《图形认识初步》知识点串讲及考点透视

------------------------------------------------------------------------《图形认识初步》知识点串讲及考点透视《图形认识初步》知识点串讲及考点透视一、学习目标：1、熟记常见的立体图形和平面图形；2、会画立体图形的表面展开图和从不同方向观察几何体得到的平面图形；3、掌握直线、射线、线段的定义、表示方法及性质；4、掌握余角、补角的求法，度、分、秒的换算，角的和差计算．二、重点、难点：重点：直线、线段的性质，余角、补角的性质，角的和差计算．难点：与图形有关的规律性问题，用分类讨论思想求线段的长度．三、考点分析：图形认识初步是中考的必考内容，其主要考查以下几点：（1）常见几何体的识别，主要考查空间想象能力及数学概念的形成过程，难度不大；（2）从不同方向观察几何体和立体图形的平面展开图；（3）与线段、角有关的性质和计算问题，主要考查对概念的理解情况及计算能力，有时，还会与后继知识结合在一起出现综合题，如探索题、创新题等．四、知识网络角和平分线角和平分线等角的补角相等等角的余角相等角的度量角的大小比较与运算余角和补角角从不同方向看立体图形展开立体图形平面图形几何图形点、线、面、体立体图形平面图形直线、射线、线段线段大小的比较两点确定一条直线两点之间、线段最短五、要点解读（一）知识总揽本章内容都是研究的简单的基本图形，是以后学习的重要基础，其中如何结合立体图形与平面图形的互相转化的学习，来发展空间观念以及一些重要的概念、性质等是本章的重点；建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一，能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面，更有利于创新能力的培养.（二）疑点和易错点这一章内容的概念比较多，概念之间的联系又比较密切，因此，如何从具体事物中抽象出几何图形，把握几何图形的本质特征，区分一些相近的概念，对图形的表示方法以及对几何语言的认识与运用，对复习的疑点和易错点.具体地说：从正面看从左面看从上面看图3从正面看从左面看从上面看图3图2图22，在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误，在用两个大写字母表示射线时，忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点.3，直线有这样一个重要性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.线段有这样一条重要性质：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.这两个性质是研究几何图形的基础，复习时应抓住性质中的关键性字眼，不能出现似是而非的错误.4，注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点；而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别是，即距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的.5，在复习角的概念时，应注意理解两种方式来描述，即一种是从一些实际问题中抽象地概括出来，即有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；另一种是用旋转的观点来定义，即一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.角的两种定义都告诉我们这样一些事实：（1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可；（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.6，在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于180°，互为补角的两个角的和等于90°.基础知识讲解§一【多姿多彩的图形】★☆▲点线面点体点动点线面点体点动交交交动动▲知道并会画出常见几何体的表面展开图.左面看§二【直线、射线、线段】直线、射线、线段的记法【如下表示】直线射线[2]写出图中所有线段的大小关系，[2]写出图中所有线段的大小关系，“和”及“差”。端点个数无一个两个表示法直线a直线AB（BA）射线AB线段a线段AB（BA）作法叙述作直线AB；作直线a作射线AB作线段a；作线段AB；连接AB延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB；反向延长线段BA[3]根据下列语句画图①延长线段[3]根据下列语句画图①延长线段AB与直线L交于点C.②连接MP.③反向延长PM.④在PC的方向上截取PD=PM.图形语言图形语言▲会结合图形比较线段的大小；会画线段的“和”“差”图[2]。会根据几何作图语句画出符合条件的图形[3]，会用几何语句描述一个图形。§三【角】[4]用你认为恰当的方法表示出下图中的所有小于平角的角。[4]用你认为恰当的方法表示出下图中的所有小于平角的角。[5]写出图中所有角的大小关系，“和”及[5]写出图中所有角的大小关系，“和”及“差”。图形语言图形语言[6]·[6]·填空·计算。①用度、分、秒表示37.26②用度表示52③451928＋264032④9818－56.5=5\*GB3⑤36⑥27●会结合图形比较角的大小(（1）度量法（2）叠合法)。●进行角度的四则运算七、思想方法复习《图形认识初步》这部分内容除了要注意基础知识的巩固和典型习题的训练，还要注意数学思想方法的训练与运用.具体地说：一、分类思想.在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性.例1两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（）A.1B.2C.3或2D.1或2或3分析由于题设条件中并没有明确这三条直线的具体位置，所以应分情况讨论.解依题意可以画出如图4的三种情况.故应选D.