第三章立体表面基本元素的投影

第三章立体表面基本元素的投影第一节点的投影点、线、面是构成各种形体的基本几何元素空间点A在P面上的投影是过投影中心S和A的投射线与P面的交点a。HVOX点的两面投影前面提到；在正投影的条件下，点的单面投影不能唯一确定该点的空间位置，那么，两面投影呢？Aaa

点的两面投影能够唯一确定点的空间位置。两面投影体系的建立：V——正面投影面H——水平投影面OX——投影轴ax点的两面投影图的形成Aaa

HVOXaxa

VHaaxOXa

aaxOX展开去边框点的两面投影图的性质Aaa

HVOXaxa

aaxOX正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；正面投影到OX轴的距离等于A点的高度；水平投影到OX轴的距离等于A点的深度；HVOXYZ点的三面投影Aaa

axa'ayaz通常我们用大写字母表示空间的点，相应的小写字母表示其水平投影，小写字母加一撇表示其正面投影，小写字母加两撇表示其侧面投影。WAHVOXYZaa

axa'ayazWa

aa'OXYHZYW点的三面投影图axayazaya

aa'OXYHZYW点的投影规律axayazay水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（长对正）；正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（高平齐）；水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。可得出点的投影特性如下：（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。【例3-1】已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″解:作图步骤如下二、点的投影与坐标

1．投影与坐标

引入直角坐标的概念，将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。点A的空间位置可用其直角坐标表示为A(x,y,z),x坐标反映空间点A到W面的距离；y坐标反映空间点A到V面的距离；z坐标反映空间点A到H面的距离。点的一个投影能反映两个坐标，反之点的两个坐标可确定一个投影。点的投影与直角坐标的关系AHVOXYZaa

axa'ayazWxzyA点的x坐标＝aay=a'azA点的y坐标＝aax=a''azA点的z坐标＝a’ax=a''ay【例3-2】已知点A(14,10，20)，作其三面投影图。解:作图步骤如下（1）方法一（2）方法二2．特殊位置点的投影（1）投影面上的点（2）投影轴上的点三、两点的相对位置空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。[例3.4]试判断C、D两点的相对位置。[解]如图3.22。图3.22判别两点的相对位置在投影面的重影点H面的重影点W面的重影点V面的重影点[例3.5]已知点C的三面投影如图3.24（a），且点D在点C的正右方5mm，点B在点C的正下方10mm，求作D、B两点的投影，并判别重影点的可见性。

图3.24求作点的投影并判别可见性

图3.24求作点的投影并判别可见性

[解](1)d″与c″重合，如图3.24（b）。(2)两点的水平投影b、c重合，如图3.24（c）。(3)c″可见，d″不可见，d″加上括号以示区别。从上向下投影时，c可见，b不可见，不可见的投影b加括号以示区别第二节直线的投影一、直线投影的概念二、特殊位置直线三、一般位置直线四、无轴投影图一、直线投影的概念由于直线的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。VHXOBAa'b'ab直线的分类直线一般位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面平行线二、特殊位置直线1.投影面垂直线垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。VWHXYZOAB铅垂线（垂直于H面，同时平行于V、W面的直线）Zb

Xa

ba(b)OYHYWab

a(b)a

ab水平投影积聚为一点；正面投影及侧面投影平行于OZ轴，且反映实长。VWHXYZOAB正垂线（垂直于V面，同时平行于H、W面的直线）ZX(a)b

baOYHYWabbababa正面投影积聚为一点；水平投影及侧面投影平行于OY轴，且反映实长。VWXYZOABH侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）baababYWZXa(b)baOYHab侧面投影积聚为一点；水平投影及正面投影平行于OX轴，且反映实长。投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且都等于该直线的实长。

事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。特殊位置直线2.投影面平行线平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。ABVWHXYZO水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）aababb

Xa

b

ab

baOZYHYW水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴

VWHXYZOAB正平线（平行V面，同时倾斜于H、W面的直线）aababb正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴

Xabab

baOZYHYW

VWHXYZOAB侧平线（平行W面，同时倾斜于H、V面的直线）aa

b

a

bb侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴

bXZa

b

baOYHYWa投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且反映对其他两个投影面倾角的实形；（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。

