2023届黑龙江省牡丹江市海林市高三年级上册学期期中数学试题【含答案】

2023届黑龙江省牡丹江市海林市高三上学期期中数学试题一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数定义域化简集合A，解一元二次不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】函数有意义，有，即，则，解不等式：，即，解得，则，所以.故选：B2．已知复数满足（i是虚数单位），则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再求解即可.【详解】因为，所以，则.故选：D.3．已知，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出，根据所给角的范围求出，再根据余弦二倍角公式求得结果.【详解】由得出，又，则.所以.故选：A.4．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用三角函数的定义解题即可.【详解】因为，所以当，x可以是锐角也可以时钝角，所以，所以不满足充分性；当时，x必为锐角，所以成立，必要性满足故选：B5．碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是（其中为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的80%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：）（

）A．1847年 B．2022年 C．2895年 D．3010年【答案】A【分析】根据题意列方程，运用对数运算求近似解即可.【详解】由题意知，所以，所以，所以.故选：A.6．已知项数为的等差数列的前项和为，最后项和为，所有项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列的性质可求得的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】由题意知，，两式相加得，所以，又，所以．故选：B．7．已知正方体，则异面直线与所成角为A．B．C．D．【答案】C【分析】由异面直线角的作法得：连接BD，，因为，故或其补角为异面直线与所成角，在中求解即可．【详解】解：连接BD，，因为，故或其补角为异面直线与所成角，在中，设，则，，即，故选C．【点睛】本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．8．函数的最小值是A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．【详解】当时，的最小值为；当时，递减，可得，综上可得函数的最小值为0．故选B．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．二、多选题9．下列结论不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质确定不正确的结论.【详解】A选项，当时，，所以A错误.B选项，当时，结论不正确，所以B错误.C选项，当时，结论不正确，所以C错误.D选项，根据不等式的性质可知，结论正确，所以D正确.故选：ABC10．下列选项中，与的值相等的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据诱导公式可得，然后利用二倍角公式和两角和与差的三角函数，逐项判断即得.【详解】因为，A.，故错误；B.，故正确；C.，故正确；D.，故错误；故选：BC.11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意可知，，B选项错误.，，A正确.，，C正确.，.D选项正确.故选：ACD12．已知直线，，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可.【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，令得：，所以直线恒过点，故选项A错误，对于选项B：若时，显然不平行，若时，显然不平行，所以若，则，且，解得，故选项B正确，对于选项C：若，则，解得，故选项C错误，对于选项D：若直线不经过第三象限，当时，直线，符合题意，当时，则，解得，综上，，故选项D正确，故选：BD.三、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】先利用导数求得斜率，然后利用点斜式求得切线方程.【详解】,则,而切点的坐标为曲线在的处的切线方程为．故答案为．【点睛】本小题主要考查图像上某点处的切线方程的求法，考查函数的导数运算，属于基础题.14．若，则___________．【答案】【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．【详解】解：，即，故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．15．由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______________．【答案】【分析】要使切线长最小，必须使直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，求出，由勾股定理可求切线长的最小值．【详解】记直线上的点到圆心的距离为，圆半径为，由直线与圆相切知道：切线长，，要使切线长最小，必须使直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式得，由勾股定理求得切线长的最小值为．故答案为：．16．过点且与点距离最大的直线方程是___.【答案】【分析】根据直线的垂直关系得到斜率，得到直线方程.【详解】过点且与点距离最大的直线满足：.，，.直线的方程为：，化为.故答案为：.四、解答题17．已知函数﹒(1)求函数的最小正周期；(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求函数在上的值域.【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求解；(2)利用图像变换求出g(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求g(x)值域﹒【详解】（1）(1)，∴的最小正周期为；（2）(2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，由，得，∴，∴在上的值域为﹒18．已知直线：，：（1）若直线与垂直，求实数的值；（2）若直线与平行，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可得，解方程即可求解；（2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.【详解】（1）∵直线：，：，直线与垂直，∴，解得．（2）∵直线：，：，若直线与平行，∴，解得：．19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点．(1)求直线与平面的夹角余弦值；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)．【分析】（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值，进一步得到直线与平面的夹角余弦值；（2）求得的坐标，由（1）可得平面的一个法向量，由求点到平面的距离．【详解】（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，，，则有,0,，,4,，,4,，,0,，是的中点，,2,，，，，设平面的一个法向量为,,，则有，取，得,,，设直线与平面所成的角为，则有，．故直线与平面所成的角的余弦值为；（2）,0,，平面的一个法向量为,,，设点到平面的距离为，则有．故点到平面的距离为．20．如图，在平面四边形ABCD中，，，且．(1)若，求的值；(2)求四边形ABCD面积的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由题可得，然后根据同角关系式及和差角公式求解；（2）根据余弦定理得到，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，可得，再根据三角函数的性质求解.【详解】（1）因为，，且，所以在中，，，所以；（2）设，，在中，由余弦定理，得，∵=，又，当时，四边形ABCD面积的最大值．21．在数列中，，且，.(1)求的通项公式；(2)若，且数列的前项n和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知得当，再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式，（2）由（1）得当时，，利用裂项相消法可求得，从而可证得结论.【详解】（1）解：因为，所以当，两式相减，得，即，当时，，所以当时，，所以当时，，当时，上式成立；当时，上式不成立，所以（2）证明：由（1）知当时，，所以当，；当时，.综上，.22．已知函数（且）.(1)若存在零点，求a的取值范围；(2)当时，若函数有两个零点，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）参变分离后构造函数求解，（2）令，分别表示出后将转