ξ)f

f(n1)

)f(n1) 1 xn

nξn1

g(n1)f(n)

(0θ1，

3-★★1.用法则求下列极限

2exe2

；

；（3）

lnsinx；（4）

x

sinlntan

；（6）

x-x31lnx

；

xπ(π-2limtanx

xarccot；（8）limxcot2xx0lntan1

e1

x-sin

limx2ex2 （10）limx(ex1) （11）

) （12）

)a

1tan

x0

exexln(1x)

lnlim(1

；（14）lim

；（15）lim(x0

（16）

x-arctan1（17）lim(1sinx)

；（18）lim

x

；（19）lim(x

1x)1x

lim(n

n2n知识点：法则 法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：0型与型未定式，对于这种形式 连续使 法则；对于型与0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型1型与0型的未定式，可通过取对数 等使问题简化exe

exe解：

sin

cos

2

limsinxsinalimcosxcosa

x

cossin

cos

limsinx1xπ(π2x)21

x2

4()22

4()2 2

xx

1xlim xxarccot

1x

x

1；

lntan

7sec2tan

7cos22xtan

1；x0lntan

x02sec2tan

x0tan7x2cos2

x31lnxexe

3x2xex

4e

tanx

sec2x 2tanxsec2

2x0xsin

x01cos

sin

x0cos3limxcot2x

1

x0tan

x02sec2

limx2e

1e

2e11

x0x21u2x

u

u

e1 e1x (ex limx(ex1)

lim limex

1

x

xx

（xex1~

，∴limx(ex1)

e1/x 1/

1/

x1/ ex1x(ex1)~

ex1 ex )

x0 ex

x0x(ex

x0 lim(

1)limxlnxx1

ln

lim1ln

1

x

ln

(x1)ln

x1lnxxx

x1lnx （

limxlnxx1u

(u1)ln(u1)uln(u

limln(u1)1

(x1)ln

a limxln(1a lim

lim x

x

ex1elimsinxln

limln

limtanxsinlimxsinx

ex0cscxex0xcotxcscx

e0

ln

1lim

sin2lim()tanxlimex0cot

limex0csc2xlimex0

e01x0

exln(1x)

ex

x

(1x2)(xexex

xarctan

1

1x

(x1)x

(xexex

12

cos

limex0

limex01sinx

e1(11limln[ln1

limln )

x

limex0lnx

limx01/xlim(x

1xln(x11xln(x1x2

ex

xxx1

12xlim(x1212xlim(x12x limlntantln)t2 xxt t1sin

limtsecttan

limtsecttan

limtsint

lim

lim1cos2t(1cosx)~

lim2t

2t2tan

et02t3cos2

et06t

1∴lim(n

★★2.验证极限limxsinx存在，但不能 法则求出 知识点：法则解

limxsinxlim(1sinx)101，∴极限limxsinx存在 (若使用洛必达法则，

limxsinxlim1cosx1limcosx，而limcosx不存在，所以不能 法则求出。

★★★3.f(xf(xlimf(xh2f(xf(xh 知识点：导数定义和法则思路：使用法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论证明：

limf(xh)2f(x)f(xh)limf(xh)f(x limf(xh)f(x)f(x)f(x 1limf(xh)f(x)1limf(xh)f(x)

f//(x，2

2 x)11xx)11x(1★★★4.f(x)

e2

x

x0知识点思路(1

11x1xlim1ln(1x)1x1x

limln(1x)

11lim1x解

f(x)

ex0

ex02 1lim e2x01x

2f(0，f(xx0

f(x)e2

f(0)，∴f(xx0x)11xx)11x(1f(x)

e2

x

x0★★★5.g(x)x0处二阶可导，且g(0)0。试确定a的值使

f(x)x0

f(0g(x)

xf(x)a

。x知识点：连续和可导的关系、法则思路解：f(xx0f(xx0g(xx0g(00alimf(x)limg(x)

limg(x)g(0)g/(0)

xf(0)

f(x)f

g(x)lim lim

g(x)

