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数学物理课件第4页共6页勒让德（legendre）多项式及其性质勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：其中为非负实数（1.1）它的幂级数解如下：（1.2）其中：（1.3）（1.4）由达朗贝尔判别法可知，当不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，与可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当取非负整数时，和中有一个便退化为次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数，所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作，下面我们来推导勒让德多项式的表达式。当为正偶数时退化为次多项式。为求得的表达式，在中我们通过来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：（1.5）在（1.5）式中取，得：（1.6）习惯上取为（1.7）于是有：（1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得：（1.9）一般地，我们有（）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的记作，可得：（1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。当为正奇数时退化为次多项式，我们把记作，同理可得：（1.12）（1.22）（1.23）（1.24）现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数分别对微分，得到得到下列两个恒等式（1.25）（1.26）又从式（1.25）和（1.26）得到（1.27）将（1.17）两端分别对微分，得到（1.28）（1.29）然后将它们带入（1.27），得到于是得到与导数之间的关系式其它的导数公式这里不在一一证明。将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到这就是递推公式，由，可以推出，由，可以推出，…..4．勒让德多项式的正交性：勒让德多项式在[-1,1]上正交，即当时

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