求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法_第1页
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千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法

【必备办法】

1.函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式bnanSn+=2，

通过配方或借助图象求二次函数最值的办法求解，一定注重n是正整数。

2.邻项变号法：

①0,01da时，满足???≤≥+0

01nnaa的项数m使得nS取得最大值为mS；②当0,01>aa，故n=7时，nS最大.

办法二：由113SS=可得dada55113311+=+，把131=a代入得2-=d，故nnnnnSn14)1(132+-=--=，按照二次函数性质，当n=7时，nS最大.办法三：按照131=a,113SS=，知这个数列的公差不等于零.因为113SS=说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.按照公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，

当113SS=时，惟独72

113=+=

n时，nS取得最大值.答案：C

练习：

1.已知在等差数列}{na中，311=a，nS是它的前n项的和，2210SS=.

（1）求nS；

（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.解析：（1）∵102110aaaS++=，222122aaaS++=，又2210SS=，∴0221211=++aaa，则031212211=+=+daaa，又311=a，2-=∴d，∴21322

)1(nndnnnaSn-=-+=。（2）办法一：由（1）中可知256)16(3222+--=-=nnnSn，

∴当n＝16时，nS有最大值，nS的最大值是256.办法二：由1--=nnnSSa，可得332+-=nan.

由0332≥+-=nana，得2

33≤

n；由03121≤+-=+nan,得231≥nn；又n为正整数，所以当n=16时，nS有最大值256.

2、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S130,S13??+0,知a6>0,

又∵d＜0,∴n≤6时，an>0,n≥7时，an<0,

∴S6最大，即n=6.

3.已知数列{an}是等差数列，且a2=-1，a5=5.

(1)求{an}的通项an.(2)求{an}前n项和Sn的最小值.

解：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，11

ad1,a4d5+=-??+=?，解得a1=-3，d=2，所以an=a1+(n-1)d=2n-5.

(2)Sn=

()

()2

2

1

nn1

nadn4nn24

2

-

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