x

x

limg(xg(0)1g(0) 主要内容3.3中值定理：如果f(x)x0的某个开区间(a,bn1f//(xx(a,b)，有f(x)f(x)f/(x)(xx) 0(xx)2 (x0)(xx)nR(x)， 称为n f(n1)( 其中Rn(x)(n1)!(xx0 （介于x0于x之间），称 朗日型余项；Rn(x)o[(xx0)]，称 型余项n勒n阶麦克劳林 f f fx x xRn f(n1)(x) 其中Rn(x) (n1)! （01）或Rn(x)o(x) 常用的初等函数的麦克劳 ：1）e1x o(x x 2）sinxx (1) o(x (2n1)!x x x6 nx 3）cosx1 n 4）ln(1x)x n 1xxxo(x)1x6）(1x)m1mxm(m1)x2m(m1)(mn1)xno(xn 3-★1.按(x1的幂展开多项式f(x)x43x24知识点：思路：直接展开法。求f(x)按(xx0)的幂展开的n阶 ，则依次求f(x)直到n1阶的导数在xx0处的值，解：f(x4x36xf(110f(x12x26f(118f(x)24x，f(1)24；f(4)(x)24；f(4)(1)24；f(5)(x)0将以上结果代入，f

f

f

f(4) f(x)

(x1)

(x1)

(x1)

(x 810(x19(x1)24(x1)3x14x★★2.求函数f(x) 按(x4)的幂展开的带 朗日型余项的三 x知识点：思路1

1

2解：2

，f

；f4

x2，343

3 15 8

；f(4)(x)

2；将以上结果代入，f(x)

f(4)

f

(x4)

f

(x4)2

(x4)3

f(4)(ξ

(x 24

x4)(77

（1xx

128ξ ★★★3.把f(x) 在x0点展开到含x项，并求1xx

(0知识点：林思路：间接展开法。f(x

1

1xx2xno(xn解 f(x)

1xx1xx

1xx21xx

1xx

12x(1

112x(1x)(1x3o(x3))12x2x22x4o(x4)；又 ★★4.求函数f(x)lnx按(x2)的幂展开的带 型余项的n 知识点：思路1；f(xln(1x)

x2x3

n1 n方法一（直接展开）f(x1f(2)1f(x1f(2)1

2，f(2)1；,f(n)(x)(1)n1(n1)!，f(n)(2)(1)n1(n

xn 将以上结果代入，lnx

f(2)

f

(x2)

f

(x2)2

(x2)3

f(4)

(x2)4

(xo((x2)n

ln21(x2)

(x2)2

(x2)3

(x2)no((x2)n方法二

f(x)lnxln(2x2)ln2ln(1x2)ln2x21(x2)2 1(x

3

n))ln2

x2()

x

(x2)3

(x2)no((x2)n★★5.求函数f(x)1按(x1)的幂展开的带 朗日型余项的n x知识点：xn1xn1

为有理分式时通常利用已知的结论11

1xx2

xn1方法一

f(x)

，f(1)1；f(x)

，f(1)2；f(x)6f(1)6,f(n)(x)将以上结果代入，

，f(n)(1)

1f(1)

f(1)(x1)2

(1)(x1)3 f(n)

(x1)n

f(n1)(ξ(n

(x

1(x1)(x

(x

(x

nξ

(x

（ξx与1之间方法二1x

1(x

[1(x1)(x1)2(x1)3(xξ

(x

]1(x1)(x

(x

(x

ξ

(x

（ξx与1之间★★6.求函数yxex的带 型余项的n 林展开式知识点：林思路1；f(xex2ex1x2

nn

o(xn方法一yx1)exy(01yx2)exy(02；,y(n)(xn)exy(n)(0)n，将以上结果代 ，

f(0)

f(0)xf(0)x2f

f(n)f(n)

xno(xn x

2x

xn(nx

方法二

x(1x (n

))x

xn(n

o(xn)★★7.0x

1 1

1x

x2

ee 0.01知识点：的应用思路：利用估计误差，就是估计朗日余项的范围解R3x)

x4

x4

；

1

11

0.6461e2e★★8. 取n5，求1e2e知识点：的应用解：设f(x)ln(1x)，则f(x)

f(0)

f(0)x2x22

555

，从而ln1.2

f(0.2)0.2

R(x)

