新课标人教A版数学选修4-5《不等式选讲》教案

选修4_5不等式选讲

课题：第01课时不等式的基本性质

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩II"：“远

者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在：日常生活中

息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上

方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去•个小正方形，制成一个无盖

的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，

需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式

等)和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不

等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝时的，而相等则是局部的、相对的。还可从

引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)

克糖，则糖水更甜了，为什么？

分析：起初的糖水浓度为巳h，加入m克糖后的糖水浓度为h4匕-77竺7，只要证h匕+m”>h巳即可。

aa+ma-Vma

怎么证呢？

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

a>h<^>a-h>0

a=b<=>a—b=0

a<ba-b<0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b,那么b<a,如果b〈a,那么a>b。(对称性)

②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c=>a>co

③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>b=>a+c>b+c。

推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.即a〉b,c>d=>a+c>b+d.

④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc.

⑤、如果a>b>0,那么(nsN,且n>l)

⑥、如果a>b>0,那么标>我(neN,且n>l)。

三、典型例题：

例1、已知a>b,c<d,求证：a-c>b-d.

例2已知a〉b>0,c<0,求证：—>—

ab°

选修4_5不等式选讲

课题：第02课时含有绝对值的不等式的解法

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础

上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：•类是解不等式，另一类是证明不等式。下

面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，

化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.

请同学们回忆一下绝对值的意义。

x,如果x>0

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即忖=<0,如果x=0。

-x,如果x<0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式凶的解集是

{x\-a<x<a],它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（—a,a）,如

图所示。

—Q图1-1CL

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式国>a的解集是{xlx>a或x<—a}

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间（-8,-。）,伍,8）的并

集。如图1-2所示。

-aa

图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

二、典型例题：

例1、解不等式|3x-l|<x+2。

例2、解不等式|3x—1|>2-X。

方法1：分域讨论

★方法2：依题意，3》一1>2-x或3x-l<x—2,（为什么可以这么解？）

例3、解不等式|2x+l|+|3x-2|25。

例4、解不等式卜―2|+,一1|?5。

解本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x

到1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所以x在2的右边，与2的距离大于等于2

（=（5-1）+2）；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，xN4或

例5、不等式|x-l|+|x+3|>a,对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

四、练习：解不等式

1、2|2x-l|>l.2、4|l-3x|-l<0

3、|3—2x|x4-4.4、|x+l|>2-x.

5、|x2-2x-4|<l6、卜~-1|>x+2.

7、W+k-248、,26.

9、|x|+|x+l|<210、||x|-|x-4八〉2.

选修5不等式选讲

课题：第03课时含有绝对值的不等式的证明

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关

于绝对值的和、差、积、商的性质：

(1)|《+Mln0+目(2)|tz|-|/?|<|a+/>|

(3)时•网=mW(4)百怖,°)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理?

实际上，性质即网=卜・可和口=E1*0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;

而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明向+网"a+4对于任意实数都

成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设。为实数，a和何哪个大？

显然M2a,当且仅当a20时等号成立(即在a20时，等号成立。在a<0时，等号不成立)。

同样，|42一。.当且仅当。〈0时.，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用时2+a、同？-a及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例1、证明(1)|a|+|fo|>|a+Z?|,(2),+可之同一例。

证明(1)如果a+〃20,那么,+q=4+/?.所以时+网2a+。=+..

如果a+bv0,那么+4=一(〃+力).所以同+网>-(74-(-/?)=-(a+/?)=,+.

(2)根据(1)的结果，有,+4+|-42,+。一。|,就是，k+4+四2时。

所以，,+42时_网。

例2、证明|a|-|i|<|a-&|<|a|+|i|«

例3、证明\a-b\<|a-c|+1/?-c|o

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

(设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c,则线段AC+CB.当且仅当C

在A,B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c=0(即C为原点)，就得到例2的后

半部分。)

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式时+M以。+耳的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1,例2和例3的

结果来证明。

例4、已知<■!■,>一耳<I,求证］(x+y)-(a+6)|<c.

