一元二次方程根的分布情况归纳

PAGEPAGE1二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

ax2

bx

0根的分布情况

bx

0a

x,x且x x，相应的二次函数为

f x ax2

bx

0，方程的1 2 1 2根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）两根与0的大小比较即根的正负情况）分 两个负根即两根都小于 0布

两个正根即两根都大于 0

一正根一负根即一个根小于 0，情 况

0,x2 0

x1 0,x2 0

一个大于0

0 x2大致图象（a 0）得 0出 b的 0结 2a

0b 0 f0 02a论 f 0 0

f 0 0大致图象（a 0）得 0出 b的 0结 2a

0b 0 f0 02a论 f 0 0

f 0 0综合结 0b论b（ 0不 2a论讨 af 0 0论a）

0b 0 a f0 02aa f 0 0k的大小比较）分 两根都小于k即布情

两根都大于k即

一个根小于k，一个大于k即况 x1 k,x2 k

x1 k,x2 k

x1 k x2大致图象 k（ k ka 0）得 0出 b的 k结 2a论 f k 0

0b k2af k 0

fk 0大致图象（a 0）得 0出 b的 k结 2a论 f k 0

0b k2af k 0

fk 0综合结 0b论b（ k不 2a讨论 af k 0a）

0b k2aa f k 0

a fk 0根在区间上的分布）分情布 情

内

mn内

q况 （图象有两种情况，只画了一种）

内，m n p q大致图象（a 0）0得 f m 0出的 f n 0结论 m b 2a

fm fn 0

f m 0f n 0或f p 0f q 0

f m f n 0f p f q 0大致图象（a 0）0得 f m 0出的 f n 0结 b

fm fn 0

f m f n 0fmfm0fn0fp0fq0f p f q 0论 m 2a综合结论（ ——————不讨论a）

fm fn 0

fmfn 0f pfq 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间

外，即在区间两侧

n图形分别如下）需满足的条件是

f 0时，f n

0； 0

f m 00时，f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

内有以下特殊情况：若f

0或f

f m f

0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间

m,n

内，从而可以求出参数的值。如方程

mx2

m 2x

2 0在区间1,3上有一根，因为f即为所求；

mx2

m 2x 2

x 1 mx

2m

2 23得 m 2m 3

内，即 0，此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x2 4mx

2m 6 0有且一根在区间

3 f 0 0即14m 15 m

3 0得出3 m 15；14②由 16m2

42m

6 0m

1m

3，当m2

1时，根x

2 3,0

m

1满足题意；3当m 时，根x2

3

m

3不满足题意；综上分析，得出2

3 m 或m 1141、已知二次方程

2m 1x2

2mx m

根的分布练习题1 0有一正根和一负根，求实数 m的取值范围。解：由 2m 1

f 0 0

即 2m 1m 1

0从而得 12

m 1即为所求的范围。2、已知方程

2x2

m 1x m

0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。解：由

0 2m 1 8m 0m 1

m 3 2 2或m

3 2 20 m 122 m 0f 0 0 m 00 m 3 2 2或m 3 2 2即为所求的范围。2例3、已知二次函数y m 2x2

2m 4x

3m

与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于1，求实数m的取值范围。

m 2

1 0即

m 2 2m 1 0

12 m 即为所求的范围。24、已知二次方程

mx2 2m 3x

4 0只有一个正根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。解由题意有方程在区间 0,1上只有一个正根，则f

f 1 0

4 3m 1 0

1m 即为所求范围。3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 0,1内，由 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数 （1）方程x2

ax a2 7 0的两个根一个大于 2，另一个小于 2；

7x2

(a 13)x a2

a 2 0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；

x2 ax 2

0的两根都小于0；

x2 ax

0的两根都小于 1．方程

(a x

2a2

5a 3 0的两根都在区间[ 上；

x2 ax 4

0在区间（11）上有且只有一解；2、已知方程

x2 mx 4

0在区间[ 1，1]上有解，求实数m的取值范围．3、已知函数fx)检测反馈：

mx2

(m

1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m的取值范围．若二次函数

f(x)

x2 (a

1)x

1( 2

上是增函数，则

f(2)

的取值范围是 ．若 、是关于x的方程x2

2kx

k 6 0的两个实根,(

(

2的最小值为 ．若关于

x2 (m

x

2m 1 0只有一根在(0,1)内，则m _ _．对于关于x的方程x2+(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m的取值范围：根 于 1于 2，一个根小于 2 （4）两个根都在（0，2）内（5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内 47）在（0，2）内有根一个正根，一个负根且正根绝对值较大已知函数

f(x)

mx2 x

1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m的取值范围。

上的最大、最小值问题探讨设fx

ax2

bx

0a

上的最大、最小值有如下的分布情况：m n b2a

m b n即 b2a

m,n

b m 2a图象最大 fx、最小 fx值

max fmmin fn

fxmaxfxmin

maxf

fn,fmb

fxmax fnfxmin fm对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：b2ab

，则f

xmax

max

fm,f

b ,fn2a

，fx

min

min

fm,f

b ,fn ；2a2a

，则f

xmax

maxf

m,fn

，fx

min

min

fm,fn另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 ，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习各代表一种情况。1、函数

f x ax2 2ax 2 ba

0在2,3上有最大值5和最小值2，求

a,b的值。解：对称轴

x0 1

，故函数 f x在区间 2,3上单调。

0时，函数f x在区间 2,3上是增函数，故

f xmax f 3f xmin f 2

3a b 2 5 a 1；2 b 2 b 02、求函数

0时，函数f x在区间 2,3上是减函数，故f x x2 2ax 1,3的最小值。

f xmax f 2f xmin f 3

b 2 5 a 13a b 2 2 b 3解：对称轴x0 a（a

1时，ymin

f 1 2 a

3时，ymin

f a 1

a2（a

3时，ymin

f 3 10 6a

f xmax

f 3 10 当

f xmax

f 1 2 2a。2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

f xmax

f 3 10

f xmin

f1 2 2a；

f xmax

f 3 10 6a，f

min

f a

a2；

a

f xmax

f1 2 2a，f

min

f a

a2；

f xmax

f1 2

f xmin

f 3 10 6a。3、求函数

y x2 4x

在区间

t,t

上的最小值。解：对称轴

x0 2t即t

y f t t2

4t

2 t 1即1 t

ymin f

2 1；minmin

t 1t

ymin

f t 1

t2 2t4、讨论函数

f x x2

x a 的最小值。解：f x x2