2023届西藏拉萨市高三年级下册学期第一次模拟数学（文）试题【含答案】

拉萨市2023届高三第一次模拟考试文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数满足，则A. B. C. D.3.已知函数，则A.2 B.3 C.4 D.54.已知点F是抛物线C：的焦点，A是抛物线C上的一点，若，，则点A的纵坐标为A. B. C. D.5.某生物实验室对某种动物注射某种麻醉药物，下表是注射剂量（单位：mL）与注射4h后单位体积血液药物含量相对应的样本数据，得到变量与的线性回归方程为，则的值为23456756.6910.415A.12.2 B.12.5 C.12.8 D.136.已知实数，满足，则的最小值为A. B. C. D.7.位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（参考数据：）A.2 B.1.71 C.1.37 D.18.执行如图所示的程序框图，则输出的T的值是A.32 B.48 C.64 D.729.过点作斜率不为0的直线与圆：交于A，B两点，若，则直线的斜率A. B. C. D.10.已知，满足，，则A. B. C. D.11.已知函数，则下列说法正确的是A.函数的最小正周期是B.函数的最大值为C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递增12.已知，，，则，，的大小关系是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若实数，满足约束条件，则的最小值为_________.14.已知平面向量，在网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则_________.15.已知的斜边，，现将绕边旋转到的位置，使，则所得四面体外接球的表面积为__________.16.已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，是双曲线右支上任一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若的最小值是，则当取最小值时，的面积是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前项和.18.（12分）某地足球协会为了调查球迷对第二十二届世界杯的了解情况，组织了一次相关知识测试活动，并从中抽取了50位球迷的测试成绩（取正整数，满分100分）进行统计，按照，，，，进行分组并作出频率分布直方图，如图所示.（1）求a的值，并估计参与本次活动的球迷测试成绩的中位数;（2）规定测试成绩不低于80分的为“真球迷”，测试成绩不低于90分的为“狂热球迷”，现从该样本中的“真球迷”中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人为“狂热球迷”的概率.19.（12分）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.20.（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点.当A为椭圆E的上顶点时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，试判断以AB为直径的圆是否经过点，并说明理由.21.（12分）己知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程;（2）若有两个不同的极值点，，且，求的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设P，Q分别为曲线和直线上的任意一点，求的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，.（1）请在图中画出和的图象；（2）证明：.拉萨市2023届高三第一次模拟考试文科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112DBACCABCDADD1.D【解析】由题意，知.又，所以.故选D.2.B【解析】由，得.故选B.3.A【解析】当时，，当时，，所以.故选A.4.C【解析】设点的坐标为，由题意，得，所以.根据抛物线的定义，知，所以，所以，则.故选C.5.C【解析】由表中数据，得，而样本点的中心在回归直线上，则，所以，解得，故选C.6.A【解析】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选A.7.B【解析】如图，设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接PH，HG，PG，则，，所以，则，故选B.8.C【解析】由，，得，，；由，得，，；由，得，，；由，得，，，输出，故选C.9.D【解析】由题意，知直线的方程为，即.因为圆的圆心坐标为，半径，所以圆心到直线的距离.又，所以，即，解得（舍去）或.故选D.10.A【解析】∵①，②，∴，得，∴，∴，∴，故选A.11.D【解析】因为，所以函数的最小正周期，故A错误；因为，所以函数的最大值，故B错误；因为，不等于的最大值或最小值，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；因为，所以，所以函数在上单调递增，故D正确.故选D.12.D【解析】∵，∴，即，∴，∴，∴，∴.令，则，∴在上单调递增，∴，即，∴，∴，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.3【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由，得.作出直线，并平移，当该直线经过点时，取得最小值.