证明|(x+y)—(a+匕)|=|(x-a)+(y-b)|<|x-a|+|y-/?|(1)

4-4<］，|—|<|，

•，•卜一+-b|<5+1=c(2)

由(1),(2)得：］(x+y)-(a+b)|〈c

例5、已知忖求证：|2x-3y|<〃。

证明

由例1及上式，|2次一3》|4|2x|+|3y|

注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号

方向相同的不等式。

四、练习：

1、已知|4一《<|,忸一同<|.求证：|(A—8)—(a—与|<c。

2、己知卜一《v(Jyv£.求证:\lx-3y-2a+3H<c。

链接：不等式的图形

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和

绝对值不等式的儿何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速

而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效

地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。

1.解不等式卜-1|+卜一2|w|x+l|。

题意即是在数轴上找出到。=1与乙=2的距离之和不大于到点或=T的距离的所有流动点

XO

首先在数轴上找到点。=1,或=2,或=-1（如图）。

-10123

从图上判断，在。与女之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到。与虞的距离和正

好是1,而到女的距离是2+（X-1）=1+X（1WX<2）。

现在让流动点x由点5向左移动，这样它到点&的距离变，而到点。与虞的距离增大，显然,

合乎要求的点只能是介于虞=T与。=1之间的某一个点项。

2

由（1—X］）+（2—为）<工］—（―1）,可得%i.

再让流动点X由点乙向右移动，虽然这种点到。与乙的距离的和及到或的距离和都在增加，

但两相比较，到。与o的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点

x2而止。

2

由（/-1）+。2-2）</一（一1），可得Z44.从而不等式的解为-<x<4.

2.画出不等式k|+N〈i的图形，并指出其解的范围。

先考虑不等式在平面直角坐标系内第■象限的情况。在第一象限内不等式等价于：

x>0,y>0,x+y<1.

其图形是由第一象限中直线y=l-x下方的点所组成。

同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式

W+|y|wi的图形是以原点0为中心，四个等点分别在坐标轴A

上的正方形。不等式解的范围一目了然。

探究：利用不等式的图形解不等式

1.||x+l|-|x-l||<l;2.H+2|y|<l.

A组

1.解下列不等式：

(1)|2-3x|＜|

(2)l<|3.x+4|<7

(3)|2x-4]<x+1(4)-r2—2x|<—x

x+2

2.解不等式：(1)|2x-l|<|x-l|(2)>1

x-1

3.解不等式：(1)|x+1|+|x+2|>3(2)|x+2|—|x—1|+3>0.

4.利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式卜-4|+卜-3卜。有解，。要满足什么条件?

5.已知,一《＜_/<—.求证:

33

(1)](A+8+C)—(a+/?+c)|<s；(2)|A+6—C)—(a+/?—c)1Vs.

6.已知|x|<V^,|y|<^l'a,求证：|孙|<a・

7.已知|x|<ch,\y\>c>0.求证:齐・

B组

a+b

*****8.求证\\<网

1+|a+Z?|l+|a|1+例

a+b

*****9.已知时＜1,网＜1.求证:<i.

1+QZ?

2

10.若a,夕为任意实数,为正数，求证：|a+P/W(l+c)|a「+(l+

刎+渊

2

("+夕『＜|a|+|呼+2同四,而冏悔=<-------——)

2

选修4_5不等式选讲

课题：第03课时指数不等式的解法

二、典型例题：

例1、解不等式2*3-3<(；产1)

解：原不等式可化为：242X-3<2-3CT)•.•底数2>1

x~-2x—3<-3(x—1)整理得：x~+x—6<0

解之，不等式的解集为{xl-3<rv2}

例2、解不等式3V+1+18・>29。

解：原不等式可化为：3・32,-29・3'+18>0

2

即：(3"-9)(3-3'-2)>0解之：3*>9或3*〈彳

一.2

.'.x>2或*<log3—

2

，不等式的解集为“42或x<log3—}

例3、解不等式：ax2-2x>ax+4,(a>0且a*1)

