第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第9节第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布（理）第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第十章概率（文）主干回顾·夯实基础一、离散型随机变量的均值与方差一般地，离散型随机变量X的分布列为

1.均值称E(X)＝__________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_________．

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平2．方差

3．两点分布与二项分布的均值和方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝___，D(X)＝________．

(2)若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝___，D(X)＝_________．

p(1－p)npnp(1－p)p4．均值与方差的性质若X为随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也为随机变量，且(1)E(aX＋b)＝________；(2)D(aX＋b)＝_______．二、正态分布1．正态曲线

aE(X)＋ba2D(X)2．正态分布的定义

3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴_____，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线______对称；

上方x＝μx＝μ(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“______”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“______”，表示总体的分布越______．4．正态分布的三个常用概率值(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝_______；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_______.

1瘦高矮胖分散0.68260.95440.99741．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．()(4)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.()

[答案及提示](1)√(2)√(3)×均值与方差不是一回事．(4)√

2．已知随机变量X的分布列如下表，则D(X)＝()A.0.4 B．1.2C．1.6 D．2解析：选C由0.2＋0.2＋y＝1得y＝0.6，∴E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋3×0.6＝2，∴D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.2＋(3－2)2×0.6＝1.6，故选C.

X013P0.20.2y5．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤1)＝P(X＞3)，则E(2X－1)＝________.

考点技法·全面突破1．(2015·保定模拟)随机变量ξ的分布列为

离散型随机变量的均值、方差(☆☆☆☆☆)ξ－101Pabc2．(2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6),所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.

3．(2013·浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

所以ξ的分布列为

(2)由题意知η的分布列为

ξ23456PΗ123P求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值时的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．[典例1]

(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．离散型随机变量均值与方差的应用(☆☆☆☆)(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120发电机最多可运行台数123②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.

Y420010000P0.20.8③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：

Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

1．解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件．2．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量X1(万元)，根据市场分析，X1的分布列为：

投资B项目100万元，一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p(0≤p＜1)．X11211.811.7P经专家测算评估B项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表：

(1)求X1的方差D(X1)；(2)求X2的分布列；(3)若p＝0.3，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？(参考数据：1.22×0.49＋0.72×0.42＋9.82×0.09＝9.555)．

B项目产品价格一年内下调次数X(次)012投资100万元一年后获得的利润X2(万元)1312.52解：(1)X1的概率分布为

X11211.811.7P(2)解法1：由题意知X～B(2，p)，则X的概率分布为

故X2的分布列为

X012P(1－p)22p(1－p)p2X21312.52P(1－p)22p(1－p)p2故X2的分布列为

(3)当p＝0.3时，E(X2)＝E(X1)＝11.8，由于D(X1)＝0.01.D(X2)＝9.555.所以D(X2)＞D(X1)，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目．所以从获得稳定收益考虑，当p＝0.3时应投资A项目．

X21312.52P(1－p)22p(1－p)p2正态分布是统计中的重要内容，也是高考的常考点，从近几年的高考试题看，主要有以下类型：题型一根据正态曲线判断u、σ的值\[典例2](1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则有(

)

正态分布(☆☆☆)A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：选A正态分布曲线关于直线x＝μ对称，它是在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；反过来，σ越小，曲线越“瘦高”．故选A.

解析：－5σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.

题型二利用正态曲线的对称性求概率[典例3](1)设随机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2＜X＜4)＝()解析：选C由正态密度曲线的对称性知P(X＜2)＝p，故P(2＜X＜4)＝1－P(X＜2)－P(X＞4)＝1－2p.故选C.

(2)设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c＝________.

题型三利用正态分布进行估计[典例4]在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．则此次参加竞赛的学生共有________人．(P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)

1．在正态分布N(μ，σ2)中，μ，σ的意义分别是期望和标准差．μ在正态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状．如果给出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系．2．对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性，即正态分布曲线关于x＝μ对称，也可以推广到P(ξ＜μ－μ0)＝P(ξ＞μ＋μ0)．学科素能·增分宝典规范答题系列之(十四)正态分布综合题的答题规范[典例](12分)佛山某学校的教室统一使用“