图4图4根据给定的条件进行分析，产生的结果有多种情形，将各种可能出现的结果进行分类解答，得出每种情形下的答案．例2：点C在直线AB上，且线段AB＝16，若AB∶BC＝8∶3，E是AC的中点，D是AB的中点，求线段DE的长．思路分析：1）题意分析：此题为一道无图计算题，点C的位置不确定．2）解题思路：要对点C的位置进行分类讨论：分为（1）点C在线段AB的延长线上；（2）点C在线段AB上两种情形．解答过程：情形一：当点C在线段AB的延长线上时，如图所示，因为AB∶BC＝8∶3，且线段AB＝16，所以BC＝6，AC＝22．因为E是AC的中点，D是AB的中点，情形二：当点C在线段AB上时，如图所示，因为AB∶BC＝8∶3，且线段AB＝16，所以BC＝6，AC＝AB－BC＝16－6＝10．因为E是AC的中点，D是AB的中点，解题后的思考：在这两种情形下DE的长度都等于3，这是不是一种巧合呢？不是的，这里有一个规律，无论点C在线段AB上，还是在线段AB的延长线上，总有小结：在图形认识初步问题中，方程思想和分类讨论思想是常用的两种重要的数学思想方法，学习思想方法是学习数学的一个方面．例3：在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）方程思想.在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决.几何问题中的方程思想是指根据角度或线段长度之间的数量关系构造方程，把几何问题转化为方程问题来求解．思路分析：1）题意分析：处理有关互为余角、互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念外，通常情况下都要引进未知数，构造方程求解．2）解题思路：设此角为x°，则它的余角为（90－x）°，它的补角为（180－x）°，根据题意列方程．解答过程：设这个角为x°，则它的余角是（90－x）°，它的补角是（180－x）°．解得x＝75．所以这个角为75°．解题后的思考：利用方程思想解题的关键第一是找出问题中的等量关系，第二是根据题目特点选择恰当的未知数．例7：如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．思路分析：1）题意分析：根据比例关系及线段中点的性质，巧设未知数，列方程求解．2）解题思路：根据比例关系及中点性质，若设AB＝2xcm，则BC＝3xcm，CD＝4xcm，观察图形，有：MN＝MB＋BC＋CN，可转化成关于x的方程，从而求出x．解答过程：设线段AB、BC、CD的长分别是2xcm、3xcm、4xcm，因为AB＋BC＋CD＝AD＝90cm，所以2x＋3x＋4x＝90，解得x＝10．所以AB＝20cm，BC＝30cm，CD＝40cm，解题后的思考：①有关比例的问题，可设每一份为x，再列出方程；②利用中点的性质找出线段的和、差．化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时可化归到公式的具体运用上来.例8：如图所示，A、B、C、D、E为平面内任意三点都不在同一条直线上的五点，那么过其中的两点，可画出几条直线？思路分析：1）题意分析：本题中A、B、C、D、E为平面内任意三点都不在同一条直线上的五点，意思是说经过其中任意两点确定一条直线，这些直线均不相同．2）解题思路：根据两点确定一条直线来解此题．解答过程：由两点确定一条直线知A点与其他四点各确定一条直线，同理过B、C、D、E各有4条直线，这样直线共有5×4＝20（条），而由A到C的直线和由C到A的直线是同一条直线，故每条直线都重复一次，所以可画出直线条.解题后的思考：这类问题有一定的规律性，如果平面内有n个点，且每三个点都不在同一直线上，那么过其中任意两点可作直线条.小结：数几何图形的个数是指数直线的条数、数线段的条数、数角的个数，数几何图形的个数，解题时必须做到不重、不漏，可按一定顺序去数，也可总结规律、公式，运用规律、公式进行计算．八、考点解密考点1从不同方向看立体图形例1（河北省）图1中几何体的主视图是如图7所示中的（）正面正面图6C.A.D.Ｂ.图7分析主视图是从下面看的，由于图6中的图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，这样问题就简单了.解因为要画出的是从正面看到的主视图，而已知的立体图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，所以我们从正面看到的上面是一个圆，下面是一个长方形.又因为原立体图形中上面的球是放在中间的，所以正确的平面图形应该是C.故应选C.例2下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从左边看到的是（）说明要画出从不同方向看到的平面图形，通常画出分别从正面看、从左面看、从上面看一个立体图形的平面图形.考点2立体图形的侧面展开图例3（嘉兴市）如图8所示的图形中，不能经过折叠围成正方体的是（B）ABCDABCD图8分析观察这四个平面图形，A、C、D能围成一个正方体，只有B不能围成正方体.说明:此类题常用排除法，凡由6个小正方形组成的平面图形，出现以下四种情形的必不是正方体展开图：1.“一”字型。2.“7”字型。3.“田”字型。4.“凹”字型例4：美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（）思路分析：1）题意分析：本题综合考查立体图形的展开、折叠和从不同方向观察几何体．2）解题思路：解答本题应充分发挥空间想象能力，把右图中阴影正方形做模型的下底面进行折叠，但关键是确定白色缺口的指向．答案：B解题后的思考：正确解答本题有两个关键点，一是正确理解题意，按照题目要求折叠和放置模型；二是确定白色缺口的指向．小结：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来，而从不同方向观察物体可从不同的侧面反映立体图形的特征．考点3确定平面图形的个数例5（绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图9中以BC为公共边的“共边三角形”有（）A.2对B.3对C.4对D.6对分析要知道有多少“共边三角形”，只要能依据图形写出所有满足题意的三角形即可.