(当4>1时XW(—oo,—l)D(4,+oo)当0<a<l时xe(-1,4))

23x

例4、解不等式:(-y->4-(-l<x<3)

选修45不等式选讲

课题：第04课时对数不等式的解法

二、典型例题：

例1、解不等式log.3(xT)?2。

x-1>0%-1>0

解：原不等式等价于L-3>1

或v0<x-3<1解之得：4<rW5

x-12(x—3)~X—1W(X—3)2

・,・原不等式的解集为&I4UW5}

例2、解关于x的不等式：log”(4+3x-1?)一log.(2x-1)>log,2,(a>0,。W1)

2

解：原不等式可化为log”(4+3X-X)>loga2(2x-1)

2x-l>0

z1

当a>\时有<4+3x—x2>0n〈一1cx<4n—<x<2

c2

4+3x—x~>2(2x—1)—3<x<2

（其实中间一个不等式可省）

1

-2x-l>0x>一

2

当0<«<1时有<4+3x-->o=<-l<x<4=>2<x<4

4+3x—x~<2(2x—1)x<-3或x>2

，当«>1时不等式的解集为\x-<x<2>

2

当0<”1时不等式的解集为｛x[2<x<4｝。

例3、解关于x的不等式j5-log〃x>1+log“x。

解：原不等式等价于

1+log“x>0

,5-logx>0

I：<5-log,x>(1+log,x)2a

((log“x+lWO

5—log“x>0

解I：-1Wlog“x<1

解II：log„x<-llog(Jx<1

当a>\时有0<x<a当0<a<l时有x>a

原不等式的解集为｛xl0<r<a,a>l｝或｛xh>a,0<a<l｝

例4、解不等式yog"，>土孚。

a~

解：两边取以a为底的对数：

,9

当（Ra<l时原不等式化为：（log“x）2<]log“x-2

4

/.(log(,x-4)(21ogux-1)<0g<log“x<4a<x<4a

,9

当。>1时原不等式化为：(lOgaX/AglogaX-Z

...(log"x-4)(2log„x-1)>0

log。4或log”XV7/.x>a4或o<%<4a

・•.原不等式的解集为[xIa4<x<V^,0<a<1｝或｛xIx>cJ或0<x<4a,a>1｝

四、练习：

解下列不等式

1.logj(x2-31-4)>logj(2x+10)(-2<x<l或4<v<7)

33

2.当求不等式：log“(log”九)>0(«<¥<1)

3.6Z>1,0</?<1,求证：a,ogh(2x-1)>1

]+九

4.log”---->0,(Q>0,QW1)(-1<¥<0)

1-X

5.a>\时解关于x的不等式log„[a2A-T(优+2A+I)+1]>0

(67>2,X>loga2;I<a<2,X<loga2;〃=2,Xc。)

22

选修4_5不等式选讲

课题：第05课时无理不等式的解法

一、引入：

1、无理不等式的类型：

7u)>ol

①、J/(x)>Jg(x)型」

J(x)>g(x)

____[gU)>0膜(幻<0

②、77荷〉g(x)型0或*：

、r/、I2fM>Q

[/U)>0

③、J/(X)<g(x)型Q<g(x)>0

J(X)<[g(X)]2

二、典型例题：

例1、解不等式j3x-4-Vx^3>0

八一、-f3x-4>0

解：•••根式有意义，必须有：\nx23

x-3>0

又有•；原不等式可化为J3x-4>

两边平方得：3x-4>x-3解之：x>-

2

，{xIx>3}c{xIx>g}={xIx>3}

例2、解不等式J-/+3x-2>4-3x

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集:

’4-3x20

—x~—3x—220

I：,-x"+3x—2>0II：(

4-3x<0

一x~+3x-2>(4—3x)~

4

解I:《1Wx<2解II：-<x<2

533

，原不等式的解集为{xl|<x<2}

例3、解不等式J?'-6x+4<x+2

(2x2-6x+4>0

解：原不等式等价于{x+2〉0

12x~-6x+4<(x+2)~

x>2或x<1

=><x>—2=>{xI2<x<10g^0<x<1}

0<x<10

特别提醒注意：取等号的情况

例4、解不等式J2X+1>J7XT—1

2x+120V>|

解：要使不等式有意义必须：i=42=x?—上

[x+120[x>42

原不等式可变形为A/2X+1+1>VTH因为两边均为非负

(J2x+1+1)2〉(V7+T)2即2j2x+l>-(X+1)

VA+1>0，不等式的解为2X+120即%>--

2

例5、解不等式&+i_ax<1(。>0)

例6、解不等式「2—，+Jx-1>1

解：定义域片120

原不等式可化为：，口一1>我二，

两边立方并整理得：(x+2)7^1>4(x-l)

在此条件下两边再平方，整理得：(x-l)(x-2)(x-10)>0

解之并联系定义域得原不等式的解为{xll<x<2或x>10}

四、练习：解下列不等式

1.J2--3+《3x_5>V5x—6(x>2)

2.3x-3+Jx+3<3x+Jx+3U>-3)

-5+V13,

3.d4-V1—x>5/2—x(--------<X<1)s

2

2

4.(x-1)Vx—x—220(x>2或x=-1)

<x<^-

5.，2-X-y/X~t-1>1

选修4_5不等式选讲

课题：第06课时含有参数不等式的解法

一、引入：

二、典型例题：

例1、解关于x的不等式logf-x<loga

解：原不等式等价于log「x<—!—即：(l°g"X+l)(l°g“D<。

&log”xlog“X

10g„x<-1或0<log"X<1

若a>l0<x<—,

a

若0<a<lx>—^a<x<1o

a

例2、解关于x的不等式23J-2V</n(2'-2'x)

解：原不等式可化为2公一(1+机)・2*+6<0

即：(22、-1)(22]—m)<Os

‘.1

当m>\时1<2~'<m/.0<x<—log2m

当m=l时Q2"—I)?<0.*.XGO

当Ovmvl时m<22x<1—log机<x<0

29"

当机WO时x<0

例3、解关于x的不等式-\/x2-4mx+4//22>m+3

解：原不等式等价于11一2机1>加+3

当〃?+3>0即〃2>—3时x-2m>m+3或x-2m<-(m+3)

x>3m+3或x<m-3

当〃?+3=0即m=-3时Ix+6l>0—6

当m+3<0即m<—3时XGRO

例4、解关于x的不等式(cot^)-^-2<1,(0<^<1)

解：当cot。>1即%(0,一)时一厂+3苫一2<0：.x>2或xvl

4

当cot6=1§P0=—时d>

4

当cot6e(0,1)即0e(一,—)时—x~+3x-2>01<x<2

42

例5、满足3-x2Jx-1的x的集合为A；满足-—(a+l)x+aW0的x的集合为8。

1。、若AcB求。的取值范围

2。、若AqB求。的取值范围

3。、若ACB为仅含一个元素的集合，求a的值。

解：A=[1,2]8={xl(x-a)(x-l)W0}

当aWl时fi=[a,l]当a>l时8=[l,a]

当a>2时Au8

当1W“W2时A3B

当aW1时ACS仅含一个元素

.11

例6、方程asin2x+5cosx+5-〃=0,(0<a<l,0WxW))有相异两实根，求〃的取值范

围。

解：原不等式可化为2QCOS?X-C0SX-1=0,令：t=COSX则

设/⑴=2〃产-r-1又,・Z>0

1

A=1+8。>0>——

/(-l)=2tz>08

>0

/⑴=2"220n.=>«>1

>1

>-gKa<--

44

五、作业:

