变量间的相关关系讲义

变量间的相关关系讲义两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系)，或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。则变量之间具有相关关系(不确定性的关系)，如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变是因果关系，也可能是伴随关系。1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。从左上角到右下角的区域。找出来，其横点的分布，如果点的分布大学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点(坐标点)的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度 (1)回归直线的定义 (2)回归直线的特征如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程)，那么我们就可以比较清楚的了解对应两个变量之间的相关性，就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表。(3)回归直线方程xynnxiyiin致分布在点睛：1)散点图中的点整体上分布在一条直线附近时，可以应用线性回归分析的方法分析数据；2)回归直线是反映：“从整体上看，各点与此直线的距离的和最小”的一条直线，它反映了具有线性相关关系的3)我们可以通过回归直线方程，由一个变量的值来推测另一个变量的值，解决生活中的实际问题；这种方法称为回归方法1122nniiiiiii2，……，n)这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为n(y)，iii=1偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值ny，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，iii=1ii112233nni=1b==②(其中x=1nx，iin(xx)2nx2nx2ni=1iiinini=1这种通过求①式的最小值而得到回归i=1i=1直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。2.回归直线方程的求法①先判断变量是否线性相关③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测x的系数是b，常数项是a，与直线的斜截式不大一样，②如果散点图中的点分布从整体上看不在任何一条直线附近，这时求出的线性回归方程实用价值不大。xxnynx2y2x3y3xyxy1122nn方程,该方程所表示的直线称为回归直线知识点5：线性回归分析思想在实际中的应用用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测，求线性回归方程的步骤：计算平均数x,y；计算x与y的积，求xxy；计算xx2；将结果代入公式求a；iiiii注意：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a,b的计算公式，算判断线性相关程度最小二乘法求出回归直线的方程后，可以对上面两个变量的关系进行分析与预测，如图前两个是线性相关，可以求回归方程，后两个是非线性相关，直线不能很好地反映图中两个变量之间的关系。显相关系数xn(x-x)(y-y)iirrxn(x-x)2xn(y-y)2iiij=1点睛：相关系数的绝对值越大，线性相关关系就越强。 A、圆的面积与半径B、球的体积与半径C、角度与它的正弦值D学成绩与物理成绩解：D量之关系呢？你能举出更多的描述生活中两变量相关关系的成语与俗语吗？至少写两个。思路分析：名师出高徒的意思是有名的教师一定能教出高明的徒弟，高水平教师有很大趋势教出高水平的学生，实际学生成绩的好坏还与很多因素有关，如学生的天赋，学生的努力，学习的环境等，所以它们之间的关系带有为相关关系。解：教师的水平与学生的水平之间具有相关关系生活中描述两个变量之间的相关关系的成语或俗语还有：老子英雄儿好汉，强将手下无弱兵，虎父无犬子知识点2iiii2，…，10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断()之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关：5个学生的数学和物理成绩如下表：由散点图判断它们是否相关，是正相关还是负相关？例5：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，写出线性回归方程iiiiiii=1i=1i=1例6：有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个热饮杯数与当天A、140B、143C、152D、156思路分析：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为y^=+．如果某天气温为-2℃时，即x=-2，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=×(-2)+=≈152例7：某县教研室要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学成绩有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩(如下表)：(1)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出线性回归方程；若某学生入学数学成绩是80分，试估测他高一期末数学考试成绩运算过程中不要出错．(2)将x=80代入所求出的线性回归方程中，得y=8分，即这个学生的高一期末数学考试成绩预测值为84分最小二乘法可以写出因此所求的线性回归方程y=+(2)将x=80代入所求出的线性回归方程中，线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量的值，在现实生活中有广泛的应用(1)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入例9：一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小(1)利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？(2)如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；思路分析：(1)利用所给的数据做出两个变量的相关系数，得到相关系数趋近于1，得到两个变量具有线性相关(2)先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．(3)根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．例方法详析产品销售额与广告费的投入例10：下面哪些变量是相关关系()A、出租车费与行驶的里程B、房屋面积与房屋价格C、人的身高与体重D、铁块的大小与质量故ABC因素，故是相关关系．从而得出正确答案．C，故C对；与t之间关系的是()综合技能提升量之间整体关系的了解。在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据如表所示：(1)画出数据的散点图；(2)根据散点图，你能得出什么结论？(3)求回归方程．23)点的坐标，在坐标系中描出点的坐标，得到散点图．(2)散点图呈带状分布，x与y是具有相关关系的两个变量，且对应n组观测值的n个点大致分布在一条直线(3)计算得r=＞．x与y有很强的线性相关关系，做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出回归直线方直线方程．在坐标系中得到散点图如图所示xy应n组观测值的n个点大致分布在一条直线附近，(3)计算得r=＞．xˉ=5+10+15+20+30+40+50+60yˉ=6+10+11+13+16+17+19+23计算器计算得a^=≈，b^=≈，1、下列选项中，两个变量具有相关关系的是()A、正方形的面积与周长B、匀速行驶车辆的行驶路程与时间C、人的身高与体重D、人的身高与视力C2、下列变量关系是相关关系的是()①家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④学生的学习态度与学习成绩之间的关系．师的执教水平生的学习成绩之间没有关系；所以③不是；对于④，学生的学习态度与学习成绩之间有关系，但关系不确定；所以是相关关系，学法指学法指导考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据学过公式和经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来．3.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的()C、可以选择两个变量中任意一个变量x轴上D、可以选择两个变量中任意一个变量y轴上B4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=b^x+a^；0甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×+4×3+5×4+6×=)学学法指导本题考查散点图，是通