2023年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(解析版)

第1页〔共22页〕2023年北京市海淀区高考数学一模试卷〔文科〕一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．圆心为〔0，1〕且与直线y=2相切的圆的方程为〔〕A．〔x﹣1〕2+y2=1 B．〔x+1〕2+y2=1 C．x2+〔y﹣1〕2=1 D．x2+〔y+1〕2=13．执行如下图的程序框图，输出的x的值为〔〕A．4 B．3 C．2 D．14．假设实数a，b满足a＞0，b＞0，那么“a＞b〞是“a+lna＞b+lnb〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥中最长棱的长度为〔〕A． B． C． D．36．在△ABC上，点D满足，那么〔〕A．点D不在直线BC上 B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上 D．点D在CB的延长线上7．假设函数的值域为[﹣1，1]，那么实数a的取值范围是〔〕A．[1，+∞〕 B．〔﹣∞，﹣1] C．〔0，1] D．〔﹣1，0〕8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN〔图中粗线〕之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好〞．那么下面结论中正确的选项是〔〕①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．① B．② C．①③ D．②③二、填空题〔每题5分，总分值30分，将答案填在答题纸上〕9．复数z=a〔1+i〕﹣2为纯虚数，那么实数a=．10．等比数列{an}中，a2a4=a5，a4=8，那么公比q=，其前4项和S4=．11．假设抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，那么实数p=．12．假设x，y满足那么的最大值是．13．函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕，假设函数y=f〔x+a〕〔a＞0〕的局部图象如下图，那么ω=，a的最小值是．14．阅读以下材料，答复后面问题：在2023年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间〞节目中，主持人说：“…参加此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2023年航空事故死亡人数将到达1320人．尽管如此，航空平安专家还是提醒：飞机仍是相对平安的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2023年9月，每百万架次中有2.1次〔指飞机失事〕，乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．〞对上述航空专家给出的①、②两段表述〔划线局部〕，你认为不能够支持“飞机仍是相对平安的交通工具〞的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题〔本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15．等差数列{an}满足a1+a2=6，a2+a3=10．〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{an+an+1}的前n项和．16．某地区以“绿色出行〞为宗旨开展“共享单车〞业务．该地有a，b两种“共享单车〞〔以下简称a型车，b型车〕．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．〔Ⅰ〕某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；〔Ⅱ〕根据已公布的2023年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．第3个月第4个月租用a型车租用b型车租用a型车60%50%租用b型车40%50%假设认为2023年该地区租用单车情况与2023年大致相同．2023年3月该地区租用a，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计2023年4月该地区租用两种车型的用户比例．17．在△ABC中，A=2B．〔Ⅰ〕求证：a=2bcosB；〔Ⅱ〕假设b=2，c=4，求B的值．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．〔Ⅰ〕求证：PB∥平面FAC；〔Ⅱ〕求三棱锥P﹣EAD的体积；〔Ⅲ〕求证：平面EAD⊥平面FAC．19．椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设点Q〔4，0〕，假设点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由．20．函数f〔x〕=ex﹣x2+ax，曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线与x轴平行．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设g〔x〕=ex﹣2x﹣1，求函数g〔x〕的最小值；〔Ⅲ〕求证：存在c＜0，当x＞c时，f〔x〕＞0．

2023年北京市海淀区高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，那么集合A∩B={x|2＜x＜3}．应选：A．2．圆心为〔0，1〕且与直线y=2相切的圆的方程为〔〕A．〔x﹣1〕2+y2=1 B．〔x+1〕2+y2=1 C．x2+〔y﹣1〕2=1 D．x2+〔y+1〕2=1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设圆方程为x2+〔y﹣1〕2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+〔y﹣1〕2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+〔y﹣1〕2=1，应选：C3．执行如下图的程序框图，输出的x的值为〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【考点】程序框图．【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，y=5不满足条件=，执行循环体，x=1，y=4不满足条件=，执行循环体，x=2，y=2满足条件=，退出循环，输出x的值为2．应选：C．4．假设实数a，b满足a＞0，b＞0，那么“a＞b〞是“a+lna＞b+lnb〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】据a，b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：设f〔x〕=x+lnx，显然f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，∵a＞b，∴f〔a〕＞f〔b〕，∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb〞，∴f〔a〕＞f〔b〕，∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b〞是“a+lna＞b+lnb〞的充要条件，应选：C5．某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥中最长棱的长度为〔〕A． B． C． D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论．【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为=，应选B．6．在△ABC上，点D满足，那么〔〕A．点D不在直线BC上 B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上 D．点D在CB的延长线上【考点】向量的三角形法那么．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，那么：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．应选D．7．假设函数的值域为[﹣1，1]，那么实数a的取值范围是〔〕A．[1，+∞〕 B．〔﹣∞，﹣1] C．〔0，1] D．〔﹣1，0〕【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数f〔x〕的解析式，讨论x≤a和x＞a时，f〔x〕∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数的值域为[﹣1，1]，当x≤a时，f〔x〕=cosx∈[﹣1，1]，满足题意；当x＞a时，f〔x〕=∈[﹣1，1]，应满足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范围是[1，+∞〕．应选：A．8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN〔图中粗线〕之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好〞．那么下面结论中正确的选项是〔〕①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．① B．② C．①③ D．②③【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【解答】解：因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人〞．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人〔如图〕，求一点，使所有人走到这一点的距离和最小〞．把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最适宜，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关应选C．