21

1.log!X—(。+—)log]X+1<0

a

22

当Q〉1或一1<4<0时(！)"<X<(-)a

2[2,。=±1时工£

当0<a<1或a<—1时(g)"a<x<(/)"

2.A={x\3-x>Vx-1}B={%IIX-1l>a,a>0}若AcB二0

求。的取值范围321)

3.Vtz2-3x2>x+a,(a>0)(--<x<0)

4.x,ogflA+,>a2x,(a>0)

(当0<a<1时a"?<x<cT°,当a>1时x>〃板或0<x<cT®)

o19

5.当a在什么范围内方程：x-(log267-4)x+-log2^-1=0有两个

(0,；)54,4收)

不同的负根

6.若方程/+(m一2)x+5-〃?=0的两根都对于2,求实数小的范围。((-5,4])

选修4_5不等式选讲

课题：第07课时不等式的证明方法之一：比较法

一、引入：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

a>b=a-h>0

a=b<^>a-b=O

a<ba-b<0

二、典型例题：

例1、设aw。，求证：Q?+3/>2/?(。+。)。

例2、若实数xwl,求证：3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1+X2+X4)-(1+X+X2)2

423

=3+3/+3炉-1-r_x-2X-2X-2X

—2(%4-X?—x+])

=2(X-1)2(X2+x+l)

o1O3

=2(x-l)-[(x+—),-+—].

24

I3

vx^l,AW(x-l)2>O,K(x+-)2+->0,

24

,1,3

2(x—1)[(x+—)'+—]>0,

24

3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.

讨论：若题设中去掉xHl这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知a,beR+,求证>abba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于。力对称，不妨设aN6>0.

a-b>0

,,,,,,从而原不等式得证。

aubb-abba=abbb(aa-b-ba-b)>0

2)商值比较法：设。2匕>0,

.屋心ab

a-b>0,’.而一B21.故原不等式得证。

h

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差

(或作商)、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度用行走，另一半时

间以速度〃行走；乙有一半路程以速度机行走，另一半路程以速度〃行走。如果加问甲、乙

两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为

要回答题目中的问题，只要比较乙12的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为乙J2，

的田呷上士G4cssr/曰25S(〃？+〃)

根据题，昂有一mH—n=S,----1...->可得=------，t->----------，

222m2nm+n2mn

..2SS(m+n)S[4mn-(m+n)2]S(m-n)2

从而-1=-----------------------------------=--------------,

2m+n2mn2(m+n)mn2(m4-n)mn

其中S,孙〃都是正数，且〃Z声〃。于是。一»2<0，即，1<，2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果机=〃，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设/(x)=2》2+1,〃4>0,〃+4=1.求证；对任意实数a,b,恒有

Pf(a)+qf⑸2f(pa+qb).(1)

证明考虑(1)式两边的差。

Pf(a)+qf(b)-f(pa+qb).

=p(2a~+V)+q(2b2+1)-[2(pa+qb)2+1]

=2p(l-p)a2+2q(l—q)b2—4pqab+p+q—1.(2)

•；p+q=l，pq>0,

/.(2)=2pqa2+2pqh2—4pqah

=2Pq(a—bf>0.

即(1)成立。

五、作业：

1.比较下面各题中两个代数式值的大小：

(1)x~与厂-x+1；(2)厂+x+1与♦(x+1)-.

今2〃

2.已知aWl.求证：(1)a~>2df-l;(2)-----<1.

1+a

a+/y+c

3.若a?b?c>0,求证a*%。2(abc)3.

4.比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.

44322332233

解.a-b-4a(a-b)=(a-b)(a+b)(a+b)-4a(a-b)=(a-b)(a+ab+ab+b-4a)

=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)

<0(当且仅当d=b时取等号)

.•.a4-b4>4a3(a-b)o

5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

6.已知xWO,比较(x?+l)2与x4+x2+l的大小.