6

★★★9.利用函数的展开式求下列极限

1x11x1x

x33x

x2x （2）lim 。x0(cosxex2)sinx知识点：展开式的应用思路

x33x

x2x)

lim1 o())

x 1

x2

1

x2(1x2)1xlim 1xx0(cosxex2)sinx (cosxex2)x1(111x2(11x22 )x4o(x4 1x4o(x42lim lim8 1。2

(12

o(x

o(x

)))x

3x2

o(x4 2★★10.x0x22

ln(1x知识点：虑用2解ln(1xx22

（ξ0x之间

x

2从而ln(1xx22

x222

（也可用§3.4★★11.证明函数f(x)是n次多项式的充要条件是 (x)知识点：林思路：将f(x)按照林形式展开，根据已知条件，得结论解f(xnf(n1x)0

f充分性。∵ (x)0，∴f(x)的n 为：f(x)

f(0)

(0)xf (f (n

f(n1)(ξ)xn1(n

f(0)

(0)x

ff

f(n)

，f(xn★★★12.若f(x)在[a,b]上有n阶导数，且f(a)f(b)f(b)f(b) f(n1)(b)证明在(a,bξ，使f(nξ)0(aξb知识点：中值定理、朗日中值定理思路：证明f(n)(ξ)0(aξb)，可连续使用 朗日中值定理，验证f(n1)(x)在[a,b]上满足 中值定理，根据f(x)在xb处的 方法一

f(x在[a,b上可导，且f(a)

f∴ 中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ1，使得f(ξ1)0∵f(x在[ξ1,ba,bf(b0∴ 中值定理知，在(ξ1,b)(a,b)内至少存在一点ξ2，使得f(ξ2)0依次类推可知，f(n1)(x)在

[a,b]上可导，且f(n1) )

f(n1)(b)0∴ 中值定理知，在 ,b)(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(n)(ξ)方法二：根据已知条件，f(x)在xb处 展开式为f(x)

f(b)

(b)(xb)

(x

(n

(x

n1

f(n)(ξ

(xf(n)(ξ

(x

(xξb)∴f(a)

f(n)(ξ

(a

0

(ξ)0主要内容3.4yf(x在[a,b上连续，在(a,b（1）若在(a,b内f(x0yf(x在[a,b（2）若在(a,b内f(x0yf(x在[a,b1）f(xIIx1x2fx1x2)fx1fx2)f(xI fx1x2)fx1fx2)f(xI 2）曲线凹凸性的判别法：设fx在[a,b上连续，在(a,b若在(a,bf(x0yf(x在[a,b若在(a,bf(x0yf(x在[a,b3-★1.yxln(1x2知识点思路If(x0（f(x0f(xI增加（减少证明y

1

(1x)20（x1

1y0yxln(1x2在(★2.判定函数f(x)xsinx(0x2π解：∵f(x1cosx0（xπ处f(x0∴f(x)xsinx(0x2π★★3.3x（1）y1x3x23x1；（2）y2x8(x0)；（3）y2x 3x （4）yln(x

1x2) （5）y

x)x （6）y2x2lnx知识点解

y1x3x23x1的定义域为(yx22x303x11x23x(,3(3,f0—0f↗↘↗y1x3x23x1在(1、(3内严格单增，而在(1,33（2）在(0y2

0x2当x(0,2y0；当x(2y0y2x8(x0)在(0,2内严格单增，在(2xy

2x3

的定义域为(y23x3x

2(3x33x2(3x33x1x0x01f0—0f↗↘↗3xy23x3

x1yln(x1x2的定义域为(x1x1x1

)

01yln(x1x2在(1

x)x的定义域为 )，∵

x2 2∴yy

x在[02lnx的定义域为(0

2 4x 0，得x x01y0x1y02∴y2x2

lnx在

内严格单增，在

★★4.1（1）x0时，1112

；（2）x42xx2x0(1xln(1xarctanx（4）0xπtanxx1x3 知识点：导数的应用或者的应用解：（1）方法一f(x11x2121x0f(x1212

，11112

)0∴f(x)11x21即1112

在[0上严格单增；从而f(x)f(0)011方法二：由，11

x x3f(x)13

x2

1

x x )3 3

（0ξx∴f(x)

