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高等代数矩阵的有理标准形第1页，共12页，2023年，2月20日，星期四§7矩阵的有理标准形一、多项式的伴侣矩阵Definition对数域上的一个多项式称矩阵为多项式的伴侣阵。第2页，共12页，2023年，2月20日，星期四Proposition

一般地:已知一个矩阵,对于它的每一个非常数不变因子,都能求出其伴侣阵.Remark

以上命题表明，给定一个次多项式,一定有一个阶矩阵,它的特征矩阵只有一个非常数的不变因子.的伴侣阵的不变因子为第3页，共12页，2023年，2月20日，星期四于是Method设是阶方阵,其特征矩阵中非常数的不变因子有个:因而有令第4页，共12页，2023年，2月20日，星期四作阶矩阵其中第5页，共12页，2023年，2月20日，星期四二、矩阵的有理标准形Theorem相似于。CorollaryDefinition

称定理中的为矩阵的有理标准形。矩阵是数量矩阵的充分必要条件是它的特征矩阵的不变因子都是非常数。第6页，共12页，2023年，2月20日，星期四TheoremTheorem数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.设

是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由唯一决定的，称为

的有理标准形.第7页，共12页，2023年，2月20日，星期四Example求的有理标准形。Ans.第8页，共12页，2023年，2月20日，星期四Solution容易看出故，的有理标准形为返回第9页，共12页，2023年，2月20日，星期四设，而为它的不变因子，证明：习题1习题2设，则为数量矩阵的充分必要条件是它的特征矩阵的阶行列式因子是次的。第10页，共12页，2023年，2月20日，星期四习题3证明：对任何矩阵，恒有习题4是的一个特征值，是的不变因子，证明：的

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