解结合图形，满足题意的三角形是：△ABC与△DBC，△DBC与△EBC，△EBC与△ABC，共3对.故应选B.图9PQTSR图10说明求解本题一定要注意抓住以BC图9PQTSR图10考点4图形角度大小的计算例6（大连市）如图10，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ.则∠SQT等于（）A.42°B.64°C.48°D.24°分析要求∠SQT的大小，由于SQ⊥QR，QT⊥PQ，可知∠PQS＝∠RQT，进而即可求得.解因为SQ⊥QR，QT⊥PQ，所以∠PQS+∠SQT＝∠SQT+∠RQT＝90°，即∠PQS＝∠RQT，又∠PQS+∠SQT+∠RQT＝138°，所以∠PQS＝∠RQT＝48°，所以∠SQT＝138°－2×48°＝42°.故应选A.说明在进行图形的有关计算时，除了要能灵活运用所学的知识外，还要能从图形中捕捉求解的信息.例7：求8点15分时，时针与分针的夹角的度数．思路分析：1）题意分析：8点15分时，时针指在8和9之间的某个位置上，分针正好指向3的位置．2）解题思路：本题关键是找出时针、分针在8点15分时转过的小格数，每个小格对应的度数是6°．解答过程：8点15分时，时针转过的小格数时针转过的度数是8点15分时，分针转过的小格数为15．分针转过的度数为15×6°＝90°．所以8点15分时，时针与分针的夹角为247.5°－90°＝157.5°．解题后的思考：时针与分针的夹角可用下面的公式计算：m点n分时两针夹角的度数为如果得到的角大于180°，那么两针的夹角为360°减去得到的角．例8：如图所示，直线AB、CD、EF相交于O点，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．思路分析：1）题意分析：要灵活运用同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．2）解题思路：由图可知∠AOD与∠AOC互补，∠AOD与∠BOD互补，∠1与∠FOC互补，∠DOF与∠FOC互补，∠2与∠DOF互余．解答过程：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°．又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°．所以∠DOF＝∠1＝40°．所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°．解题后的思考：在角较多的情况下，寻找与所求角有关的量或已知条件，努力靠近所求，在几条直线相交于一点的情况下，需重点考虑“同角或等角的补角相等”．小结：和角有关的计算问题大致可分为三类：一是角度之间的换算，注意度、分、秒是60进位制；二是几何图形中求角的度数；三是钟表中指针的夹角问题．其中第二类为重点，是几何问题的常见题型，第三类难度最大．考点5平面图形的操作问题例9（旅顺口区）如图11，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图12所示的（）图11图12图11图12分析要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.解因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有6个小圆，其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称，且1对圆在两个直角的顶点上，2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C.说明这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.考点6平面图形的面积问题例10（临安市）如图13，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A.2B.4C.8D.10分析要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.解根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是16，所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.a图15ba图15bab图13图13图14图14考点7拼图问题例11（烟台市）如图14，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿.分析16张卡片，拼成一个正方形，而边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，由此可知正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.解因为边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图15就是其中的一种.说明这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.考点8规律探索问题图16例12（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图16一列图案：图16（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；（2）第n个图案中有白色纸片＿＿＿张.分析要解答这两个问题，只要能求出第n个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张，从而求解.解因为第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，所以可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张.于是（1）当n＝4时，3n+1＝13；（2）3n+1.说明这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.