二、填空题〔每题5分，总分值30分，将答案填在答题纸上〕9．复数z=a〔1+i〕﹣2为纯虚数，那么实数a=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a〔1+i〕﹣2=a﹣2+ai为纯虚数，∴a﹣2=0，a≠0，那么实数a=2故答案为：2．10．等比数列{an}中，a2a4=a5，a4=8，那么公比q=2，其前4项和S4=15．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3，=8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3，=8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4项和S4==15．故答案为：2，15．11．假设抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，那么实数p=4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线x=﹣经过双曲线的右焦点〔﹣2，0〕，即可求出p．【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，∴p＞0，所以抛物线的准线为x=﹣，依题意，直线x=﹣经过双曲线的右焦点〔﹣2，0〕，所以p=4故答案为：4．12．假设x，y满足那么的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】根据的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如以下图中阴影局部所示：那么的几何意义表示平面区域内的点与点〔0，0〕的斜率的最大值，由解得A〔1，〕显然过A时，斜率最大，最大值是，故答案为：．13．函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕，假设函数y=f〔x+a〕〔a＞0〕的局部图象如下图，那么ω=2，a的最小值是．【考点】由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式求ω，然后由图象过的点求出a．【解答】解：由函数图象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f〔x+a〕〕=sinω〔x+a〕且〔，1〕在图象上，所以sin2〔+a〕=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0时a的最小值为；故答案为：2；．14．阅读以下材料，答复后面问题：在2023年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间〞节目中，主持人说：“…参加此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2023年航空事故死亡人数将到达1320人．尽管如此，航空平安专家还是提醒：飞机仍是相对平安的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2023年9月，每百万架次中有2.1次〔指飞机失事〕，乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．〞对上述航空专家给出的①、②两段表述〔划线局部〕，你认为不能够支持“飞机仍是相对平安的交通工具〞的所有表述序号为①，你的理由是数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．【考点】收集数据的方法．【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数三、解答题〔本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15．等差数列{an}满足a1+a2=6，a2+a3=10．〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{an+an+1}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】〔I〕利用等差数列的通项公式即可得出．〔II〕利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕设数列{an}的公差为d，因为a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以an=a1+〔n﹣1〕d=2n．〔Ⅱ〕记bn=an+an+1，所以bn=2n+2〔n+1〕=4n+2，又bn+1﹣bn=4〔n+1〕+2﹣4n﹣2=4，所以{bn}是首项为6，公差为4的等差数列，其前n项和．16．某地区以“绿色出行〞为宗旨开展“共享单车〞业务．该地有a，b两种“共享单车〞〔以下简称a型车，b型车〕．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．〔Ⅰ〕某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；〔Ⅱ〕根据已公布的2023年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．第3个月第4个月租用a型车租用b型车租用a型车60%50%租用b型车40%50%假设认为2023年该地区租用单车情况与2023年大致相同．2023年3月该地区租用a，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计2023年4月该地区租用两种车型的用户比例．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】〔Ⅰ〕依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车〞，那么事件为“7人中抽到2人都租到b型车〞．利用列举法能求出抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率．〔Ⅱ〕依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，由此能同市场4月租用a，b型车的用户比例．【解答】解：〔Ⅰ〕依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车〞，那么事件为“7人中抽到2人都租到b型车〞．如以下表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，所以事件A概率．〔Ⅱ〕依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，所以市场4月租用a，b型车的用户比例为．17．在△ABC中，A=2B．〔Ⅰ〕求证：a=2bcosB；〔Ⅱ〕假设b=2，c=4，求B的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB；〔Ⅱ〕假设b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】〔Ⅰ〕证明：因为A=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．〔Ⅱ〕解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因为b=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因为A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．〔Ⅰ〕求证：PB∥平面FAC；〔Ⅱ〕求三棱锥P﹣EAD的体积；〔Ⅲ〕求证：平面EAD⊥平面FAC．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．〔Ⅱ〕由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出结果．〔Ⅲ〕推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．【解答】证明：〔Ⅰ〕连接BD，与AC交于点O，连接OF，在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF⊂平面FAC，PB⊄平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：〔Ⅱ〕因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因为E为PB中点，所以S△PAE=S△ABE，所以．证明：〔Ⅲ〕因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE⊂平面EAD，AD⊂平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以OF⊥平面EAD，又OF⊂平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设点Q〔4，0〕，假设点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】〔Ⅰ〕由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出．〔Ⅱ〕假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．设点M〔x1，y1〕，P〔4，t〕，过点M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入椭圆方程，即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由|AB|=4，得a=2．又因为，所以c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．〔Ⅱ〕假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．设点M〔x1，y1〕，P〔4，t〕，过点M作MH⊥AB于H，那么有，所以|BH|=1，所以H〔1，0〕，所以x1=1，代入椭圆方程，求得，所以P〔4，±3〕．20．函数f〔x〕=ex﹣x2+ax，曲线y=f〔x〕在点〔0，f