高一数学对数函数复习(系统篇)教师版

-.z.数学专题对数与对数运算〔教师版〕二、点击考点［考题1］求以下各式的〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕［解析］〔1〕由，得，即；〔2〕由，得，即，故；〔3〕由，得故；〔4〕由，得故［点评］对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。［考题2］求以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕［分析］利用对数的性质求解，首先要明确解题目目标是化异为同，先使各项底数一样，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算。［解析］〔1〕原式〔2〕原式===〔3〕∵∴原式［点评］［考题3］求［解析］条件与所求对数的底是不一样的，因此考虑应用换底公式。解法一：∵，∴∴解法二：∵，∴∴解法三：∵∴∴［点评］此题还有其他方法，这里，都是把指数式改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它一样底数的对数，以便利用条件和对数的性质求解。［考题4］〔1〕设，求的值.〔2〕均大于1，，求［分析］〔1〕首先将指数式化为对数式，再利用对数的性质进展计算。〔2〕观察条件，真数一样，底数不同，假设将拆成、、，则问题获得解决，因此，要屡次使用等式［解析］〔1〕∵∴∴，∴〔2〕由得由得，由得，即∴，解得∴［点评］〔1〕此题〔1〕通过将、的值用换底公式转化为同底数的对数，再利用对数的运算法则求值，此外，我们还可以用换底公式得到一个常用的关系式，常用来把分式转化为整式。〔2〕对数的换底公式在解题中起着重要的转化作用，能够将不同底的问题转化为同底，从而使我们利用对数的运算性质解题的想法得以实现。［考题5］、、为正数，且，求的取值范围.［解析］∵∴∴∵，∴上式关于的方程有实根。∴.∴∴，或∴或［点评］对数知识又常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如此题与方程、不等式综合，这时首先要牢牢掌握对数的定义，注意其与指数式的转化；灵活运用运算法则就可使问题得到解决。［考题6］科学研究说明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14，碳-14的衰变极有规律，其准确性可以称为自然界的"标准时钟〞。动植物在生长过程中衰变的碳-14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳-14含量保持不变，死亡后的动植物，停顿了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，我们已经知道其"半衰期〞为5730年。〔1〕设生物体死亡时，体内每克组织的碳-14含量为l，试推算生物死亡年后体内每克组织中的碳-14含量P；〔2〕湖南长沙马王堆汉墓女尸体出土时碳-14的剩余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。［解析］〔1〕设生物体死亡后时，体内每克组织中的碳-14的含量为1,1年后的残留量为，由于死亡机体中原有碳-14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数与其体内每克组织的碳-14含量P有如下关系：死亡年数 1 2 3 ……碳-14含量P ……因此，生物死亡年后体内碳-14的含量由于大约每过5730年，死亡生物体的碳-14含量衰减为原来的一半，所以于是这样生物死亡年后体内碳-14的含量〔2〕由对数与指数的关系，指数式，两边取常用对数得到，∴湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即，则，则由计算器可算得所以，马王堆古墓约是2100多年前的遗址。［点评］要计算，由于在指数上，计算是不可能的，当转为对数式可以计算其结果。三、夯实双基1．〔a≠0〕化简得结果是〔〕A．－aB．a2 C．｜a｜ D．2．log7［log3〔log2*〕］＝0，则等于〔〕A． B． C． D．3．〔〕等于〔〕A．1 B．－1 C．2 D．－24．假设2〔*－2y〕＝*＋y，则的值为〔〕A．4B．1或C．1或4D．5．以下指数式与对数式的互化中，不正确的选项是〔〕A．与 B．与C．与 D．与6．的值为〔〕A．4 B．1 C．6 D．37．在中，实数a的范围是〔〕A．或 B．C．或 D．8．当时，以下说法正确的选项是〔〕①假设M=N，则； ②假设，则M=N；③假设，则M=N； ④假设M=N，则A．①与② B．②与④ C．② D．①②③④9．.10．假设loga*＝logby＝－logc2，a，b，c均为不等于1的正数，且*＞0，y＞0，c＝，则*y＝________．11．假设lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________．12．3a＝2，则log38－2log36＝__________13．均为正数，，求证：四、感悟高考1．设则。［解析］此题考察了分段函数的知识，，则，得故应填：2．，则〔〕A． B． C． D．［解析］，，∴应选C。3．方程的解.［解析］令∴∴∴∴故应填：－14．方程的解是。［解析］，∴故应填：1,2。夯实双基参考答案：2．C3．B4．错解：由2〔*－2y〕＝*＋y，得〔*－2y〕2＝*y，解得*＝4y或*＝y，则有＝或＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即*－2y＞0，所以*＞2y．