0，从而得1

1x23223

11

（2）方法一f(x)2xx2x4f(x2xln22xf(x)2xln222f(4)16ln222(ln42)22(lne2)220∴f(x)2xln22x在(4∴f(x)2xx2在(4内严格单增，在(4f(x)2xx2f(4)802xx2注f(xf(xf(xf(x单调性，也是常用的法方法二：令f(x)xln22lnxx4fx)ln22ln211ln410 ∴f(x)xln22lnx在(4f(xxln22lnxf(44ln22ln40xln22lnxexln2e2lnx2xx2f(x1xln(1xarctanxx0f(xln(1x1

1

0（x0f(x0∴f(x在[0上严格单增，从而有f(x)f(0)0(1xln(1x)arctanxg(xtanxx0xπg(xsec2x1tan2x2g(x)tanxx在

πg(x)g(0)0，即在(0,

π内tanxx2f(x)tanxx1x330xπf(xsec2x1x2tan2xx202f(x)tanxx1x3在(0πf(x)f(0)0即在

π内tanxx

x3★★★5.试证方程sinxx知识点 ，sin00，即x0是方程的一个根；f(xxsinxf(x1cosx0（x2kπ(kZf(x0∴f(x)xsinx在(内严格单增，从而f(x只有一个零点，即方程sinxx只有一个实根。★★6.f(x)xsinx知识点∵f(x)1cosx0（x(2k1)π(kZ处f(x0∴f(x)xsinx在(而f(x)1cosx在(2kπ,(2k1)π内严格单减，在((2k1)π,2kπ内严格单增，从而在(★★7.（1）yx1(x0)；（2）yxx

xx2

；

yxarctanxyx1)4ex；（5）yln(x21；（6）yearctanx知识点

，y

，∵x0y0yx1在[0x（2）yx

x2

y

1(x2

y2x(x23)，y0x ( x10x1y0；当1x0x1y0∴yx

x2

的凹区间为(1,0(1，凸区间为(,1、(0,1；∴拐点为(0,0

yxarctanx的定义域为(yarctanx

1

(1x2

yxarctanx（4）y(x1)4ex的定义域为(y4(x1)3exy12(x1)2ex0，yx1)4ex

y

1的定义域为(

，1

2(1x2，(1x2y0x1,21；x(,1f—00—fyln(x21的凸区间为(1、(1，凹区间为(1,1，拐点为(1,ln2及(1,ln2（6）y

arctan

的定义域为(

earctan1

，

earcanx(1，(1x2y0x1x1y0x1y02yearctanx的凹区间为

，凸区间为

，拐点为2

2★★★8.

exe2

xe

(xy)；（2）

x2

cosxcos2

,x,y(2

π2知识点证明：（1）yexyex0，yex在(x,y()(xy

exe2

xe

ycosx

(2

π)2

cosx0，ycosx在(2

π)2x,yππ)(xy，有cosxycosxcosy2 ★★★9.y

xx2

思路7。解yx1的定义域为(x2

12x，(1x2 (22x)(1x2)2(12xx2)4x(1x2 2(x1)(x24xy (1x2 (1x2

33x(,23(223(23,f—00—0f3,1 843,1 84

、(2

84★★10.a及b(1,3y 84知识点解yax3bx2的定义域为(y3ax22bxy6ax2b；(1,3yax3bx23ab①；a3b9 ★★★11.yax3bx2cxda、b、c、dx2处曲线有水平切线，(110为拐点，且点(2,44在曲线上。知识点解y3ax22bxcy6ax2b；将(2,44yax3bx2cxd448a4b2cd①(110yax3bx2cxdy6ax2b中，得10abcd 06a2bx2y3ax22bxc中，得012a4bca1b3c24d16★★★12.yk(x23)2k知识点思路k解yk(x23)2的定义域为(y4kx(x23y12k(x21

1 ，当x的取值通过

1y12k(x21 ∴(1,4k)与(1,4k)均为yk(x23)2的拐点；∵ 8k， y4k

1(x1)，y4k1

(x1)又两法线过原点，将(0,0)代入法线方程，得32k21，解得k 28★★★★13.y

f(xxx0f(x00f(x00，试问(x0,f(x0知识点思路f(x)

f(x)f(x0)limf

0

x

x0x 0δ0，使得x(x,δ，均有f(x)00xx0δxx0f(x0x0xx0δf(x0(x0,f(x0主要内容主要内容极值的概念：设函数fxx0的某个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点x（x