高数分部积分法有理函数积分法

高数分部积分法有理函数积分法第1页，共52页，2023年，2月20日，星期四问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本内容第2页，共52页，2023年，2月20日，星期四例1求积分解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.解（二）令第3页，共52页，2023年，2月20日，星期四例2求积分解（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)第4页，共52页，2023年，2月20日，星期四例3求积分解令第5页，共52页，2023年，2月20日，星期四例4求积分解总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.第6页，共52页，2023年，2月20日，星期四例5求积分解第7页，共52页，2023年，2月20日，星期四例6求积分解注意循环形式第8页，共52页，2023年，2月20日，星期四例7求积分解第9页，共52页，2023年，2月20日，星期四令第10页，共52页，2023年，2月20日，星期四解两边同时对求导,得第11页，共52页，2023年，2月20日，星期四合理选择，正确使用分部积分公式二、小结第12页，共52页，2023年，2月20日，星期四思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？第13页，共52页，2023年，2月20日，星期四思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.例第一次时若选第二次时仍应选第14页，共52页，2023年，2月20日，星期四2几类特殊函数的不定积分2.1有理函数积分法2.2三角函数有理式积分2.3简单无理式的积分.第15页，共52页，2023年，2月20日，星期四有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.2.1、有理函数的积分第16页，共52页，2023年，2月20日，星期四假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.第17页，共52页，2023年，2月20日，星期四（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第18页，共52页，2023年，2月20日，星期四（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为第19页，共52页，2023年，2月20日，星期四真分式化为部分分式之和的待定系数法例1第20页，共52页，2023年，2月20日，星期四代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2第21页，共52页，2023年，2月20日，星期四例3整理得第22页，共52页，2023年，2月20日，星期四例4求积分解第23页，共52页，2023年，2月20日，星期四例5求积分解第24页，共52页，2023年，2月20日，星期四例6求积分解令第25页，共52页，2023年，2月20日，星期四第26页，共52页，2023年，2月20日，星期四说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令第27页，共52页，2023年，2月20日，星期四则记第28页，共52页，2023年，2月20日，星期四这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.第29页，共52页，2023年，2月20日，星期四三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为2.2三角函数有理式的积分第30页，共52页，2023年，2月20日，星期四令（万能置换公式）第31页，共52页，2023年，2月20日，星期四例7求积分解由万能置换公式第32页，共52页，2023年，2月20日，星期四第33页，共52页，2023年，2月20日，星期四例8求积分解（一）第34页，共52页，2023年，2月20日，星期四解（二）修改万能置换公式,令第35页，共52页，2023年，2月20日，星期四解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.第36页，共52页，2023年，2月20日，星期四例9求积分解第37页，共52页，2023年，2月20日，星期四第38页，共52页，2023年，2月20日，星期四讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10求积分解令2.3简单无理函数的积分第39页，共52页，2023年，2月20日，星期四第40页，共52页，2023年，2月20日，星期四例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.第41页，共52页，2023年，2月20日，星期四例12求积分解先对分母进行有理化原式第42页，共52页，2023年，2月20日，星期四有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结简单无理式的积分.第43页，共52页，2023年，2月20日，星期四思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？第44页，共52页，2023年，2月20日，星期四思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.第45页，共52页，2023年，2月20日，星期四练习题第46页，共52页，2023年，2月20日，星期四第47页，共52页，2023年，2月20日，星