所以*＝y舍掉．只有*＝4y．答案：D10．11．12．a－2对数函数一、考点聚焦1．对数函数的概念形如的函数叫做对数函数.说明：〔1〕一个函数为对数函数的条件是：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的正常数；③自变量为真数.对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。2、由对数的定义容易知道对数函数是指数函数的反函数。反函数及其性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。②假设函数上有一点，则必在其反函数图象上，反之假设在反函数图象上，则必在原函数图象上。③利用反函数的性质，由指数函数的定义域，值域，容易得到对数函数的定义域为，值域为，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。3、．对数函数的图象和性质定义底数图象定义域值域单调性增函数减函数共点性图象过点(1,0)，即函数值特征对称性函数与的图象关于轴对称4．对数函数与指数函数的比拟名称指数函数对数函数一般形式定义域值域函数值变化情况当时当时当时当时单调性当时，是增函数；当时，是减函数当时，是增函数；当时，是减函数图象的图象与的图象关于直线对称要牢记的反函数的图象，并由此归纳出表中结论。5、比拟大小比拟对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数一样，则由对数函数的单调性〔底数为增；为减〕比拟。②如果两对数的底数和真数均不一样，通常引入中间变量进展比拟。③如果两对数的底数不同而真数一样，如与的比拟〔〕.当时，曲线比的图象〔在第一象限内〕上升得慢，即当1时，；当时，.而在第一象限内，图象越靠近轴对数函数的底数越大〔同[考题2]的含义〕当6、求参数范围但凡涉及对数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论。二、点击考点［考题1］计算对数函数对应于取、、64、128时的函数值。［解析］当时，；当时，；当时，；当时，［点评］此题主要考察学生利用对数运算法则，准确地进展对数运算的能力，在计算过程中要将算式转化为公式构造，从而熟练地运用公式。［考题2］如图是对数函数的图象，值取，则图象相应的值依次是〔〕A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、［解析］∵当时，图象上升；，图象下降，又当时，越大，图象向右越靠近轴；时，越小，图象向右越靠近轴，应选A。［点评］这类问题还可这样求解，过点(0,1)作轴的平行直线〔如图〕与的交点的横坐标，即为各对数底的值，显然，交点越在左边，底越小，这种求解方法简单易记。[考点3]，且1，函数与的图象只能是图中的〔〕［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数对图象的影响。解法一：首先，曲线只可能在上半平面，只可能在左半平面上，从而排除A、C。其次，从单调性着眼，与的增减性正好相反，又可排除D。解法二：假设，则曲线下降且过点(0,1)，而曲线上升且过，以上图象均不符合这些条件.假设时，则曲线上升且过(0,1)，而曲线下降且过，只有B满足条件。解法三：如果注意到的图象关于轴的对称图象为，又与互为反函数〔图象关于直线对称〕，则可直接选定B。［答案］B［点评］函数图象是一个重要的问题，可从定义域、值域、单调性、对称性及特殊点入手筛选，对常见函数图象一定要掌握好。[考点4]，则的取值范围是。［分析］利用函数单调性或利用数形结合求解。［解］由，得当时，，∴；当时，，∴故，或［答案］或［点评］解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进展解答，理解会用以下几个结论很有必要：〔1〕当时，；〔2〕当时，，［考题5］设，〔1〕求；〔2〕求证：在上为增函数.［解析］〔1〕设，则于是因此〔2〕设，则∵∴即∵，∴，∴即∴在上为增函数。［点评］问题〔1〕中所采用的换元法求解析式是复合函数解析式求法中经常用到的，复合函数的单调性问题，要注意讨论的单调性，这里，假设条件改为，且，该如何解答？［考题6］求以下函数的定义域：〔1〕［解析］要使原函数有意义，需即当时，∴当时，∴∴当时，原函数定义域为；∴时，原函数定义域为［点评］函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解.［考题7］设函数〔1〕假设的定义域为R，求的取值范围；〔2〕假设的值域为R，求的取值范围。［解析］〔1〕因为的定义域为R，所以对一切恒为正数，由此可得，且，解得〔2〕因为的值域为R，所以真数能取到一切正实数，由此可得，且，解得［点评］此题很多同学容易把〔1〕与〔2〕混为一谈，常用求解问题〔1〕的方法去处理问题〔2〕。区别它们的依据：对函数的定义域和值域的理解，以及二次、对数函数性质的应用。［考题8］〔1〕的大小顺序为〔〕A．B．C．D．〔2〕假设，试比拟的大小.［解析］〔1〕∵，∴选B。〔2〕∵，∴∴又，且，∴故有［考题9］〔1〕假设方程的所有解都大于1，求的取值范围；〔2〕假设，求的取值范围.［解析］〔1〕原方程化为假设使，则需，∴原方程等价于解得.∴的取值范围是〔2〕∵∴①当时，有为增函数，∴，结合，故②当时，有为减函数，∴，结合，∴∴的取值范围是［考题10］假设不等式，当时恒成立，求实数的取值范围.［解析］要使不等式在时恒成立，即函数的图象在内恒在函数图象的上方，而图象过点.