事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。ABVWHXYZO三、一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。ZXabaOYHYWabbbbabaa一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。直线上点的投影特性

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，如图3.29中的K点。若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。在图3.29中，K点把直线AB分为AK、KB两段，则有：图3.29直线上的点[例3.6]已知直线AB的投影ab及a′b′，如图3.30(a)，求作直线上一点C的投影，使AC∶CB=3∶2。[解]图3.30利用定比性作直线上点的投影

[例3.7]已知侧平线AB的V、H投影及线上一点K的V面投影k′，试求点K的H投影，如图3.31(a)。[解]图3.31求作直线上点的投影[例3.8]已知侧平线CD和点E的H、V面投影，试判断点E是否在直线CD上，如图3.32。[解]图3.32判断点是否在直线上

求解一般位置直线的实长及倾角根据一般位置直线的投影求解其实长及倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最为简便、快捷。XOaba'b'ABaba'b'XOαB0直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角α)mmαABABαmAB0=abBB0=AB两点的高度差mabABaba'b'XOβXOaba'b'直角三角形法（求直线的实长及对正立投影面的夹角β）nnnA0BA0=a'b'AA0=AB两点的宽度差nβABa'b'AB直角三角形法直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。解题时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。课堂练习：3.2.5两直线的相对位置

空间两直线有三种不同的相对位置，即相交、平行和交叉。两相交直线或两平行直线都在同一平面上，所以它们都称为共面线。两交叉直线不在同一平面上，所以称为异面线。两直线相交时，如图3.33的AB和CD，它们的交点E既是AB线上的一点，又是CD线上的一点。3.2.5.1两相交直线

图3.33两相交直线的投影[例3.9]给出平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成整个H投影。[解]作图步聚如图3.34。图3.34求四边形的H投影

根据平行投影的特性可知，两平行直线在同一投影面上的投影相互平行。如图3.35所示。

3.2.5.2两平行直线

图3.35两平行直线的投影[例3.10]给出平行四边形ABCD的两边AB和AC的投影，试完成ABCD的投影。[解]作图步骤如图3.36所示。图3.36作平行四边形的投影两交叉直线既不平行，也不相交。虽然两交叉直线的某一同面投影有时可能平行，但所有同面投影不可能同时都相互平行。两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。例如图3.37。两交叉直线有一个可见性问题。3.2.5.3两交叉直线

图3.37两交叉直线两直线的夹角，其投影有下列三种情况：当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。如图3.39所示，直线AB垂直于BC，其中AB是水平线。两交叉直线也有相互垂直的。3.2.5.4两相互垂直直线

图3.39两相互垂直的直线

[例3.12]求点A到水平线BC的距离（图3.40）。

[解]

图3.40求一点到水平线的距离第三节平面的投影一、平面的表示方法二、各类平面的投影特性基本要求一、平面的表示法1、用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。2、平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。一、平面的表示方法下列五种方式可表达一平面：（1）不在同一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）两相交直线；（4）两平行直线；（5）任意平面图形。VXWHYZACB1、用几何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcddXXXXXOOOOO二、各类平面的投影特性空间平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面平行面对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面VXHWYZO水平面的投影特性p'p"p水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZOYHp'p"pPVXHWYZO正平面的投影特性正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。pp'p"XYWZOYHpp'p"PVXHWZOY侧平面的投影特性pp'p"侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZYHOpp'p"P总结投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。2.投影面垂直面垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面正垂面——垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面侧垂面——垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面VXHWZOYXZOYHYWβγ铅垂面的投影特性水平投影积聚为直线，并反映倾角β、γ的实形；正面投影和侧面投影均不反映实形且变小。βγβγVXHWZOY正垂面的投影特性正面投影积聚为直线，并反映倾角α、γ的实形；水平投影和侧面投影均不反映实形且变小。XZOYHYWαγαγαγVXHWZOY侧垂面的投影特性侧面投影积聚为直线，并反映倾角α、β的实形；水平投影和正面投影均不反映实形且变小。βαβαXZOYHYWβα总结投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角；（2）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且变小。事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。3.一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面。VXHWZOYXZOYHYW三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。【例3-4】如图3-14a所示，已知正方形平面ABCD垂直于V面以及AB的两面投影，求作此正方形的三面投影图。解：(1)作图分析(2)作图步骤3.3.5平面上的直线与点平面上的直线