7.如果x>0,比较(、石-1)2与(«+1)2的大小.

8.已知aWO,比较(a-+V2tz+1卜~-+1)与+a+l)(a-—a+1)的大小.

9.设xNl,比较x3与x4x+l的大小.

说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”

的常用方法。

阅读材料：琴生不等式

例5中的不等式川(a)+/(。)2/(pa+qb)有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸

函数有着密切的关系，也是琴生(Jensen)不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：

设函数/(x)的定义域为［a,b］,如果对于［a,b］内任意两数x”/，都有

/X+七)</(X|)+/(X2)

I2F(1)

则称/(x)为［a,b］上的凸函数。

若把(1)式的不等号反向，则称这样的/(x)为［a,b］上的凹函数。

凸函数的几何意义是：过了=/(x)曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲

线上。

其推广形式是：若函数/(x)的是［a,b］上的凸函数，则对［a,b］内的任意数项,》2,…x“，都有

于fX］+-2+…+、</区)+/(》2)+…+/(X”)(2)

I«J"«

当且仅当/=i=x,时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。

更为一般的情况是：设/(X)是定义在区间［a,b］上的函数，如果对于［a,b］上的任意两点x”X2,

有力(西)+4@2)2/(。项+/2)，

其中p,qeR+,p+q=l,则称/(x)是区间［a,b］上的凸函数。如果不等式反向，即有

pf(xi')+qf(x2')<f(pX［+qx2),则称/(x)是［a,b］上的凹函数。

其推广形式，设/国2「,，/€^+，/+%+-+4“=1，/（X）是［a,b］上的凸函数,则对任

意X|,X2,…,x“e出,切,有7（4内+q2x2+…+q.x“）W//（X］）+<72/（X2）+-+q"/（X"），

当且仅当Xi=/=3=x,时等号成立。

若/（x）是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于

一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

选修4_5不等式选讲

课题：第08课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者

在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路

方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等

式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是

“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐

步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，A2+B2>2AB是常常要用到的一个重要不等式。

二、典型例题：

例1、a力都是正数。求证：-+->2.

ba

证明：由重要不等式42+82?246可得

本例的证明是综合法。

例2、设a>0,b>0,^.vf,a3+b3>a2b+ab2.

证法一分析法

要证a，+&3>a2b+ah2成立.

只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,

又因a+b>0,

只需证/-ab+b2Nab成立，

又需证a?-2ab+b2>0成立，

即需证（。一））220成立.

而（a-。）2>0显然成立.山此命题得证。

证法二综合法

(a-b)2>0=>a2-2ab+b2>0=>a2-ab+b2>ab

注意到即。+/?>(),

由上式即得(a+b)(〃2-ah+b2)>ab(a+b),

从而+/?3>a2b+ah2

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

4+/%CI

例3、已知a,b,m都是正数，并且a<b.求证：----->-.(1)

b+mb

证法--要证(1),只需证优。+机)>a(/?+〃z)(2)

要证(2),只需证bm>am(3)

要证(3),只需证b>a(4)

已知(4)成立，所以(1)成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。

证法二因为人>“,〃?是正数，所以

两边同时加上ab得6(a+m)>a(b+m)

两边同时除以正数仇b+根)得(Do

读一读：如果用PnQ或QuP表示命题P可以推出命题Q(命题Q可以山命题P推出)，

那么采用分析法的证法一就是(1)u(2)<=(3)u(4).

而采用综合法的证法二就是(4)=>(3)=(2)n(1).

如果命题P可以推出命题Q,命题Q也可以推出命题P,即同时有那么我

们就说命题P与命题Q等价，并记为P=Q.在例2中，由于瓦机口+机都是正数，实际上

(1)Q⑵=⑶Q(4).

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的

水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L,则

周长为L的圆的