§九【课堂同步练习】1，（十堰市）观察如图17甲，从左侧正对长方体看到的结果是图乙中的（）图17图17（图甲）ABCD（图乙）2，（衡阳市）如图18所示的图形中，不是正方体平面展开图的是（）图18图183，（江阴市）如图19，把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线)剪下，则右图展开得到的图形的面积为（）图19图19A.B.C.D.4，（广东省）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图20是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是()A.0B.6C.快D.乐图22图23图21图20图22图23图21图205，（南通市）已知∠α＝35°19′，则∠α的余角等于（）A.144°41′B.144°81′C.54°41′D.54°816，（枣庄市）如图21，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）A.3个B.2个C.l个D.不存在7，（十堰市）如图22，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A.22.5°角 B.30°角C.45°角 D.60°角8，（烟台市）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图23形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（）A.33分米2 B.24分米2C.21分米2 D.42分米29、十点一刻时，时针与分针所成的角是（）A.112°30′B.127°30′C.127°50′D.142°30′10、如图所示，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，则图中等于∠BOE的角共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：1，B；2，D；3，A；4，B；5，C；6，B；7，C；8，A.9、D10、C∠AOD，∠DOE，∠COF二、填空题．1、4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为______场．2、如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则CD＝__________．3、如图是由棱长为1的正方体搭成的积木从不同方向看得到的平面图形，则图中棱长为1的正方体的个数是__．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起（一条边重合）组成的角是__度．.......ABCD且AD=3BC，则AB=______，BC=______，CD=____6、已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_________8、已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________。计算：30.26°=____°____′____″；18°15′36″=______°；36°56′+18°14′=____；108°-56°23′=________；27°17′×5=____；15°20′÷6=____（精确到分）________11、如图，由A到B的方向是________参考答案：1、62、23、6解析：观察从上面看得到的图形，可确定积木底层有5个正方体，再结合从正面看到的和从左面看到的图形可知第二层只有一个正方体，并且没有第三层，故共有6个正方体．4、60或180解析：根据题意可知∠α＝2（90°－∠α），解得∠α＝60°，则∠β＝120°．再分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论．四、解答题．1、如图所示，C、D两点把线段AB分成了2∶3∶4三部分，M是AB的中点，DB＝12，求MD的长．2、在一张城市地图上，如图所示，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水染黑，具体位置看不清了，但知道图书馆在学校的北偏东45°方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗？3、如图所示，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．∠AOB=110∠COD=70∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小。5、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：(1)点C在线段AB上：(2)点C在线段AB的延长线上6、已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。（1）射线OC在内 （2）射线OC在外 这两种情况下，都有小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。7、如图，已知数轴上依次有三点A、B、C，AB=AC，点C表示的数是20，BC=30，（1）求点A表示的数；（2）若数轴上有一点E到点A的距离是它到点B、C的距离的和的，求点E表示的数。解：（1）∵AB=AC，BC=30，∴AC=2AB=60，∵C表示20，∴A点表示20-60=-40；（2）若点E在点A的左边，设AE=x，则4x=（x+30）+（x+60），∴x=45，∴EC=45+60=105，∴E表示-85．若点E在A、B之间，设AE=x，则4x=（30-x）+（60-x），∴x=15，∴EC=45，∴E表示-25．若点E在B、C之间，设AE=x，则4x=（x-30）+（60-x），x=7.5＜30．不合题意，舍去．显然点E不可能在C的右边．8、如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍（速