由，解得，即点，所以的最小值为.故填3.14.2【解析】如图，建立平面直角坐标系，则，，所以.故填-2.15.【解析】如图，，，，，，，所以是等腰直角三角形，斜边CD的中点M为外接圆的圆心，连接BM，过M作平面BCD的垂线，过AB的中点N作BM的平行线，两直线的交点O即为四面体外接球的球心.连接OB，易知，，所以四面体外接球的半径，所以四面体外接球的表面积.故填.16.【解析】由题意，得双曲线：的渐近线方程为，则，所以双曲线：，即.由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，，，得.设，则.在中，（当且仅当时取等号），所以，此时，，，所以的面积为.故填.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）【解析】（1）当时，，则.当时，由①，得②，①-②，得，∴，即，∴数列是以为首项，-2为公比的等比数列，∴，当时也满足上式，∴.（2）由（1）得，∴.说明：第一问：1.5分段没有说明为等比数列直接得出通项公式不扣分.2.利用求解也按相应步骤给分.第二问：1.12分段将也正确，不扣分.18.（12分）【解析】（1）测试成绩在内的频率为，所以.设测试成绩的中位数为分，因为，所以，所以，解得，所以，参与本次活动的球迷测试成绩的中位数约为71.5分.（2）由题意，知测试成绩在内的球迷有人，记这6人分别为，，，，，；测试成绩在内的球迷有人，记这2人分别为，.所以样本中共有8名“真球迷”，其中“狂热球迷”有2名，从“真球迷”中随机抽取2人的所有情况有28种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中抽取的2人中恰有1人为“狂热球迷”的情况有12种，分别为：，，，，，，，，，，，，故所求概率.说明：1.第一问中式子对，而结果不对，扣1分.2.第一问中“，参与本次活动的球迷测试成绩的中位数约为71.5分”，最后没有回答不扣分.3.第二问没有列出基本事件，只给出基本事件的个数，扣2分.19.（12分）【解析】（1）因为为直三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为为棱的中点，，所以.因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以.因为为棱的中点，所以.又，所以，同理，所以.因为平面，平面，，所以平面.（2）因为，，，所以，，所以.由（1）知平面，所以，即三棱锥的体积为.说明：第一问：1.3分段没有“平面，平面，”不扣分.2.5分段没有“平面，平面，”不扣分.第二问：1.8分段得出，.2.10分段得出.3.12分段得出.20.（12分）【解析】（1）由题意，得椭圆的半焦距，当A为椭圆E的上顶点时，，设，则，.由，得，，∴，将点B的坐标代入椭圆E的方程，得.又，∴，∴椭圆的标准方程是.（2）以AB为直径的圆不经过点，理由如下：依题意，知直线的方程为.联立，消去，并整理，得.设，，则由根与系数的关系，得，.易知，直线，的斜率都存在且不为0.若以为直径的圆经过点，则，所以直线，的斜率之积为-1，即，而，所以以AB为直径的圆不经过点.说明：1.第二问中直接回答“以AB为直径的圆不经过点”得1分.2.第二问8分后若用去验证也给分.21.（12分）【解析】（1）当时，，所以，所以所求的切线斜率为.又，所以切点为，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）对函数求导，得.函数有两个不同的极值点，，等价于有两个零点，，且零点两侧的函数值异号，即有两个零点，.令，则.i）当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；ii）当时，由，得，即在上单调递增.由，得，即在上单调递减.要使有两个零点，则，即，解得.此时，，，.令，则.因为在上单调递增，所以，所以在上单调递增，则，即，所以当时，有两个零点且两个零点，分别位于区间，内.所以.令，则，所以，即，解得.令，则.令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即.又，令，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，即.令，则.因为对任意恒成立，所以在上单调递增，则，所以，即，所以，即的取值范围为.说明：第一问：1.1分段写出时的解析式.2.2分段求，并求出切线斜率.3.3分段写出切点坐标.4.4分段写出切线方程，切线方程写成不扣分.第二问：1.5分段将函数极值点问题转化为导函数的零点问题.2.6分段得出不满足题意.3.7分段讨论当时，的单调性.4.8分段将有两个零点转化为得出.5.9分段得出的两个零点所在区间.6.10分段解出.7.11分段把看成的函数，求出的取值范围.8.12分段由前提条件与求出的的取值范围取交集得出的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由，消去，得或.由，得，将，代入，得.故曲线的普通方程为或，直线的直角坐标方程为.（2）设是曲线上任一点，则点到直线的距离为，所以当，即时，点到直线的距离最小，即取得最小值，为.说明：第一问：1.式子“”中，没有写“”，扣1分.2.没有写“，”不扣分.第二问另解：由题意，知当曲线C在点P处的切线与直线平行时，两平行线之间的距离为所求的最小值.设：与相切，则由，消去，整理得，由，得，所以：，所以的最小值为.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1），画出，的图象如图所示：（2）要证，即证，只需证.∵，当且仅当，即时，等号成立.同理，，当且仅当，即时，等号成立.又，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，∴成立.说明：第一问：1.1分段将化为分段函数时