由图可知，，显然这里∴函数递减，又∴，即∴所求的的取值范围为［点评］原问题等价于当时，的图象在的图象的下方，由于的大小不确定，当时，显然，因此必为小于1的正数，当的图象通过点时，满足条件，此时则是大于还是小于才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画，这样可以对数形结合的方法有更好地掌握。［考题11］*城市人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：〔1〕写出该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式；〔2〕计算10年以后该城市人口总数〔准确到0.1万人〕；〔3〕计算大约多少年以后该城市人口将到达120万人〔准确到1年〕；〔4〕如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？［解析］〔1〕1年后该城市人口总数为；2年后该城市人口总数为3年后该城市人口总数为；年后该城市人口总数为〔2〕10年后该城市人口总数为：(万人).〔3〕设年后该城市人口将到达120万人，即∴(年).〔4〕设年自然增长率为，依题意有，∴∴∴，∴〔用计算器计算〕.∴，即，故年自然增长率应控制在0.9%以内。［点评］从此例可以看出中国的人口增长压力很大，因此控制人口增长刻不容缓，方案生育的国策不可改变三、夯实双基1：是上的减函数，则的取值范围是A. B.C. D.2：设，函数，则使的的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、假设，则的大小关系为〔〕A． B．C． D．答案均有可能4、，则〔〕A．B. B.D.5．函数的图象是〔〕6．函数y＝〔－1〕的图象关于〔〕A．y轴对称B．*轴对称C．原点对称D．直线y＝*对称7．函数f〔*〕＝的定义域是〔〕A．〔1，＋∞〕B．〔2，＋∞〕C．〔－∞，2〕D．8．定义域为R的偶函数f〔*〕在［0，＋∞］上是增函数，且f〔〕＝0，则不等式f〔log4*〕的解集是_____．9、假设函数是奇函数，则10．函数恒过定点.11．以下四个命题：①；②函数与是同一函数；③，则；④，则其中正确命题的序号是.12．求函数的定义域.13．函数的图象过点〔1,3〕，其反函数的图象过(2,0)点，求的表达式.14．函数〔1〕判断的奇偶性；〔2〕证明：在上是增函数.四、感悟高考1．设，则的值为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3［解析］，则应选C。2．函数的定义域是〔〕A． B．C． D．［解析］由可得，，应选B。3．，则有〔〕A． B．C． D．［解析］∵，∴，同理.∴，即应选D。4．函数，假设，则等于〔〕A． B．－ C．2 D．－2［解析］本小题主要考察函数的概念以及函数的奇偶性，∵，∴函数是奇函数，∴应选B。5．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则〔〕A． B．C． D．［解析］由题意得，则，应选D。6．〔理〕，，则〔〕A． B．C． D．〔文〕，则〔〕A． B． C． D．［解析］〔理〕由，得函数为减函数，又由，∴，故应选A.［点评］此题考察了对数函数的单调性及其应用.〔文〕由，得函数为减函数，又由，∴，故应选D。［点评］此题考察了对数函数的单调性及其应用.7．〔理〕设函数的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则等于〔〕A．3 B．4 C．5 D．6〔文〕设函数的图象过点(0,0)，其反函数的图象过点(1,2)，则等于〔〕A．3 B．4 C．5 D．6［解析］〔理〕反函数的图象过点(2,8)，则原函数图象过点(8,2)，又的图象过点(8,2)，又的图象过点(2,1).由题意得∴则有，应选B。〔文〕反函数图象过点(1,2)，∴原函数图象过点(2,1)，∴求得则，应选B。8．函数〔〕A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递减D．是奇函数，在区间上单调递增［解析］易知是偶函数，当时，在上是增函数，所以在时是减函数。应选B。9．设，函数的反函数和的反函数的图象关于〔〕A．轴对称 B．轴对称 C．对称 D．原点对称［解析］的反函数为，而的反函数为，因此，它们关于轴对称。应选B。10．设集合，则等于〔〕A． B．C． D．［解析］由或，由，∴应选A。11．函数的定义域是〔〕A． B． C． D．［解析］由，得，∴应选D.10．记函数的反函数为，则等于〔〕A．2 B．－2 C．3 D．－1［解析］由，得，∴，∴应选B。11．函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为〔〕A． B． C．2 D．4［解析］∵与的单调性一样，∴函数在上是单调函数，当时，是最小值，是最大值，当时，是最大值，是最小值，故，即，化简得，解得应选B。12．假设函数的定义域和值域都是，则等于〔〕A． B． C． D．2［解析］∵，∴，又∵，故，且，∴13．函数与的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则等于〔〕A． B． C． D．［解析］由条件知，解得应选A。14．假设函数的图象可由函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则等于〔〕A． B． C． D．［解析］设为上任一点，把点A绕原点逆时针旋转，得到，B点必在上，则∵A点满足，∴代入，整理得应选A。15．设是定义在R上的奇函数，假设当时，，则。［解析］因为时，，又为奇函数，所以，设，所以，所以故应填：－116．对于函数定义域中任意的，有如下结论：①；