微积分试题解答

浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷以下1至10题每题6分，11至14题每题10分，解题时应写出必要的解答过程1、设y(sin2x)x(arcsin2x)4，求dy．dx2、设函数f(u)可导，yf(x)是由方程y3f(xy)ln(1sinx)所确定的可导函数，求dy．dxx3t22t3,2y3、设yy(x)是由参数方程d．yt(3u所确定，求01)sinu2dudx2t4、计算定积分求115xdx．113x25、计算反常积分1dx．1x2x216、求极限lim(11)．ln(1sinx)ln(1x0sinx)7、求极限limtanxx．．x011x318、求极限lim(sinx)cos2x．x29、求幂级数(x2)n的收敛半径、收敛区间、收敛域．n3nn110、将函数f(x)1展开成x的幂级数，并写出成立的开区间．2xx2311、求不定积分13x2x24ln(1x2)dx．x(1x)12、设f(x)在区间[0,1]上为正值的连续函数，试证明：（I）存在(0,1)使得以曲线yf(x)为顶在区间[0,]上的曲边梯形面积等于以f()为高，以区间[,1]为底的矩形面积．（II）若增设f(x)可导且f(x)0，则（I）中的是唯一的．11f(u)x13、设f(x)在区间(0,)内可导，并设f(x)0，F(x)1xf(u)du1u2du．x（I）求F(x)，（x0）；（II）讨论曲线yF(x)在区间(0,)内的凹凸性，并求其拐点坐标．14、设an04tannxdx,n2．（I）计算an11，（n2）；an2，并证明1)an2(n2(n1)（II）证明级数(1)nan条件收敛．n21/5浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷答案1、设y(sin2x)x(arcsin2x)4，求dy．dx解：dy(sin2x)x[2xcot2xln(sin2x)]8(arcsin2x)31．dx14x22、设函数f(u)可导，yf(x)是由方程y3f(xy)ln(1sinx)所确定的可导函数，求dy．dxcos3f(xy)ycos解：y3f(xy)(xyy)，y1sinx．11sinx3xf(xy)x3t22t3,23、设yy(x)是由参数方程t，所确定，求dy．y(3u1)sinu2dudx2t0解：dx2(3t1),dy(3t1)sint2,dy1sint2，dtdtdx2d2ytcost2d2y．dx2,dx22(3t1)t2(31)1 1 5x4、计算定积分求 dx．13x2115x11dx15xdx（其中15x解：dx113x2113x23x2为偶函数，113x2113x2为奇函数）211dx（令3xt,xt3,dx3t2dt）013x261t2dt01t216[11dt]616(1)．1dt1t26arctanx000145、计算反常积分dx．1x2x2111解：dxdxx2x21111x31x2111d(112)211x1x2=[(11101；x2)2]1或，令xsect2/51dxsecttant2costdt1．x2x2122dt10secttant06、求极限lim(11)．ln(1sinx)ln(1sinx)x0解：lim(11)ln(1sinx)ln(1x0sinx)limln(1sinx)ln(1sinx)（注：分母x0ln(1sinx)ln(1sinx)ln(1sinx)sinx,ln(1sinx)sinx,x0）limln(1sin2x)1．（注：分子ln(1sin2x)sin2x,x0）2x0sinx7、求极限limtanxx．x011x3解：limtanxxx011x3limtanxx（注：11x31x3,x0）x01x322sec2x1（洛必达法则）2lim3x2x012sec2xtanx2．（注：tanxx,x0）limx33x018、求极限lim(sinx)cos2x．x211解：lim(sinx)cos2xlim(cost)sin2t（令tx）xt0221lim[1(1cost)]1cos2tt0ln[1(1cost)]11lime(1cost)1coste2t09、求幂级数(x2)n的收敛半径、收敛区间、收敛域．n3nn1un1limn3n1，所以收敛半径R3，解：因为limn1nunn(n1)33当x23时，即当1x5时，级数绝对收敛，收敛区间为：(1,5)，当x1时，级数为(1)n收敛；n1n当x5时，级数为1发散，收敛域为：[1,5)，n1n3/510、将函数f(x)1展开成x的幂级数，并写出成立的开区间．x22x3解：f(x)x2131(1x1)，其中2x4x3111111(x)n，（x3）；x33x31x3n033x1(1)nxn，（x1），1n0所以，f(x)1[1(x)n(1)nxn]43n03n01[(1)n1(1)n1]xn（x1）．4n0311、求不定积分13x2x24ln(1x2)dx．x(1x)解：13x2x24ln(1x2)dxx(1x)ln(1x2)dxxln(1x2)dx（注：1x2x41x）x3(1x2)x3(1x2)x31x21ln(1x2)d(1)1ln2(1x2)2x2411221222[x2ln(1x)x(1x2)dx]4ln(1x)12ln(1x2)(11x2)dx1ln2(1x2)2xxx412ln(1x2)lnx1ln(1x2)1ln2(1x2)C2x2412、设f(x)在区间[0,1]上为正值的连续函数，试证明：（I）存在(0,1)使得以曲线yf(x)为顶在区间[0,]上的曲边梯形面积等于以f()为高，以区间[,1]为底的矩形面积．（II）若增设f(x)可导且f(x)0，则（I）中的是唯一的．证：（I）由题意要证，存在(0,1)，使f(x)dx(1)f()，0为此，作辅助函数：F(x)xf(t)dt(1x)f(x)，0有F(0)f(0)0,F(1)1f(t)dt0，且F(x)在区间[0,1]上连续，0由连续函数的介值定理，存在(0,1)，F()0，即，f(x)dx(1)f()，0因此，（I）成立．（II）由于F(x)f(x)f(x)(1x)f(x)0,x[0,1]，所以F(x)在区间[0,1]上严格单调增，即F(x)在区间(0,1)内至多一个零点，所以（I）中的是唯一的．4/511f(u)13、设f(x)在区间(0,)内可导，并设f(x)0，F(x)1xf(u)du1u2dux（I）求F(x)，当x0时；（II）讨论曲线yF(x)在区间(0,)内的凹凸性，并求其拐点坐标．11f(u)解：（I）当x0时，F(x)xdu1f(u)du1u2xF(x)1f(f(1)，1f(u)du1)1xxxx（II）求F(x)1f(1)1f(1)1f(1)1f(1)x1f(1)，x2xx2xx2xx3xx3x由于f(x)0，所以，当0x1时，F(x)0，曲线yF(x)向上凹；当1x时，F(x)0，曲线yF(x)向下凹（凸）；当x1时，F(x)0，且F(1)0，曲线yF(x)有拐点(1,0)．14、设an4tannxdx,n2．0（I）计算anan2，并证明1an1，当n2时；2(n2(n1)1)（II）证明级数(1)nan条件收敛．n2解：（I）an2an4tannx(tan2x1)dx04tannxdtanxn1tann1x041，01n1由于，当0x时，0tanx1，04tann1xdx4tannxdx，400所以0an1an，数列{an}，正项，且单调减少，则有，2a2a2a2a，从而有2an212an，nnnnn1于是a