一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平面上两已知点的同面投影的连线。平面上的点

若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面上。在平面上取点、取线

在平面上取点，首先要在平面上取线。而在平面上取线，又离不开在平面上取点。[例3.14]已知一平行四边形ABCD和K点的两面投影，试判断K点是否在平面上，如图3.45(a)。[解]

图3.45点和平面相对位置判断

[例3.15]已知四边形ABCD，求作过A点且在该平面上的一条水平线。[解]

如图3.46所示。图3.46求作平面上水平线的投影[例3.16]已知三角形ABC及其上一点K的正面投影k′，如图3.47（a），求作K点的水平投影k。[解]图3.47作平面上点的投影

[例3.17]已知五边形ABCDE的Ｖ面投影及一边AB的H面投影，并知AC为正平线，试完成其Ｈ面投影（如图3.48(a)）。[解]图3.48作平面的投影

3.3.6平面上的特殊直线

常用的有平面上的正平线和水平线。要在一般面ABC上作一条正平线，可根据正平线的H投影是水平的这个投影特点，先在ABC的水平投影上作一任意水平线，作为所求正平线的H投影，然后作出它的V投影，如图3.49所示。在ABC上作水平线，也要抓住它的V投影一定水平的投影特点，作图步骤如图3.49所示。3.4.6.1平面上的投影面平行线

图3.49面上作正平线和水平线

直线与平面及两平面的相对位置§5-1直线与平面平行•两平面平行§5-2直线与平面的交点•两平面的交线§5-3直线与平面垂直•两平面垂直

基本要求§直线与平面平行、两平面平行一．直线与平面平行几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。

例题1

例题2二．平面与平面平行几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。

例题3

例题4

例题5一、直线与平面平行若一直线平行于属于给定平面的一直线，则该直线与平面平行PCDBA例题1试判断直线AB是否平行于定平面fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面例题2试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面baaffbcededkkc二、两平面平行若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB例题3试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行例题4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk例题5试判断两平面是否平行。结论：两平面平行(铅垂面）efefsrsddcaacbbrPHSH直线与平面的交点•两平面的交线

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线面交点、面面交线的实质是求共有点、共有线的投影。一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、直线与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交一、直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BKAMBCA二、平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有三、特殊位置线面相交特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。

（l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。

（2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。

直线与特殊位置平面相交

判断直线的可见性bbaaccmmnn直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。四、一般位置平面与特殊位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。一般位置平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL判断平面的可见性VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfk判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNLIII五、直线与一般位置平面相交一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步骤：（l）过已知直线作一特殊位置辅助平面（投影面垂直面）（2）求辅助平面与已知平面的交线；（3）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。以正垂面为辅助平面求线面交点

示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图判别可见性

示意图feefbaacbc12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。ABCQ过MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面为辅助平面求线面交点示意图12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1feefbcaacb步骤：1、过EF作铅垂平面P。2、求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。kk2CAB过MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图直线EF与平面ABC相交，判别可见性。利用重影点。判别可见性(

)feefbaacbc12432134（

）kkHVabcceaABbCFEffkKke直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图ⅠⅡⅢⅣ1

(2)(4)3利用重影点。判别可见性六、两一般位置平面相交

１.用一般位置线面交点的方法作两平面的交线２.用三面共点法作两平面的交线。两一般位置平面相交求交线有三种方法：线面交点法；辅助平面法；辅助平面法。示意图判别可见性例题6

两一般位置平面的交线两一般位置平面相交，求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线baccballnmmnPVQV1221kkee2、连接两个共有点，画出交线KE。两一般位置平面相交求交线的方法利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性baccballnmmnkeek3

4

()3421()12三面共点法作两平面的交线ⅠⅡⅢⅣacbacbfeefkk例题6试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。分析FPCABEKH过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。§5-3直线与平面垂直•两平面垂直一、直线与平面垂直

几何条件

定理1

定理2

例题7

例题8

例题9

例题10二、两平面垂直

几何条件

例题11

例题12

例题13直线与平面垂直的几何条